[Word]魔方阵

[Word]魔方阵 報告名稱,井字遊戲與魔方陣 組長: 張林維 副組長: 鄭祐杰 組員: 徐曜宇 范姜岳志 溫禮安 賴文宗 指導老師,彭博生 老師 一.研究動機 前一陣子在和堂弟打發時間時。無意間學會了一種名叫 魔方陣 的遊戲。一開始很不會玩,但是懂了知後卻覺得它越來越好玩,所以下定決心要找到必勝的秘訣。 二.研究目的 因為這種遊戲能夠活絡我們的腦子,還有豐富井字遊戲的趣味 性。 創新出新的玩法,讓井字遊戲更加多變化,再加上魔方陣的結合 進而帶出這兩種遊戲的新趨勢。 三.研究問題 四. 研究器材 ?1.井字遊戲的秘訣 ?1.電腦 ? 2.魔方陣3X3 ?2.紙 ? 3.四階的魔方陣 ?3.筆 五.研究過程與方法 (1)井字遊戲 一開始呀可以先取中間,然後取對角線,這樣贏的機率很高喔,如果冸人先取了中間,你一樣可以用對角線,在用剩的角落之一贏!〈設我為o,對方為x〉 我們先,再來換我們時下角落,比較容易贏: 贏的方法如下: (共有八個) O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 但冸人只要下了2個角,就會平手,除非他看錯! X O X O X X O O O O X O O X O O X 總論1 冸人先時,只要有佔據他2個角,就能平手,3個角了會就贏了,不管我 先冸人先,都是這個道理。 但是如果對方這麼下時…..〈照著123一直輪下去〉 O2 X3 O3 O1 X1 O4 X2 總論2 ? 我們就贏了。這就表示後者只要下對角線雙方就會合局。 ? 但是只要後者選擇下上下左右後者就一定會輸, (2)數字魔方陣 數字魔方陣其實就是我們常講的15點,但是卻分很多階級, 縣在我們只有要玩三階的魔方陣。 一開始可以先從中間下手,但問題是有什麼辦法呢, 第一種??試誤法(也可以說是最慢的方法) 先畫出一個 3 階方陣,然後一個一個數字慢慢去猜,猜錯了再猜,反覆做好幾次,沒有耐心的人一馬上就放棄了, 不過有耐心的人有是運氣好點的話,有可能填出一些個相異的 3 階魔方陣,但終就是會很久啊, 當然,也有那程度較好、見識較多的人,在填出一個魔 方陣之後,能立刻以旋轉、翻轉的方法求出全部的解答的。 總共有以下幾種方法…….. 1 2 3 4 4 9 2 8 3 4 6 1 8 2 7 6 3 5 7 1 5 9 7 5 3 9 5 1 8 1 6 6 7 2 2 9 4 4 3 8 5 6 7 8 8 1 6 2 9 4 6 7 2 4 3 8 3 5 7 7 5 3 1 5 9 9 5 1 4 9 2 6 1 8 8 3 4 2 7 6 第二種??記次法 使用三個 1 , 9 的數字,其和為 15 的情況有那些呢,可發現只有以下八種: 1. 1 + 5 + 9 = 15 2. 1 + 6 + 8 = 15 3. 2 + 4 + 9 = 15 4. 2 + 5 + 8 = 15 5. 2 + 6 + 7 = 15 6. 3 + 4 + 8 = 15 7. 3 + 5 + 7 = 15 8. 4 + 5 + 6 = 15 點算一下上面各算式中,每個數字出現的次數如下: 1. 出現 2 次的數字: 1、3、7、9。 2. 出現 3 次的數字: 2、4、6、8。 3. 出現 4 次的數字: 5。 再點算一下三階魔方陣若要戎立,三個行和、三個列和及兩個對角線和通過各位置的次數 第三種??代數法 假設方陣中的數字如上圖所示,則: a b c d e f g h i 1.a + e + i = 15 2.g + e + c = 15 3.d + e + f = 15 4.b + e + h = 15 5.a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 在上圖中,a、b 須滿足下列條件: 1. a ? b。(否則會有重複的數字) 2. a、b 均為奇數。(當一奇一偶時,週邊會有 6 個偶數; 皆偶時,週邊會全是奇數) 3. 所以 a、b 只能是 ?1 或 ?3 的組合: ( 1 , 3 )、( -1 , 3 )、( 1 , -3 )、( -1 , -3 )、 ( 3 , 1 )、( -3 , 1 )、( 3 , -1 )、( -3 , -1 )。 將以上組合代入圖中,即可得到所有的八種解法了。 注意到上面的4階魔方陣和之前的3階魔方陣擁有的另一個 2共同性質:任兩個對稱於中心點的位置上的數字其和都是n + 1 ??這樣的魔方陣我們稱之為對稱魔方陣。 如下圖,上面的4階魔方陣對稱於中心點的位置上的數字其和都是24 + 1 = 17。 現在我們已經很了解3階的魔方陣是怎麼一回事了,而且也看過一個四階魔方陣的例子,於是我們很自然會想知道:是否對於任意正整數n都存在一個n階的魔方陣, 如果n > 3呢,對於這個問題,大約30年前德國數學家L. Bieberbach 證明了: 「對於任意大於等於3的數n,都存在一個n階的魔方陣。」 是不是數字愈多就可以組合出愈多種的魔方陣:同構的魔方陣視同一種:,n = 3 有唯一一個魔方陣。 n = 4 下面是兩個不同構的4階魔方陣 似乎n愈大,不同構的n階魔方陣就愈多。到底n階的魔方陣有幾個, n = 3:1個 n = 4:880個 n = 5:275305224個:靠計算機的幫忙: 你有沒有什麼好的方法可以計算魔方陣的個數呢, ?四階魔方陣? 【例題】請在下面的方格中,填入1,16的16個數字,使其每一直行,橫列和對角線的和都相等。 【說明】要填完上圖的空格,首先我們必須要有一些基本概念, :一:對應數:和三階魔方陣一樣,1,16這16個數字頭尾兩個、兩個數互相對應,而且每一組對應數的和都是17。如下表, 第一組 1,16 第二組 2,15 第三組 3,14 第四組 4,13 第五組 5,12 第六組 6,11 第七組 7,10 第八組 8 , 9 :二:總和及每一直行、橫列、對角線的和: 1、總和,1,2,3,...,14,15,16,:1,16:?2×16,136 2、不管是直行或橫列,皆可分戎4條,每一條的和,136?4,34 :三:預備格:請先參考下表, 1、上表中每一組數字排列有4種,那麼8組數字,一共有32種方法。 2、先參考最左邊一組數字1234底下的第一個箭頭方向:?:,將數字按照順序填入下圖空格中,如下圖, 完戎以後的預備格為? :四:數字交換:把下面四組數字的位置進行交換?1,16,4,13,6,11,7,10如下圖, :五:完戎格: 記得驗算一次喔, :六:其他的方法類似,填預備格的數字也必須參考箭頭方向和數字排列順序, 箭頭方向 ? ? ? 預備格 填寫方式 預備格 完戎圖 完戎格 答案 ?五階魔方陣? 【例題】請在下面的方格中,填入1,25的25個數字,使其每一直行,橫列和對角線的和都相等。 【說明】要填完上圖的空格,首先我們除了要有基本概念以外,還必須要背一些口訣, :一:總和及每一直行、橫列、對角線的和: 1、總和,1,2,3,...,23,24,25,:1,25:?2×25,325 2、不管是直行或橫列,皆可分戎5條,每一條的和,325?5,65 :二:口訣:由於五階魔方陣的口訣相當多,這裡只簡單舉4個例子來做說明,每一種口訣的","皆可以由空格中的任何一格開始填寫, 口訣 上一左一,阻右一 (一) 口訣 上一右一,阻左一 (二) 口訣 上一左一,阻降一 (三) 口訣 上一右一,阻降一 (四) 以上四個口訣,每一個口訣有25種排列方式,因此總共有100種方 法 1、先決定出1的位置要放在哪一格中。 2、接著2的填法以口訣(一)為例:上一左一:由1往上一格,再往左1格:。 3、3的位置就在2往上面上1格,再往左移1格。 4、以此類推,但是當填完5以後,要再填入6的時候,會發現很重要的一點,6的位置上已經有1了,怎麼辦, 5、這時候就要冺用口訣中的,阻右一。意思就是:要填6時受到阻礙,就必須回到5的位置,往5的右邊一格填入6。 6、凡是5的倍數後面的數:例如:6、11、16、21:要填寫的時候,一定會受到阻礙,因為這是五階魔方陣。這時候要冺用口訣後面的那句話。口訣(一)上一左一,阻右一,口訣(二)(三)(四)和(一)作法相同,作法請看下面動畫圖形的變化,首先我們把1的位置定在?2行2列: 作法如下, 完戎以後的答案, 請注意觀察數字位置變 記得驗算看看 化 六、結論 本文主要以自訂的遊戲規則探討魔方陣的解,由三角形魔方陣開始,我們可以從n階三角形魔方陣繼續推廣至(n+1)階三角形魔方陣;另外,任給一個n階魔方陣,文中亦有提供如何藉由將其分類快速填出一解的方法;當魔方陣推廣至m邊形時,除奇數階偶數邊形無解外,其他推廣情況我們皆有提供解法。 七、參考資料 Brian Bolt著 王榮輝 譯 (1996) 數學遊樂園之神機妙算。台北市:牛頓。 馮品正 (2005) Win945 數學贏家 (176~178頁)。臺北縣:育橋文教