微分方程解法总结微分方程解法总结
一阶微分方程求解
?、可分离变量的方程:
dy?、形如 ,f(x)g(y)dx
dyg(y),0,f(x)dx 当时，得到，两边积分即可得到结果; g(y)
当时，则也是方程的解。 g(,),0y(x),,00
M(x)N(y)dx，P(x)Q(y)dy,0?、形如
M(x)Q(y)P(x)N(y),0dx,dy当时，可有，两边积分可得结果; P(x)N(y)
当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。 N(y),0y,yP(x),0x,x0000?可化为变量可分离方程的方程:
dyy?、...
微分方程解法总结
一阶微分方程求解
?、可分离变量的方程:
dy?、形如 ,f(x)g(y)dx
dyg(y),0,f(x)dx 当时，得到，两边积分即可得到结果; g(y)
当时，则也是方程的解。 g(,),0y(x),,00
M(x)N(y)dx，P(x)Q(y)dy,0?、形如
M(x)Q(y)P(x)N(y),0dx,dy当时，可有，两边积分可得结果; P(x)N(y)
当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。 N(y),0y,yP(x),0x,x0000?可化为变量可分离方程的方程:
dyy?、形如 ,g()dxx
duydy,xdu，udx解法:令，则，代入得到为变量可分离方程，得到u,x，u,g(u)xdx
y再把u代入得到。 f(u,x,C),0(C为常数)f(,x,C),0(C为常数)x
dy?、形如 ,G(ax，by),(ab,0)dx
adx，du1duau,ax，bydy,解法:令，则，代入得到为变量可分离方程，，,G(u)bbdxb得到再把u代入得到。 f(u,x,C),0(C为常数)f(ax，by,x,C),0(C为常数)
yf(xy)dx，xg(xy)dy,0,u,xy还有几类:
dyyydy2 x,f(xy),v,xy,xf(),w,22dxdxxxM(x,y)(xdx，ydy)，N(x,y)(xdy,ydx),0,x,rcos,,y,rsin,
以上都可以化为变量可分离方程。
(3)、一阶线性微分方程:
dy一般形式: a(x)，a(x)y,h(x)10dx
dy标准形式: ，P(x)y,Q(x)dx
解法:1、直接带公式:
,P(x)dx,P(x)dxP(x)dx,P(x)dxP(x)dx,,,,,y,Ce，eeQ(x)dx,e(eQ(x)dx，C) ,,可降阶方程求解
()n(1)型的求解，逐步积分。 yfx,()
,,,,,,,yfxy,(,)ypx,()ypx,()(2)型求解，令，则，则原方程变为一阶微分方程。
然后，利用求解一阶微分方程的方法求解。 二阶常系数线性齐次微分方程求解
(1) 求其相应的特征方程;
(2) 求特征方程的根。
(3) 判定根的情况。
(4) 根据根的情况写出相应的通解公式。
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