浅谈悬链线

【摘要】神奇的數e出現了,就寫在蜘蛛絲上面。在薄霧的清晨,讓我們觀察昨夜織成的蜘蛛網,具黏性的絲,負載著小水珠的重量,彎曲成一條條的懸鏈線,水珠沿著曲線排成美麗的項鍊。當晨曦穿透霧氣,照射在蜘蛛網上,閃耀著彩虹色的亮光,就像一盤奪目的珍珠,榮耀歸功於e。──法布爾 法布爾(Fabre,1823~1915)是法國著名的昆蟲學家,他說:「在昆蟲的世界裡,可以激發我所有的思想與靈感。」這份「熱情」(passions)推動著他研究昆蟲的生活與行為,並且寫出《昆蟲記》之不朽名著,因而被後人尊稱為「昆蟲詩人」或「昆蟲學界的荷馬(Homer)」。 他觀察到的蜘蛛網項鍊(圖一),就是上述那段話的由來。 問題的提出 固定項鍊的兩端,在重力場中讓它自然垂下(圖二),問項鍊的曲線方程式是什麼? 這就是著名的「懸鏈線問題」(the hanging chain problem)。在1690年由賈可比?貝努利(Jakob Bernoulli, 1654~1705)公開提出來,向數學界挑戰,徵求 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 。在微積分初創時期,它正好可用來考驗微積分的威力。這是一段有趣而又極具啟發性的歷史,值得我們重溫一遍,細細品味。 在大自然中,除了懸垂的項鍊與蜘蛛網的水珠項鍊外,我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索(圖三),以及兩根電線桿之間所架設的電線(圖四),這些都是懸鏈線(catenary)。 由大自然引導出來的數學,讓我們覺得「有土、有根」,並且沾染、散發著「就在身邊的親切感」。 亞里斯多德與伽利略的錯誤 大家都看過海豚躍水的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 演(圖五),以及石頭(或砲彈)飛過天際的現象,並且知道它們的軌跡都是拋物線(parabola),這是超乎歐氏幾何的曲線。基本上,歐氏幾何只研究由直線與圓所交織出來的圖形世界。 亞里斯多德的錯誤 然而古希臘偉大哲學家(百科全書般的人物)亞里斯多德(Aristotle,384~ 322 B.C.),他卻認為石頭飛過天空的軌道應如圖六所示,因為根據他的「有機目的觀」的物理學與哲學,地面上的「自然運動」(natural motion)是直線,所以石頭飛出去是直線,掉下來也是直線並且垂直地面。 這個錯誤兩千年後才由伽利略(Galileo, 1564~1643)加以修正,並且得到軌跡的正確方程式為二次函數 y=ax2+bx+c,這不必用到微積分就可以求出來。事實上,伽利略不懂微積分,那時微積分還未真正誕生。 伽利略的錯誤 伽利略比貝努利更早注意到懸鏈線,但是「螳螂捕蟬,黃雀在後」,他也犯了錯誤:他猜測懸鏈線為拋物線。從外表看起來(圖二),懸鏈線的確很像拋物線,然而實際上並不是!惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(當時17歲),經由物理的論證,得知伽利略的猜測不對,但正確的答案這個時候他也求不出來。這是大自然的一個深刻秘密,只有微積分可以揭開它。 兩點啟示 首先是,檢驗錯誤易,建立真理難,即「理未易明,善未易察」。其次是,偉大的人物可能犯偉大的錯誤。因此,我們要時時警覺到費因曼(Feynman, 1918~ 1988)所說的「科學就是懷疑專家會有錯誤」,更進一步要如笛卡兒(Descartes, 1596~1650)之持「系統地、方法地懷疑」的態度。 科學哲學 這些啟示正好就是,在現代科學哲學中,波柏(K. Popper, 1902~1995)所提倡的「否證論」(Falsification theory)之出發點。否證論的要旨是:無論我們觀察了多少隻的白色天鵝,都沒有證明「凡是天鵝都是白色的」這個「理論」,但只要出現一隻黑天鵝,就否證了該理論。換言之,我們雖然無法證明一個科學理論是對的,但是我們可以透過批判討論(critical discussions)找出理論的錯誤所在,逼使胡說八道現原形,甚至否證、推翻它,將科學理論不斷地推陳出新。科學的進展是,成功踏著錯誤前進。 在這個觀點之下,科學方法就是「嘗試改誤」(trial and error),從錯誤中學習。特別地,前人的錯誤經驗,對後人更具有啟發性與教育價值。可惜,這幾乎都被我們的教育忽略了,而只講授成功的典範。 微積分馴服懸鏈線 伽利略的錯誤與惠更斯的無能為力,真正的理由是缺乏微積分工具,要馴服懸鏈線就必須用到微積分! 我們知道,微積分經過兩千年的醞釀,到了十七世紀後半葉,才由牛頓(Newton, 1642~1727)與萊布尼慈(Leibniz, 1646~1716)兩人獨立地發明。牛頓在1660年代發明,但直到1711年才發表;萊布尼慈在1670年代發明,在1684年就發表,比牛頓還早公諸於世。 微積分基本上是要探求曲線的切線與曲線所圍成的面積這兩個問題。它們的解決都必須經過「無窮步驟」,才能得到答案,落實於取極限或無窮小的演算。換句話說,微積分是道道地地的「無窮之學」(the science of infinity),這是微積分之所以深刻、困難與迷人的理由。 牛頓與萊布尼慈的微積分,最主要的內涵是:建立微分法的系統演算規則並且看出微分與積分的互逆性。 微分法的正向演算(即由f(x)求出f'(x)),解決了求切線、求極值、求速度、加速度以及一切變化率的問題。 微分法的反向演算(即由f'(x)求出f(x)),解決了兩千年的求積分之難題以及運動現象的里程問題等等。 更要緊的是,面對大自然變化萬千的現象,利用「物之理」與微分法,我們可以將一條未知曲線(或一個未知函數),網在一個微分方程式之中,再利用「積分法」(即反微分法),解開網子,求得未知曲線(或未知函數)。這和我們在中學時代,利用代數方程式網住未知數x,再求解方程式的手法完全一樣。 微分法是人類苦練兩千餘年才得到的寶劍,削金斬鐵,銳利無比。當賈可比?貝努利在1690年提出「懸鏈線問題」後,隔年(1691年)萊布尼慈、惠更斯(當時他已62歲)與約翰?貝努利(Johann Bernoulli, 1667~1748,賈可比?貝努利之弟)都利用這一把利器,求得正確的答案: 件】(1) 【瀏覽原 其中e為神奇的數 件】 【瀏覽原 這就是法布爾所說的「榮耀歸功於e」之由來。 此地我們用了較後來才出現的現代數學術語與記號來表達,下面我們也要按此要領,先建立懸鏈線所滿足的微分方程,然後再求解之。 數學模型 考慮如圖七呈平衡靜止的懸鏈線。假設它的密度與粗細都是均勻的,令y軸通過它的最低點P0,並且s表示從P0到變動點P(x,y)的弧長,w0表線密度(即單位長度的重量)。再令P0點與P點的張力分別為T0與T,它們都切於懸鏈線。作用於弧段s之力,除了T0與T之外,還有向下的w0s,這是弧段的重量。 因為弧段s是靜止的,故作用力是平衡的,即x軸與y軸方向的合力都是0。因此 Tcosθ=T0,Tsinθ=w0s (3)後式除以前式得到 tanθ=w0s/T0(4)因為 dy/dx=tanθ,並且令α=w0/T,所以 dy/dx=as(5)為了消去s,上式對x作微分,並利用曲線弧長公式,我們得到 件】(6) 【瀏覽原 這是一個二階微分方程,我們還有兩個天然的初期條件 y(0)=y0, y'(0)=0(7) 上述(6)與(7)兩式就是懸鏈線y=f(x)這個未知函數所滿足的方程式。求解微分方程 我們求解(6)與(7)兩式。令P=dy/dx,則(6)式變成 继续阅读