小学数学应用题解题方法大全36-40

小学数学应用题解题方法大全36-40 三十六、解工程问题的方法 工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是: 工作效率×工作时间=工作量 工作量?工作时间=工作效率 工作量?工作效率=工作时间 根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。 由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。 (一)工作总量是具体数量的工程问题 例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天,(适于四年级程度) 解:这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量?工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量?工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。 甲车队每天运的吨数:(甲车队工作效率) 1200?15=80(吨) 乙车队每天运的吨数:(乙车队工作效率) 1200?10=120(吨) 两个车队一天共运的吨数: 80+120=200(吨) 两个车队合运需用的天数: 1200?200=6(天) 综合算式: 1200?(1200?15+1200?10) =1200?(80+120) =1200?200 =6(天) 答略。 *例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则1 0小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时,(适于四年级程度) 解:题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。 李师傅1小时可完成: 350?14=25(个) 由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每 小时完成: 350?10=35(个) 小王单独工作一小时可完成: 35-25=10(个) 小王单独做这批零件需要: 350?10=35(小时) 综合算式: 350?(350?10-350?14) =350?(35-25 =350?10 =35(小时) 答略。 *例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打，乙 组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。 乙组生产了多长时间,(适于四年级程度) 解:两组共同生产的总任务是: 2191-160×2+1=1872(打) 两组共同生产的时间是: 1872?(160+128)=6.5(小时) 乙组生产的时间是: 6.5+2=8.5(小时) 综合算式: (2191-160×2+1)?(160+128)+2 =1872?288+2 =6.5+2 =8.5(小时) 答略。 一同生产用了多少小时,(适于六年级程度) 解:两台机器一同生产的个数是: 108-45=63(个) 第一台机器每小时生产: 第二台机器每小时生产: 两台机器一同生产用的时间是: 63?(4+5)=7(小时) 综合算式: 答略。 (二)工作总量不是具体数量的工程问题 例1 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做，多少 天可以完成,(适于六年级程度) 解:把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成 答略。 例2 一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30 解:把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工 答略。 例3 一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成,(适于六年级程度) 解:把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合 需要多长的时间。 =7.5(天) 答:乙单独做7.5天可以完成。 例4 有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几,(适于六年级程度) 解:把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分钟可以注满，则甲水管1 的: 答略。 例5 一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。如果三人合作需要几天完成任务,(适于六年级程度) 解:甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务， =1(天) 答略。 所以，乙单独做可以完成的时间是: 综合算式: =6(天) 答略。 以完成,(适于六年级程度) 解:甲队独做3天，乙队独做5天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做3天，乙队再独 做2天所完成的工作量。这时完成了全工程的: 乙队单独做完成的时间是: 答略。 *例8加工一批零件，甲独做需要3天完成，乙独做需要4天完成。两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个。这批零件有多少个,(适于六年级程度) 解:解这道题的关键是，求出24个零件相当于零件总数的几分之几。 完成任务时甲比乙多做: 综合算式: 答略。 *例9 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做了数天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了14天。乙请假几天,(适于六年级程度) 解:根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”，可知甲做了全工程的: 乙做了全工程的: 乙请假的天数是: 14-9=5(天) 综合算式: 答略。 *例10 一项工程，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前6天完成。如果甲、乙两队合做5天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成,(适于六年级程度) 解:设这项工程为1，则乙队每天做: 两队合做时每天做: 甲队每天做: 两队合做5天后剩下的工作量是: 甲队做剩的工作还需要的时间是: 综合算式: 答略。 (三)用解工程问题的方法解其他类型的应用题 例1 甲、乙两地相距487千米。李华驾驶摩托车从甲地到乙地，需要1小时;王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时。照这样的速度，两人分别从两地同时相向出发，经过几小时在途中相遇, 一般解法:(适于四年级程度) 用解工程问题的方法解:(适于六年级程度) 把全程看作1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时，李华的速度就是1;王明骑自 行车从乙地到甲地需要3小时，王明每1小时要行全程的 例2 某学校食堂购进一车煤，原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 烧60天。由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来 少烧10千克，这样这车煤烧了70天。这车煤重多少千克, *一般解法:(适于四年级程度) 10×60?(70-60)×70 =4200(千克) 答:这车煤重4200千克。 用解工程问题的方法解:(适于六年级程度) 答略。 一般解法:(适于六年级程度) 答略。 用解工程问题的方法解:(适于六年级程度) 如果把这批零件的总数作为一项“工程”，以1 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，则这个工厂计划 因此，实际需要的天数是: 答略。 (四)用份数法解工程问题 例1 一项工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做18天完成。甲、乙两队合做4天后， 剩下的任务由乙队单独做。乙队还需要几天才能完成,(适于六年级程度) 解:把整个工程的工作量平均分成9×18=162(份) 甲队每天可以完成: 162?9=18(份) 乙队每天可以完成: 162?18=9(份) 甲、乙两队合做每天共完成: 18+9=27(份) 两队4天共完成: 27×4=108(份) 两队合做4天后，剩下的工程是: 162-108=54(份) 剩下的任务由乙队单独做，需要的天数是: 54?9=6(天) 综合算式: [9×18-(9×18?18+9×18?9)×4]?9 =[162-108]?9 =6(天) 答略。 例2 一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成。甲队先做7天，然后由 甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成,(适于六年级程度) 解:把这项工程的总工作量看做16×20份，则甲队每天做20份，乙队每天做16份。 甲队先做7天，完成的工作量是: 20×7=140(份) 甲队做7天后，剩下的工作量是: 16×20-140=180(份) 甲、乙两队合做，一天可以完成: 20+16=36(份) 甲、乙两队合做还需要的天数是: 180?36=5(天) 答略。 例3 一个水池装有进、出水管各一个。单开进水管10分钟可将空池注满，单开出水管1 2分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满,(适于六年级程度) 解:把注满全池水所用的时间看作10×12份，当进水管进12份的水量时，出水管可放出 10份的水量，进出水相差的水量是: 12-10=2(份) 甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是: 10×12?2=60(分钟) 答:若两管齐开60分钟可将空池注满。 (五)根据时间差解工程问题 例1 师、徒二人共同加工一批零件，需要4小时完成。师傅单独加工这批零件需要5小时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了30个。这批零件有多少个,(适于六年级程度) 解:从时间差考虑，师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1(小时)。这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。 所以，师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数: 30×5=150(个) 答略。 例2 一份稿件需要打字，甲、乙两人合打10天可以完成。甲单独打15天可以完成。乙单独打需要几天完成,(适于六年级程度) 解:从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是15-10=5(天)，这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。 那么，甲15天的工作量，乙要工作: 10?5×15=30(天) 答:乙单独打需要30天完成。 例3 一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过12小时相遇。已知快车行完全程需要20小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站,(适于六年级程度) 解:从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8(小时)。这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。那么快车行12小时的路程，慢车要行多长时间,也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。 12?8×12=18(小时) 答略。 三十七、解流水问题的方法 流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 流水问题有如下两个基本公式: 顺水速度=船速+水速 (1) 逆水速度=船速-水速 (2) 这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程;船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程;水速是指水在单位时间里流过的路程。 公式(1)表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。 公式(2)表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 根据加减互为逆运算的原理，由公式(1)可得: 水速=顺水速度-船速 (3) 船速=顺水速度-水速 (4) 由公式(2)可得: 水速=船速-逆水速度 (5) 船速=逆水速度+水速 (6) 这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。 另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知: 船速=(顺水速度+逆水速度)?2 (7) 水速=(顺水速度-逆水速度)?2 (8) *例1 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少,(适于高年级程度) 解:此船的顺水速度是: 25?5=5(千米/小时) 因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。 5-1=4(千米/小时) 综合算式: 25?5-1=4(千米/小时) 答:此船在静水中每小时行4千米。 *例2 一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米,(适于高年级程度) 解:此船在逆水中的速度是: 12?4=3(千米/小时) 因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即: 4-3=1(千米/小时) 答:水流速度是每小时1千米。 *例3 一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少,(适于高年级程度) 解:因为船在静水中的速度=(顺水速度+逆水速度)?2，所以，这只船在静水中的速度是: (20+12)?2=16(千米/小时) 因为水流的速度=(顺水速度-逆水速度)?2，所以水流的速度是: (20-12)?2=4(千米/小时) 答略。 *例4 某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米,此船从乙地回到甲地需要多少小时,(适于高年级程度) 解:此船逆水航行的速度是: 18-2=16(千米/小时) 甲乙两地的路程是: 16×15=240(千米) 此船顺水航行的速度是: 18+2=20(千米/小时) 此船从乙地回到甲地需要的时间是: 240?20=12(小时) 答略。 *例5 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知 水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时,(适于高年级程度) 解:此船顺水的速度是: 15+3=18(千米/小时) 甲乙两港之间的路程是: 18×8=144(千米) 此船逆水航行的速度是: 15-3=12(千米/小时) 此船从乙港返回甲港需要的时间是: 144?12=12(小时) 综合算式: (15+3)×8?(15-3) =144?12 =12(小时) 答略。 *例6 甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是 每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多 少小时,(适于高年级程度) 解:顺水而行的时间是: 144?(20+4)=6(小时) 逆水而行的时间是: 144?(20-4)=9(小时) 答略。 *例7 一条大河，河中间(主航道)的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每 小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需 要多少小时,(适于高年级程度) 解:此船顺流而下的速度是: 260?6.5=40(千米/小时) 此船在静水中的速度是: 40-8=32(千米/小时) 此船沿岸边逆水而行的速度是: 32-6=26(千米/小时) 此船沿岸边返回原地需要的时间是: 260?26=10(小时) 综合算式: 260?(260?6.5-8-6) =260?(40-8-6) =260?26 =10(小时) 答略。 *例8 一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水 行150千米需要多少小时,(适于高年级程度) 解:此船逆水航行的速度是: 120000?24=5000(米/小时) 此船在静水中航行的速度是: 5000+2500=7500(米/小时) 此船顺水航行的速度是: 7500+2500=10000(米/小时) 顺水航行150千米需要的时间是: 150000?10000=15(小时) 综合算式: 150000?(120000?24+2500×2) =150000?(5000+5000) =150000?10000 =15(小时) 答略。 *例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静 水中的速度及水流的速度。(适于高年级程度) 解:此船顺水航行的速度是: 208?8=26(千米/小时) 此船逆水航行的速度是: 208?13=16(千米/小时) 由公式船速=(顺水速度+逆水速度)?2，可求出此船在静水中的速度是: (26+16)?2=21(千米/小时) 由公式水速=(顺水速度-逆水速度)?2，可求出水流的速度是: (26-16)?2=5(千米/小时) 答略。 *例10 A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15 小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时,(适于高年级程度) 解:甲船逆水航行的速度是: 180?18=10(千米/小时) 甲船顺水航行的速度是: 180?10=18(千米/小时) 根据水速=(顺水速度-逆水速度)?2，求出水流速度: (18-10)?2=4(千米/小时) 乙船逆水航行的速度是: 180?15=12(千米/小时) 乙船顺水航行的速度是: 12+4×2=20(千米/小时) 乙船顺水行全程要用的时间是: 180?20=9(小时) 综合算式: 180?[180?15+(180?10-180?18)?2×3] =180?[12+(18-10)?2×2] =180?[12+8] =180?20 =9(小时) 答略。 三十八、解植树问题的方法 植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题 基本分为两类:沿路旁植树;沿周长植树。 沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多1;沿周长植树， 因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。 解答植树问题的基本方法是: (1)沿路旁植树 棵数=全长?间隔+1 间隔=全长?(棵数-1) 全长=间隔×(棵数-1) (2)沿周长植树 棵数=全长?间隔 间隔=全长?棵数 全长=间隔×棵数 (一)沿路旁植树 例1 有一段路长720米，在路的一边每间隔3米种1棵树。问这样可以种多少棵树,(适 于三年级程度) 解:根据棵数=全长?间隔+1的关系，可得: 720?3+1 =240+1 =241(棵) 答:可以种241棵树。 例2 在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均 距离是1200米。这条马路有多长,(适于三年级程度) 解:根据全长=间隔×(棵数-1)的关系，可得: 1200×(14-1) =1200×13 =15600(米) 答:这条马路长15600米。 例3 要在612米长的水渠的一岸植树154棵。每相邻两棵树间的距离是多少米,(适于三年级程度) 解:根据“间隔=全长?(棵数-1)”的关系，可得: 612?(154-1) =612?153 =4(米) 答:每相邻两棵树间的距离是4米。 例4 两座楼房之间相距60米，现要在两座楼房之间栽树9棵。每两棵树的间隔是多少米,(适于三年级程度) 解:因为在60米的两端是两座楼房，不能紧挨着楼房的墙根栽树，所以，把60米平均分成的段数要比树的棵数多1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离: 60?(9+1) =60?10 =6(米) 答:每两棵树的间隔是6米。 *例5 原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根间的距离50米。实际上在公路一旁只埋了201根电线杆。求实际上每两根电线杆之间的距离。(适于四年级程度) 解:题中所埋电线杆的根数比段数多1，因此在计算段数时，要从根数减去1，才得段数。 50×(301-1)?(201-1) =50×300?200 =75(米) 答:实际上每两根电线杆之间的距离是75米。 (二)沿周长植树 例1 在周长是480米的圆形养鱼池周围，每隔12米栽一棵树。一共可以栽多少棵树,(适于三年级程度) 解:根据棵数=全长?间隔，可求出一共栽树的棵数: 480?12=40(棵) 答:一共可以栽40棵树。 例2 一个圆形湖的周长是945米，沿着湖的周长栽了270棵树。求相邻两棵树间的距离是多少米,(适于三年级程度) 解: 945?270=3.5(米) 答:相邻两棵树间的距离是3.5米。 例3 一块长方形场地，长300米，宽比长少50米。从这个长方形的一个角开始，沿长方形的周长栽树，每隔10米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵,(适于四年级程度) 解:先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。 (300+300-50)×2?10 =550×2?10 =1100?10 =110(棵) 答:可以栽树110棵。 *例4 有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株,可栽月季花多少株,每2株紧相邻的月季花相距多少米,(适于四年级程度) 解:根据棵数=全长?间隔可求出栽丁香花的株数: 120?6=20(株) 由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花: 2×20=40(株) 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为: 6?3=2(米) 答:可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。 例5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米 植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米,(适于六年级程度) 解:先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是: 2×314=628(米) 这个圆的直径是: 628?3.14=200(米) 由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是: 200-3×2=194(米) 圆形水池的周长是: 194×3.14=609.16(米) 综合算式: (2×314?3.14-3×2)×3.14 =(200-6)×3.14 =194×3.14 =609.16(米) 答略。 三十九、解时钟问题的方法 研究时钟的长针(分针)与短针(时针)成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格;分针每分 出题中所要求的时间。 解题规律: (1)求两针成直线所需要的时间，有: (3)求两针重合所需要的时间，有: 求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。 (一)求两针成直线所需要的时间 *例1 在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线,(适于高年级程度) 解:在7点钟的时候，分针在时针后面(图39-1): 5×7=35(格) 当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。因此，只需要分针追上时针: 35-30=5(格) 综合算式: *例2 在4点与5点之间，分针与时针什么时候成直线,(适于高年级程度) 解:4点钟时，分针在时针的后面(图39-2): 5×4=20(格) 当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的20格，还要超过时针30格，所以一共 要追上: 20+30=50(格) 综合算式: (二)求两针成直角所需要的时间 *例1 在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角,(适于高年级程度) 解:分针与时针成直角时，分针在时针前面15格或时针后面15格，因此，本题有两个答 案。 (1)6点钟时，分针在时针后面(图39-3): 5×6=30(格) 因为两针成直角时，分针在时针后面15格，所以分针追上时针的格数是: 30-15=15(格) 综合算式: (2)以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格， 所以分针不仅追上时针，而且要超过时针: 5×6+15=45(格) 综合算式: *例2 在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角,(适于高年级程度) 解:1点钟时，分针在时针后面: 5×1=5(格) 当分针与时针成直角时，两针间隔是15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15格，分针实际追上时针的格数是: 5+15=20(格) 综合算式: 当分针走到时针前面45格(也就是走到时针后面15格)时，两针也成直角。因此，所需时间是: *例3 在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角,(适于高年级程度) 解:在11点钟时，分针在时针后面: 5×11=55(格) 第一次两针成直角时，分针是在时针后面45格，因此，分针需要追上时针的格数是: 55-45=10(格) 综合算式: (三)求两针重合所需要的时间 在11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。 *例1 3点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合,(适于高年级程度) 解:在3点钟时，分针在时针后面: 5×3=15(格) *例2在4点与5点之间，两针什么时候重合,(适于高年级程度) 解:在4点钟时，分针在时针后面5×4格，分针只要追上时针4×5格，两针就重。 四十、几何变换法 利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。 在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图 形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。 (一)添辅助线法 有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。 *例1 求图40-1阴影部分的面积。(单位:平方米)(适于三年级程度) 解:图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是: 25?2=12.5(平方米) 所以，阴影部分的面积是: 12.5×3=37.5(平方米) 答略。 *例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。(单位:厘米)(适于五年级程度) 解:如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则?AEF与?ABE是等底等高的三角形。所以，?AEF的面积与?ABE的面积相等。 小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。 因为它的高是5厘米，所以， EC=10?5=2(厘米) 答:EC长2厘米。 *例3 如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。(单位:厘米)(适于五年级程度) 解:这是一个不 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 的四边形，无法直接计算它的面积。 如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为?ABE的面积与?DCE的面积之差。 在?ABE中，?A是直角，?B=45?，所以?E=45?，即?ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7(厘米)，则?ABE的面积是: 7×7?2=24.5(平方厘米) 在?DCE中，?DCE是直角，?E=45?，所以，?CDE=45?，即?DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则?DCE的面积是: 3×3?2=4.5(平方厘米) 所以，四边形ABCD的面积是: 24.5-4.5=20(平方厘米) 答略。 (二)分割法 分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。 例1 计算图40-7的面积。(单位:厘米)(适于五年级程度) 解:如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计 算出它们的面积，再把两个面积相加。 ,2+(8-4),×(6-4)?2+4×8 =6+32 =38(平方厘米) 答:图形的面积是38平方厘米。 例2 图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。(适于五年级程度) 解:如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。 三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。 60×(40?2)?2×2 =60×20 =1200(平方厘米) 答:阴影部分的面积是1200平方厘米。 *例3 求图40-11中各组合体的体积。(单位:厘米)(适于六年级程度) 解:如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。 (三)割补法 在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。 例1 求图40-13阴影部分的面积。(单位:厘米)(适于六年级程度) 成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。 答:阴影部分的面积是45平方厘米。 *例2 求图40-15中阴影部分的面积。(单位:米)(适于六年级程度) 16×16×2=512(平方米) 答:阴影部分的面积是512平方米。 *例3 图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。(适于六年级程度) 解:经割补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。 答:图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。 (四)平移法 在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。 例1 计算图40-19中阴影部分的周长。(单位:厘米)(适于六年级程度) 解:把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。 5×5=25(平方厘米) 答略。 *例2 求图40-21中阴影部分的周长。(单位:厘米)(适于三年级程度) 解:按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。 (5+4)×2+2×2 =9×2+4 =22(厘米) 答略。 *例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。(单位:米)(适于三年级程度) 解:把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。 S形水泥路的面积是: 30×2=60(平方米) 答略。 (五)旋转法 将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。 *例1 计算图40-27阴影部分的面积。(单位:分米)(适于六年级程度) 图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。 答略。 例2 图40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。(适于六年级程度) 解:把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。 很明显，图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。 答略。 *例3 计算图40-31的阴影面积。(单位:厘米)(适于六年级程度) 解:把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆(图40-32)。 此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。 答略。 (六)扩倍法 扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面 积或体积。 *例1 求图40-33的面积。(单位:厘米)(适于三年级程度) 解:此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是: (30+40)×30?2=1050(平方厘米) 答略。 例2 计算图40-35木块的体积。(单位:分米)(适于五年级程度) 解:在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。 3×10×(3+2)?2 =150?2 =75(立方分米) 答略。 (七)缩倍法 缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。 例1 图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。(适于五年级程度) 解:将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。 从大长方形面积减去三个空白三角形的面积(即?、?、?三个部分的面积)，得阴影部分面积。 3×5-3×3?2-2×1?2-5×2?2 =15-4.5-1-5 =4.5(平方厘米) 把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。 4.5×2=9(平方厘米) 答略。 例2 图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。(适于六年级程度) 解:先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。 先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大2倍，就得到题中所求。 答略。 (八)剪拼法 有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。 *例1 计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。(单位:厘米)(适于六年级程度) 解:沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。 很容易看出，图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。 图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。 图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。 答略。 *例2 图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求(1),(10)各图阴影部分的面积。(适于六年级程度) 解:作图40-46，并把图40-46中的(1)画在一张透明纸上剪成(2)那样的4个小正方形。如果画出两个(1)，就可以剪出8个(2)那样的小正方形。 用(2)的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中(1),(5)中的任何一个图形。 这时可清楚地看出，图40-45中(1),(5)每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中(1)的阴影部分的面积相等，它们的面积都是: 2×2-3.14×1×1=0.86(平方厘米) 同理，用8个图40-46中(2)的小正方形可以组合、拼接出图40-45中(6),(10) 的任何一个图形。 图40-45中(6),(10)每个图形的阴影面积都是图40-46中(1)的阴影面积的2倍: (2×2-3.14×12)×2=1.72(平方厘米)