数列中的技巧方法,由数列递推式求数列通项,数列求和

数列中的技巧方法,由数列递推式求数列通项,数列求和 数列递推式求解数列通项 一、 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 法 *例、 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式, aaSnaSnN，,,1(),,,,nnnnn PS:当同时出现与时该如何处理, Sann ? ? 二、归纳猜想法:由数列前几项用不完全归纳(并不严谨)猜测出数列的通项公式，再利用 数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例、 已知数列aa中，，，求数列的通项公式. a,1aan,，,21(2),,,,nn1nn,1 ,3,7【解析】:，，， a,1aan,，,21(2)aa,，21aa,，21,,,,？？1nn,12132 n*猜测，再用数学归纳法证明.(略) a,,21()nN,n 三 、累加法:利用求通项公式的方法称为累加法。累加法aaaaaa,，,，,,,,()()nnn1211,是求型如的递推数列通项公式的基本方法(可求前项和). aafn,，()nfn()nn，1 n1,,abb,1例 、已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，a,,,,,nn1,,n2,, n1,,bb,,b，求数列的通项公式. (1)n,,,nn，1,,n2,, n1,,1,,bbb,1bbbbbb,，,，,,,,()()【解析】:,(1)n,,=1++...+ ？nn，1,,1nnn1211,22,, n,1n,111,,,, =. 2,,,,,22,,,, aafn,，()反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为。 nn，1 aaa3n2,,,,,,(0,2)四 、累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,aaannn1aaa,121n 累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项agna,()ngn()nn，1 积)。 *例、 已知,,求数列通项公式. aa,1anaa,,()()nN,,,n1nnn，1 aaan，1an，13n2【解析】:,,又有= anaa,,(),,,,,,(0,2),aaan？？nnn，1nn1anaaa,n121n 23nn,1×××,,,1×=,当时，满足，. a,1an,an,n？1nn12n-1 . d,0五、构造新数列(待定系数法): 将递推公式(为常数，，)aqad,，qd,q,0n+1n ddaqa，,，()通过与原递推公式恒等变成的方法叫构()()axqax，,，nn，1nn，1qq,,11造新数列，也即是待定系数法。 aa中, ,,求的通项公式. 例、已知数列a,1aan,，,21(2),,,,nn1nn,1 a，1【解析】:利用,求得,是首项为 ()2()axax，,，aa，,，12(1)？,,nnn,1nn,1 nna，,12,公比为2的等比数列,即, a，,12？,,a211nn ca111dn六 、倒数变换:将递推数列,,取倒数变成,， 的形a(0,0)cd,,n，1，adacacnn，1n ,,1式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时将数列看成一个新的数列，即,,an,,再利用“构造新数列”的方法求解。 a*naaa,1,例、 已知数列中, ,,求数列的通项公式. a()nN,,,,,nn1，1n21，an ,,a111111n,1,,，,,22【解析】:将a取倒数得: ,,是以为？？,,，1na21aaaaa，a1nn，1nn，1n,,n 11a,,，,n12(1)首项,公差为2的等差数列. ,. ？n21n,an PS:注意分母～ r七、取对数法: 形如 (p,0,a,0)a,pan，1nn 这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列(待定系a,pa，qn，1n 数法)求解。 12例:已知数列,,中，，求数列。 a,a,,a1,,,aa的通项公式.(a,0)n，n11nna 112aa【解析】:由a,,a两边取对数得,，， lg2lglgn，1nn，1naa 112n,1bb令，则,，，再利用构造新数列(待定系数法)解得:,()。 2lgaab,lgan，1nnnnaa 八、周期型: 由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。 1,,,2a,(0a)nn,6,2a,,例:若数列,,满足a，若，则的值为___________。 aa,1n20n，171,,,,2a1,(a1)nn,,2 a,3naanNa,,,,0,(*),例:已知数列,a,满足:___________ n1120n，31a，n 九、换元法 即是将一复杂的整体用一个新的符号来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，从而使递推数列看起来更简单，更易找到解决的方法。 1 a,(1，4a，1，24a)，a,1{a}例、 已知数列满足，求n，1nn1n16 {a}数列的通项公式。 n 数列的求和 1(公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 ()naa，(1)nn,1n(1)等差数列的求和公式:Snad ,,，1n22 (,1)naq,1,n(1,)aq(2)等比数列的求和公式(切记:公比含字母时一定要讨论) ,S,1n(,1)q,1,q, nnnn(1)(21)，，22222 ？kn,，，，，,123,6,1k 2nnn(1)，，，33333 ？kn,，，，，,123,,,2,，，k1 32222证明:?裂项相消法 4()()nnnnn,，,, ?构造数列法 构造数列1,3+5,7+9+11，13+15+17+19„„， 32a,n,S,1，3，5，^，(n，n,1) nn 32nnnnnn,，，,,(1)(2)32 ?暴力法 2(错位相减法:比如 ,,,,a等差,b等比,求ab，ab，？，ab的和.nn1122nn n123S,，，，？，例:求 n23naaaa n(n，1),(a,1),,2S, 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : n,naana(,1),(,1),a(,1)n2,a(a,1), 3(裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 22224(2n)例:求和 S,，，，？n1,33,5(2n,1)(2n，1) 1111111,,,,()常见拆项公式: ; n(n，1)nn，1nnnn(2)22，， 1111n,n!,(n，1)!,n! ; ,(,)(2n,1)(2n，1)22n,12n，1 1 ,，,nn1 nn，，1 4(分组求和法:把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 例:?？？ S,1，11，111，，111n,,,n个 111222n2S,x，，x，，？，x，()()()? nn2xxx PS:注意对x进行讨论 5(合并求和法: 222222100,99，98,97，？，2,1例:求的和。 6(倒序相加法: 2222,,,,sin1sin2sin3sin89，，，，？？例:= 7(奇偶求和法 n,,例:已知数列a,a,,2[n,(,1)],求S nnn ,n(n，1)(n为正偶数),？S,答案: ,n2nnn为正奇数,,,2(), 65()nn,为奇数,例:已知数列的通项，求其前项和( a,{}aSn,nnnn2()n为偶数, 解:奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列， a,11 偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列; a,42 n，1n,1当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项， n22 n，1n,1(165)，,nn,124(14)(1)(32)4(21),，,,nn2?， S,，,，n21423, n当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， n2 nn(165)，,nn24(14)(32)4(21),,,nn2?， S,，,，n21423, n,1,(1)(32)4(21)nn，,,为奇数，()n,,23S,所以，( ,nnnn(32)4(21),,,为偶数，()n,23, PS:利用等比数列求和公式时注意分讨论。 q,1或q,1 2n练习:已知成等差数列，n为正偶数， f(x),ax，ax，？，ax,且a,a,a,？a12n123n 12f()又，试比较与3的大小。 f(1),n,f(,1),n2 (a，a)n,21n2,n,a，a,2n,,，，，，,f(1)aaa？an,1n123n2？？解: ,,,nd,2f(,1),,a，a,a，？,a，a,n,123n,1n,,,dn2,a，a，(n,1)d,2n,11？？a,1？a,2n,1 ,1nd,2, 1111123n23nf(x),x，3x，5x，？，(2n,1)xf(),，3()，5()，？，(2n,1)()22222 1111n,2nf(),3,(),(2n,1)()？f(),3可求得，?n为正偶数， 2222