2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2 球坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4

2017-2018学年高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2 球坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4 2(球坐标系 球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|,r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示(这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系(把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r?0,0?φ?π，0?θ,2π. (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为x,rsin φcos θ，,,y,rsin φsin θ， , ,z,rcos φ., 将点的球坐标化为直角坐标 π3π,, 已知点P的球坐标为4，，，求它的直角坐标( ,44, 直接套用变换公式求解( 由变换公式，得 3ππx,rsin φcos θ,4sincos,2. 44 3ππy,rsin φsin θ,4sinsin,2. 44 3πz,rcos φ,4cos,,22. 4 ?它的直角坐标为(2,2，,22)( 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 1(求下列各点的直角坐标: 1 ππ3π7π,,,,(1)M2，，;(2)N2，，. ,63,,46,解:(1)由变换公式，得 ππ1x,rsin φcos θ,2sincos,， 632 ππ3y,rsin φsin θ,2sinsin,， 632 πz,rcos φ,2cos,3. 6 ,,13?它的直角坐标是. ,,，，3,,22 (2)由变换公式，得 3π7π6x,rsin φcos θ,2sincos,,. 462 3π7π2y,rsin φsin θ,2sinsin,,. 462 3πz,rcos φ,2cos,,2. 4 ,,62?它的直角坐标为,,. ,，,，,2,,22 2(将点M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标( 解:?(r，φ，θ),(π，π，π)， ?x,rsin φcos θ,0， y,rsin φsin θ,0， z,rcos φ,,π. ?点M的直角坐标为(0,0，,π). 将点的直角坐标化为球坐标 设点M的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标( 直接套用坐标变换公式求解( 由坐标变换公式，可得 222222r,x，y，z,1，1，,2,,2. 由rcos φ,z,2， 22π得cos φ,,，φ,. 24r yπ又tan θ,,1，θ,(M在第一象限)， 4x 2 ππ,,从而知M点的球坐标为2，，. ,44, 由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公 ,sin φcos θ，xr,,222y,rsin φsin θ，式，θ，φ代入点的球坐标即可;也可以利用求出rr,x，y, ,z,rcos φ，, yz2，z，tan θ,，cos φ,.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清xr 点所在的象限，准确取值，才能无误( 3(求下列各点的球坐标: (1)M(1，3，2);(2)N(,1,1，,2)( 222222解:(1)r,x，y，z, 1，,3,，2,22， 由,cos φ，得 zr z22cos φ,,,. 2r22 π?φ,， 4 y3又tan θ,,,3，x>0，y>0， 1x π?θ,， 3 ππ,,?它的球坐标为22，，. ,43, (2)由变换公式，得 222222r,x，y，z, ,,1,，1，,,2,,2. z2由z,rcos φ，得cos φ,,,. 2r 3π?φ,. 4 y1又tan θ,,,,1，x,0，y,0， ,1x 3π?θ,. 4 3 3π3π,,?它的球坐标为2，，. ,44, 课时跟踪检测(六) 一、选择题 ππ,,1(已知一个点的球坐标为1，，，则它的方位角为( ) 63,, π3πππA. B. C. D. 3426 解析:选A 由球坐标的定义可知选A. 5,,2(设点M的柱坐标为2，π，2，则它的球坐标为( ) ,4, πππ5 π5 ππ3 ππ,,,,,,,,A.2，， B.2，， C.2，， D.2，， ,44,,44,,44,,44, 解析:选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)， 5 πx,2cos ，4,,5 π ,y,2sin，4 ,,z,2， x,,1，,y,,1，故 , ,z,2. 设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)( 222则ρ,,,1,，,,1,，,2,,2， π由2,2cos φ知φ,. 4 ,1又tan θ,,1， ,1 5 π故θ,， 4 π5 π,,故点M的球坐标为2，，. ,44, π,,3(点P的球坐标为1，，π，则它的直角坐标为( ) ,2, A((1,0,0) B((,1，,1,0) C((0，,1,0) D((,1,0,0) π解析:选D x,rsin φcos θ,1?sin?cos π,,1， 2 4 πy,rsin φsin θ,1?sin?sin π,0， 2 πz,rcos φ,1?cos,0. 2 ?它的直角坐标为(,1,0,0)( 4(设点M的直角坐标为(,1，,1，2)，则它的球坐标为( ) πππ5π5ππ3ππ,,,,,,,,A.2，， B.2，， C.2，， D.2，， ,44,,44,,44,,44,解析:选B 由坐标变换公式，得 z2π222r,x，y，z,2，cos φ,,，?φ,. 24r y,15π?tan θ,,,1，?θ,. ,14x π5π,,?M的球坐标为2，，. ,44, 二、填空题 π3π,,5(已知点M的球坐标为4，，，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是44,, ________( 解析:由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标( 3π,, 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :(,2,2,22) 22，，22 ,4, 6(在球坐标系中，方程r,1表示________( 解析:数形结合，根据球坐标的定义判断形状( 答案:球心在原点，半径为1的球面 ππ3π3π,,,,7(在球坐标系中A2，，和B2，，的距离为________( ,44,,44, 解析:A，B两点化为直角坐标分别为:A(1,1，2)，B(,1,1，,2)( 222?|AB|,[1,,,1,]，,1,1,，[2,,,2,],23. 答案:23 三、解答题 8(将下列各点的球坐标化为直角坐标( π5π,,(1)4，，; ,23, 3π,,(2)8，，π. ,4, 5 π5ππ5π解:(1)x,4sincos,2，y,4sinsin,,23， 2323 πz,4cos,0， 2 ?它的直角坐标为(2，,23，0)( 3π(2)x,8sincos π,,42， 4 3π3πy,8sinsin π,0，z,8cos,,42， 44 ?它的直角坐标为(,42，0，,42)( 9(如图，请你说出点M的球坐标( 解: 由球坐标的定义，记|OM|,R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示( ?点M的球坐标为:M(R，φ，θ)( 10(如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标((其中O是?BCD的中心) 解:?O是?BCD的中心， 36?OC,OD,OB,，AO,. 33 ,,,,3π3π2π?C，D， ,,,,，，0，，,,,,32323 ,,,,3π4π6B，A. ,,,,，，，0，0,,,,3233 6