高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理) 关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处 理技巧以及 心得 信息技术培训心得 下载关于七一讲话心得体会关于国企改革心得体会关于使用希沃白板的心得体会国培计划培训心得体会 、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于的关系的推广应用: sin,,cos,与sin,cos,(或sin2,) 2221、由于故知道，必可推(sin,,cos,)(sin,,cos,),sin,，cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,出，例如: sin,cos,(或sin2,) 333例1 已知。 sin,,cos,,,求sin,,cos,3 3322分析:由于 sin,,cos,,(sin,,cos,)(sin,，sin,cos,，cos,) 2 ,(sin,,cos,)[(sin,,cos,)，3sin,cos,] sin,,cos,sin,cos,,,,, 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的 题型。 2 解:? (sin,,cos,),1,2sin,cos, 311212sincos()sincos 故: ,,,,,,,,,333 332 sin,,cos,,(sin,,cos,)[(sin,,cos,)，3sin,cos,] 3313142 ,[()，3，],，,3 333339 ,,,,例2 若sin+cos=m，且tg+ctg=n，则m n的关系为( )。 22 222222n,，1m,A(m=n B(m= C( D( 2nnm ,,,,分析:观察sin+cos与sincos的关系: 22(sincos)11,，,,m,,, sincos= ,22 1,,tg，ctg,,n而: sin,cos, 2m,1122,,m,，1故:，选B。 2nn ,,,例3 已知:tg+ctg=4，则sin2的值为( )。 1111,, A( B( C( D( 2424 11分析:tg+ctg= ,4,sincos,,,,,sincos4,, 1 故:。 答案选A。 sin2,2sincos,sin2,,,,,2 44例4 已知:tg+ctg=2，求 sin,，cos,,, 44分析:由上面例子已知，只要能化出含sin?cos或sincos的式子，则即可sin,，cos,,,,, 1根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg= ,2,,,,,,,sincos 144sincos,,,，此题只要将化成含sincos的式子即可: sin,，cos,,,2 22224444解:=+2 sincos-2 sincos sin,，cos,sin,，cos,,,,, 2222 =(sin+cos)- 2 sincos ,,,,2 =1-2 (sincos) ,, 122，() =1- 2 1 =1, 2 1 = 2 sin,,cos,，sincos及tg+ctg三者之间可以互化， 通过以上例子，可以得出以下结论:由于,,,,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通 sin,,cos,过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于,,2sin,,cos,sin,,cos,()=1?2sincos，要进行开方运算才能求出 ,, 二、关于“托底”方法的应用: 在三角函数的化简计算或 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg(或ctg),,与含sin(或cos)的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: ,, ,,sin,3cos例5 已知:tg=3，求的值。 ,2sin,，cos, ,sin,tg,分析:由于，带有分母cos,，因此，可把原式分子、分母各项除以cos,，“造出”tg,，cos, 即托出底:cos,; ,,,,k,，,cos,,0解:由于tg,=3 2 ,,sincos,3,,tg,33,3,,coscos,,,0 故，原式= ,,sincostg,2，12，3，12,，coscos,, 2,,,,例6 已知:ctg= -3，求sincos-cos=? ,,coscos,ctg,分析:由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没sin,sin, 22sin,，cos,,1有分母，为了使原式先出现分母，利用公式:及托底法托出其分母，然后再分子、分 ,,母分别除以sin，造出ctg: 2 数学 2,,,sincos,cos222,,,,,sin，cos,1,sincos,cos,解: 22sin,，cos, ,,coscos2,()2,,ctg,ctg,,2sinsin分子,分母同除以sin, , 2,cos21，ctg,1，()sin, 23(3)6,，, ,,,251(3)，, 例7 (95年全国成人 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 理、工科数学试卷) ,,,,0,0设， ,x,,y,且sinxsiny,sin(,x)sin(,y)2236 3求:的值 (ctgx,)(ctgy,3)3 分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于 ,,0,0,x,,y,，故，在等式两边同除以，托出分母为底，得: sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22 解:由已知等式两边同除以得: sinxsiny ,,,,,,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366 ,1,,,1 sinxsinysinxsiny 13cosx,sinxcosy,3siny,,,,14sinxsiny 1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14 33,(ctgx,)(ctgy,3),143 34,(ctgx,)(ctgy,3),333 “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于 ,,cossin,,ctg,tg,，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通cos,sin, 过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。 2222sin,，cos,,1sin,，cos,而添加分母的方法主要有两种:一种利用，把作为分母，并不改变原式 的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 acosx,bsinx三、关于形如:的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用: acosx,bsinxsinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)可以从公式中得到启示:式子与上述公式有点相似， 3 如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如acosx,bsinx的式子都可以变成含的式sin(A,x)子，由于-1??1， sin(A,x) 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点:不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式 3cosx，4sinx子:中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑:-1?sinA?1，-1?cosA?1，可以如下处理式子: ,,ab22,, acosx,bsinx,a，bcosx,sinx,,2222a，ba，b,, ab22()，(),1由于。 2222a，ba，b absinA,cosA,,cosA,,1,sinA故可设:，则，即: 2222a，ba，b 2222? acosx,bsinx,a，b(sinAcosx,cosAsinx),a，bsin(A,x) A,x无论取何值，-1?sin(A?x)?1， 222222?? ,a，ba，ba，bsin(A,x) 2222acosx,bsinx?? 即:,a，ba，b 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例1(98年全国成人高考数学考试卷) 2求:函数的最大值为(AAAA ) y,3cosx,sinxcosx 333,13，11，1, A( B( C( D( 22 112cso2xsinxcos,,2sinxcosx,sin2xcosx分析:，再想 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 把变成含的式子:22 cos21x，22cos22cos1cosx,x,,x, 2 cos2x，11y,3,,sin2x于是: 22 331,cos2x，,sin2x 222 313,(cos2x,sin2x)， 222 31312222a,,b,,则a，b,()，(),1由于这里: 2222 4 数学 313? y,1，(cos2x,sin2x)，222 3 31a2设: sin,cosA,,,则A,22122a，b 3? y,sinAcos2x,cosAsin2x，2 3 ,sin(A,2x)，2 33无论A-2x取何值，都有-1?sin(A-2x)?1，故?? ,1，y1，22 3?的最大值为，即答案选A。 y1，2 例2 (96年全国成人高考理工科数学试卷) 3在?ABC中，已知:AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使?DEF为正 三角形，记?FEC=?α，问:sinα取何值时，?EFD的边长最短,并求此最短边长。 22222分析:首先，由于，可知?ABC为Rt?，其中AB为斜边，所对角BC，CA,1，(3),4,AB BC1sinA,,,故A,30:?C为直角，又由于，则?B= AB2 ll90?—?A=60?，由于本题要计算?DEF的最短边长，故必要设正?DEF的边长为，且要列出有关为 ll未知数的方程，对进行求解。观察?BDE，已知:?B=60?，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据 lll正弦定理列出等式，从而产生关于的方程。在图中，由于EC=?cosα，则BE=BC-EC=1-?cosα。 而?B+?BDE+?1=180? ?α+?DEF+?1=180? ?BDE=?α , ?B=60?，?DEF=60? ?在?BDE中，根据正弦定理: ,BFDE1,l,cosl,,, sin，BDEsin，Bsin,sin60: 333,(1,l,cos,),l,sin,,,l,cos,,l,sin, 222 3 2,l, 3cos,，sin,2 5 3l在这里，要使有最小值，必须分母:有最大值，观察:cos,，sin,2 33372222 cossin,,1()1,，,a,b,,a，b,，,2222 372127? cos,，sin,,(cos,，sin,)2277 2721设:，则cosA, sinA,77 37故: cos,，sin,,(sinAcos,，cosAsin,)22 7 ,sin(A，,)2 73?的最大值为。 cos,，sin,22 3 212l,即:的最小值为: 77 2 ,,A，,2k，,,2k，,A而取最大值为1时， sin(A，,),,,,22 27,sin,sin(2k，,A),cosA,? ,,27 2721sin,即:,时，?DEF的边长最短，最短边长为。 77 acosx,bsinx从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、 222222a，ba，b,a，b减是无关，与的最值有关;其中最大值为，最小值为。在计算三角函数的 acosx,bsinx极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。 三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90º，90º)的公式. 6 数学 kk 1.sin(kπ+α)=(-1)sinα(k?Z);2. cos(kπ+α)=(-1)cosα(k?Z); kk 3. tan(kπ+α)=(-1)tanα(k?Z);4. cot(kπ+α)=(-1)cotα(k?Z). 二、见“sinα?cosα”问题，运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方); 2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方); 3.|sinα|>|cosα|óα的终边在?、?的区域内; 4.|sinα|<|cosα|óα的终边在?、?区域内. 三、见“知1求5”问题，造Rt?，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。 五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以22视其分母为1，转化为sinα+cosα. 形式，启用“平方差”公式: 六、见“正弦值或角的平方差” 2222 1.sin(α+β)sin(α-β)= sinα-sinβ;2. cos(α+β)cos(α-β)= cosα-sinβ. 七、见“sinα?cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则: 2 (sinα?cosα)=1?2sinαcosα=1?sin2α,故 22 1.若sinα+cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=t-1=sin2α; 22 2.若sinα-cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=1-t=sin2α. 八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=,,, 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系:(A?0) 1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称; 2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称; 3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式: 7 22222 1.|sinx|?1,|cosx|?1;2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+φ)?(a+b); 222 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 22 1.cos2x=1-2sinx=2cosx-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等 角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 8 数学 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ?cotα,1 sinα ?cscα,1 cosα ?secα,1 sinα/cosα,tanα,secα/cscα cosα/sinα,cotα,cscα/secα sin2α，cos2α,1 1，tan2α,sec2α 1，cot2α,csc2α 9