12.全等三角形

2016年01月06日254348139的初中数学组卷 　 一．选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （共10小题） 1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（  ） A．AB=CD    B．EC=BF    C．∠A=∠D    D．AB=BC 　 2．（2015•海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（  ） A．AB=DC，AC=DB    B．AB=DC，∠ABC=∠DCB C．BO=CO，∠A=∠D    D．AB=DC，∠DBC=∠ACB 　 3．（2015•六盘水）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（  ） A．∠A=∠D    B．AB=DC    C．∠ACB=∠DBC    D．AC=BD 　 4．（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（  ） A．4个    B．3个    C．2个    D．1个 　 5．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（  ） A．    B．2    C．3    D．+2 　 6．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（  ） A．BD=CD    B．AB=AC    C．∠B=∠C    D．∠BAD=∠CAD 　 7．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（  ） A．4对    B．3对    C．2对    D．1对 　 8．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（  ） A．ASA    B．SSS    C．SAS    D．AAS 　 9．（2015•邵阳县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（  ） A．1    B．2    C．3    D．4 　 10．（2015•绵阳模拟）如图，Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到C，使EC=AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线两线相交于点D，连接AD．若AB=3，DC=4，则AD的长是（  ） A．5    B．7    C．5    D．无法确定 　 　 二．填空题（共9小题） 11．（2015•张家界）如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件      ，使得△ABO≌△CDO． 　 12．（2015•广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是      ． 　 13．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是      度． 　 14．（2015•杭州模拟）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是      ． 　 15．（2015•芦溪县模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为      cm． 　 16．（2015春•张家港市期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是      ． 　 17．（2015春•苏州校级期末）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，若△EDC≌△ABC，则∠BCE：∠BCD=      ． 　 18．（2015春•漳州期末）如图，线段AB与CD相交于点O，OA=OC，还需增加一个条件，      ，使得△AOD≌△COB． 　 19．（2015春•大同期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是      ． 　 　 三．解答题（共7小题） 20．（2015•安顺）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 　 21．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF． （1）当AB=2时，求△GEC的面积； （2）求证：AE=EF． 　 22．（2015•孝感三模）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 　 23．（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE． 　 24．（2015•北京校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C． 　 25．（2015•武汉模拟）如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF∥AB，AE=EC． 求证：AD=CF． 　 26．（2015•黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． 求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明． 　 　 2016年01月06日254348139的初中数学组卷 参考答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析 　 一．选择题（共10小题） 1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（  ） A．AB=CD    B．EC=BF    C．∠A=∠D    D．AB=BC 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可． 【解答】解：∵AE∥FD， ∴∠A=∠D， ∵AB=CD， ∴AC=BD， 在△AEC和△DFB中， ， ∴△EAC≌△FDB（SAS）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 2．（2015•海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（  ） A．AB=DC，AC=DB    B．AB=DC，∠ABC=∠DCB C．BO=CO，∠A=∠D    D．AB=DC，∠DBC=∠ACB 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可． 【解答】解：根据题意知，BC边为公共边． A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 3．（2015•六盘水）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（  ） A．∠A=∠D    B．AB=DC    C．∠ACB=∠DBC    D．AC=BD 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能． 【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 4．（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（  ） A．4个    B．3个    C．2个    D．1个 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确． 【解答】解：∵BF∥AC， ∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∴∠C=∠ABC， ∴AB=AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确， 在△CDE与△DBF中， ， ∴△CDE≌△DBF， ∴DE=DF，CE=BF，故①正确； ∵AE=2BF， ∴AC=3BF，故④正确． 故选A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键． 　 5．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（  ） A．    B．2    C．3    D．+2 【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有 【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE=1， 又∵直角△BDE中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3． 故选C． 【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键． 　 6．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（  ） A．BD=CD    B．AB=AC    C．∠B=∠C    D．∠BAD=∠CAD 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）； 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 7．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（  ） A．4对    B．3对    C．2对    D．1对 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】如图，首先证明△ABC≌△DCB，进而得到∠ECB=∠EBC，EB=EC，BF=CF；同理可证△EFB≌EFC、△ABE≌△DCE，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵AB∥EF∥CD，∠ABC=90°， ∴∠DCB=∠EFB=∠ABC=90°； 在△ABC与△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ECB=∠EBC， ∴EB=EC，BF=CF； 同理可证△EFB≌EFC、△ABE≌△DCE； ∴图中的全等三角形有3对， 故选B． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质，这是灵活运用、解题的关键． 　 8．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（  ） A．ASA    B．SSS    C．SAS    D．AAS 【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有 【分析】由作图可得CO=DO，CE=DE，OE=OE，可利用SSS定理判定三角形全等． 【解答】解：在△OCE和△ODE中， ， ∴△OCE≌△ODE（SSS）． 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 9．（2015•邵阳县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（  ） A．1    B．2    C．3    D．4 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】因为AB=AC，AF⊥BC，所以F为BC的中点，BF=F，又因为BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，然后根据SSS或HL可得． 【解答】解：因为AB=AC，AF⊥BC，所以F为BC的中点，BF=FC，又因为BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE， 因为AB=AC，AF⊥BC，AF=AF，根据HL，可得△ABF≌△AFC； AF=AF，DF=EF，AF⊥DE，根据HL，可得△ADF≌△AEF，AD=AE； AD=AE，BD=EC，AB=AC，根据SSS可得△ABD≌△ACE； AF=AF，DF=EF，AF⊥BC，根据HL可得△ADF≌△AEF； AB=AC，AD=AE，BE=CD，根据SSS可得△ABE≌△ACD；所以有4对全等三角形． 故选D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；要注意的问题是：不要忽视△ABE≌△ACD．做题时要从已知条件开始思考，结合图形，利用全等三角形的判定方法由易到难逐个寻找，做到不重不漏． 　 10．（2015•绵阳模拟）如图，Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到C，使EC=AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线两线相交于点D，连接AD．若AB=3，DC=4，则AD的长是（  ） A．5    B．7    C．5    D．无法确定 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有 【专题】几何图形问题． 【分析】通过AAS证得△ABE≌△ECD，则对应边AE=ED，BE=CD．在直角△ABE中利用勾股定理求得AE的长度，然后再在直角△AED中利用勾股定理来求AD的长度． 【解答】解：如图，∵∠C=∠B=90°，∠AED=90°， ∴∠1=∠2． 在△ABE与△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴AE=ED，BE=CD=4， ∴在直角△ABE中，由勾股定理得 AE2=AB2+BE2=32+42=52．则AE=5． 在等腰直角△AED中，AD=AE=5． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形．利用全等三角形的性质求得AE=ED，BE=CD=4是解题的关键． 　 二．填空题（共9小题） 11．（2015•张家界）如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件　∠A=∠C　，使得△ABO≌△CDO． 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】开放型． 【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB=∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A=∠C即可． 【解答】解：∵∠AOB、∠COD是对顶角， ∴∠AOB=∠COD， 又∵AB=CD， ∴要使得△ABO≌△CDO， 则只需添加条件：∠A=∠C．（答案不唯一） 故答案为：∠A=∠C．（答案不唯一） 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 　 12．（2015•广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是　4　． 【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可． 【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCE=∠DCF， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90°， 在△DEC和△DFC中， （AAS） ∴△DEC≌△DFC， ∴DF=DE=2， ∴S△BCD=BC×DF÷2 =4×2÷2 =4 答：△BCD的面积是4． 故答案为：4． 【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握． 　 13．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是　60　度． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 【专题】几何图形问题． 【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解． 【解答】解：∵等边△ABC， ∴∠ABD=∠C，AB=BC， 在△ABD与△BCE中，， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ABE+∠EBC=60°， ∴∠ABE+∠BAD=60°， ∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°， ∴∠APE=60°． 故答案为：60． 【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点． 　 14．（2015•杭州模拟）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是　50　． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【解答】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED=∠EFA=∠BGA=90°， ∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG， ∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG ∴AF=BG，AG=EF． 同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG． 故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50． 故答案为50． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键． 　 15．（2015•芦溪县模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为　15　cm． 【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】先根据ASA判定△ACD≌△ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为15cm． 【解答】解：∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠ECD ∵DE⊥BC于E ∴∠DEC=∠A=90° ∵CD=CD ∴△ACD≌△ECD ∴AC=EC，AD=ED ∵∠A=90°，AB=AC ∴∠B=45° ∴BE=DE ∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 16．（2015春•张家港市期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是　65°　． 【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据Rt△ABC≌Rt△DEC得出AC=CD，然后判断出△ACD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC，然后根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEC． 【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC， ∴AC=CD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， ∴∠DEC=∠1+∠CAD=20°+45°=65°， 由Rt△ABC≌Rt△DEC的性质得∠B=∠DEC=65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 　 17．（2015春•苏州校级期末）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，若△EDC≌△ABC，则∠BCE：∠BCD=　1：4　． 【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】先求出△ABC的各角的度数，再根据全等三角形对应角相等求出∠ECD的度数，利用邻补角的定义先求出∠ECA的度数，根据∠BCE=∠ACB﹣∠ECA求出∠BCE的度数，然后求出比值． 【解答】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10， ∴∠ACB=180°×=100°， ∵△EDC≌△ABC， ∴∠ECD=∠ACB=100°， ∴∠ECA=180°﹣∠ECD=180°﹣100°=80°， ∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=100°﹣80°=20°， ∴∠BCD=80° ∴∠BCE：∠BCD=20°：80°=1：4． 故答案为1：4． 【点评】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质和邻补角之和等于180°，根据比值和三角形内角和定理求出∠ACB的度数是解题的关键． 　 18．（2015春•漳州期末）如图，线段AB与CD相交于点O，OA=OC，还需增加一个条件，　OD=OB　，使得△AOD≌△COB． 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】依题意知，本题要通过SAS证明三角形全等．已知条件中，OA=OC，且∠AOD=∠COB为对顶角相等．则还需填夹这一对角的另一对对应边相等即可． 【解答】解：添加条件OD=OB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（SAS）． 故答案为OD=OB（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 　 19．（2015春•大同期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是　5　． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据正方形性质得出AD=CD，∠ADC=90°，求出∠EAD=∠FDC，证△AED≌△DFC，求出DE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理求出AD，即可求出正方形的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵AE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠AED=∠DFC=90°， ∴∠ADE+∠CDF=180°﹣90°=90°，∠ADE+∠EAD=90°， ∴∠EAD=∠CDF， 在△AED和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴DE=CF=2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AD==， 即正方形ABCD的面积是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出DE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 　 三．解答题（共7小题） 20．（2015•安顺）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有 【专题】证明题． 【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形． 【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四边形AEDF为菱形． 【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况． 　 21．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF． （1）当AB=2时，求△GEC的面积； （2）求证：AE=EF． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 【专题】证明题． 【分析】（1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得S△GEC； （2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF； 【解答】解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点， ∴BE=EC=1， ∵AE⊥EF， ∴△ABE∽△ECG， ∴AB：EC=BE：GC， 即：2：1=1：GC， 解得：GC=， ∴S△GEC=•EC•CG=×1×=； （2）证明：取AB的中点H，连接EH； ∵ABCD是正方形， AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB=90°， ∠2+∠AEB=90° ∴∠1=∠2， ∵BH=BE，∠BHE=45°， 且∠FCG=45°， ∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE， ∴△AHE≌△ECF， ∴AE=EF； 【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF． 　 22．（2015•孝感三模）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 【考点】全等三角形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可． （2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可． 【解答】证明：（1）∵AD∥BE， ∴∠A=∠B， 在△ACD和△BEC中 ∴△ACD≌△BEC（SAS）， （2）∵△ACD≌△BEC， ∴CD=CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE． 【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 　 23．（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE． 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】证明题． 【分析】根据AB∥DC，可得∠C=∠A，然后由AE=CF，得AE+EF=CF+EF，最后利用SAS判定△ABF≌△CDE． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠C=∠A， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 24．（2015•北京校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C． 【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】证明题． 【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C． 【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键． 　 25．（2015•武汉模拟）如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF∥AB，AE=EC． 求证：AD=CF． 【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】证明题． 【分析】首先根据平行线的性质可得到∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE，再证明△ADE≌△CFE即可得到AD=CF． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE． 在△ADE和△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． ∴AD=CF． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADE≌△CFE． 　 26．（2015•黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． 求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明． 【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】证明题；探究型． 【分析】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供． 【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD 即∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． （2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE． 证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠E． ∵∠DAE=90°， ∴∠E+∠ADE=90°． ∴∠ADB+∠ADE=90°． 即∠BDE=90°． ∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． 　 考点卡片 　 1．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 　 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等         性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等       ②全等三角形的周长相等，面积相等       ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 　 3．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 　 4．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 　 5．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 　 6．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质     ①等腰三角形的两腰相等     ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】     ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 　 7．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 　 8．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 　 9．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 　 10．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=+1，所以r：R=1：+1． 　 11．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 　 12．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质     ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；     ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；     ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．     ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 　 13．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角．  （3）作已知线段的垂直平分线．  （4）作已知角的角平分线．  （5）过一点作已知直线的垂线． 　 14．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 　 文档已经阅读完毕，请返回上一页！