狭义相对论几个公式公式推导

狭义相对论几个公式公式推导 福建省永春县东关中心小学 陈金江 运动物体的长度缩率公式和不同点上的时刻公式推导 爱因斯坦曾假设:“在真空中，光的传播速度相对任何参照系都一样:不论发光体的运动速度如何，也不论光接受体的运动速度如何，光波相对它们的传播速度都是一样的。”否则，我们观察到遥远的恒星(特别是双星)将会发生十分混乱的现象。 根据这个假设，可以推导出:运动方向上长度的缩率和另参照系看我参照系同时事件的情况的规律。 设在S系中看到两条等长线段AB和A’B’，它们分别在S参照系和S’参照系。S和S’相对运动速度为v光秒/秒。并且在S参照系看来:AB=A’B’=a光秒。如图所示: A’(t秒) B’(0秒) P’ V光秒/秒 S’系 S系 Q A(0秒) B(0秒) B’ A’ P’ Q’ V光秒/秒 S’系 S系 Q A B 图1 设A和A’相遇时，A和A’会发出闪光，或B和B’相遇时，B和B’也会发出闪光。 我们在S系看来，由于AB=A’B’,所以A和A’与B和B’是同时相遇的，所以它们同时发出闪光。光波将在AB中点Q相遇，在S’系中光波也必在相应点Q’相遇(因为光波对S’系的传播速度和S’运动无关)。 由于Q’点不在A’B’的中间，所以在S’系看来，两次闪光不是同时的。因为B’发出的光波走的距离B’Q’比A’发出的光波走的距离A’Q’ 多。因而是B’先闪光，A’后闪光。也就是B和B’先相遇，A和A’后相遇。A’和B’的时刻在S’系看来是不同时的，而是B’ ’迟。 早，A 在S’系中，由于A、A’和B、B’不同时相遇，所以S’系看到的两条段AB和A’B’也不相等。因为B、B’先相遇，所以必是A’B’>AB。情况如图2所示: A’(0秒) B’(0秒) V光秒/秒 A( 秒) B(0秒) t秒后 P’ B’(t秒) A’(t秒) S’系 V光秒/秒 S系 2A(0秒) vB(t秒) 1,2 c Q’ P’ S’系 V光秒/秒 S系 图2 Q 、A’的时刻数，B、B’的时刻数与在S系中看发出闪光时，A 到的是一样的。光波相遇点Q在AB中的位置比例，Q’在A’B’中的位置比例和在S系中看到的一样，所以并不矛盾。 综上所述，在S系看来是同时的事件，相等的线段，而在S’系中看来却是不同时，不相等的。那它们有什么规律呢, 系看来则缩短了，小在S系看来AB的长度为a光秒，而在S’ 于a光秒。同样，在S系看来A’B’也是a光秒，其实也是缩小了的，在S’系中看到的A’B’实际长度要大于a光秒。它们的缩率是相等的，设为n。 由图1得，在S系中，从AB发光到光波相遇，两系已相对运动 avav了光秒。也就是AB与A’B’的中点错开的距离P’Q’=。(见图1)2c2c av由于S系系已把这距离缩短了，在S’系看来应是P’Q’=。所以在2cn avS’系看来B’发出的光波比A’发出的光波多走了光秒。 cn 假设S’系中看到B、B’相遇发出闪光后，再经过t秒，A、A’才相遇发出闪光。则在S系看到的A’的时刻数应比B’的时刻数多t秒。因此S’系认为B’发出的光波比A’发出的 光波多ct光 av秒。联系上面可列出方程:=ct (1) cn 由于运动方向上长度缩短，所以在S系中看到的AB= A’B’=a光 a秒，而在S’系中则看到AB=na光秒，A’B’=光秒。 n a-an=vt (2) 由图2可得:n 联立(1)(2)可得方程组: av =ct (1) cn a -an=vt (2) n 2化成: av=cnt (3) 2-an=vnt (4) a 2n1,(4)v得:= 2(3)vc 得到长度缩率公式: 2vn= 1,2c 代入(1)得到不同点上的时刻公式(和运动方向相反，越往后 时刻数越多): v a，2ct= 2 v1,2c 运动物体上时间缩率公式公式推导 由运动上长度缩率公式可推导出时间缩率公式:设S’系中有一点P，S系中有线段AB，S、S’系的相对速度是v光秒/秒。当P遇A时，P和A时间的时刻数都是0秒，如图1所示: P(0秒) V光秒/秒 S’系 图1 S系 A(0秒) B(0秒) 在S系中，看到经过t秒后，P从A运动到B，AB=vt(光秒)，A和B的时刻数都是t秒，P的时刻数是t’秒，如图2所示: P(t’秒) V光秒/秒 S’系 S系 图2 A(t秒) B(t秒) 在S’系看到这一过程又是如何,S’系中看到P是不动的，A、B在向右运动，由于运动方向上的线段长度缩短，所以在S’系中看 2v到AB=vt光秒。P在0秒时刻时和A相遇，A的时刻数也是01,2c 秒(如图3所示)。经过t’秒后，P和B相遇。P的时刻数是t’秒，B的时刻数是t秒。(如图4所示) P(0秒) A(0秒) B( 秒) 图3 P(t’秒) S’系 V光秒/秒 S系 A( 秒) B(t秒) 2图4 vvt 1-22ABvct’=== t 1,2vvc 在S系中，从P与A相遇到P与B相遇，经过了t秒钟，而看 到S’系中的P在0秒时刻与A相遇，与B相遇时，P上的时刻是t’ 22vv秒，即t秒，比t秒钟缩小。所以时间的缩率也是: 1,1,22cc即运动物体上的时间缩率公式是: 2vt’=t 1,2 c 相对论速度合成公式的推导 由于在高速(与光速相比)运动时，运动物体上的长度与时间发生了变化，因而不同参照系中速度的合成也不是简单的v+v就可12以的。 设有三个个惯性坐标系S、S、S，我们在S观察，S向右运动，12321S向左运动，速度分别是v、v。某个时刻，三个系的A、B、C三重312 合于一点，这三点的时刻数都为0秒，t秒后，情形如图1 所示。 A(0秒) S系 V11 S系 2B(0秒) S系 C(0秒) 3V2 t秒后 A(t秒) A S系 V11 S系 D(t秒) 2B(t秒) V2 E(t秒) S系 E3 C( 秒) 图1 2v1此时，t=t 1,A2c v22(v，v)t，122v2ct=t+1, E22cv21,2c 这个过程，如果我们在S系观察，将会看到图2情形。 3 S系 V合1 A(0秒) S系 B(0秒) V22 C(0秒) S系 3 t秒后 E A(t秒) A V合 S系 1 B( 秒) S系 2t秒) D( V2 C(t秒) ES系 E(t秒) 3E 图2 B、C重合于一点，时刻数都为0秒。C点不动，B开始时，A、 点以V的速度向右运动，A点以更快的V速度向右运动。 合2 t秒后，A点运动到S系的E点处。此时，E点处的时刻数为E3 t秒，而A点的时刻数为t秒。(只有这样，才能和要S系中看到EA2 的情形相一致。) 根据t、t和V的关系，可列出方程: 合AE 2v1t1,22vtc合A1,== 2vtc2E(v，v)t，2122vc21,，22cv21,2c 22vv121,，1,222vcc合= 1,222cvvv，v21221,，22cc 22222(c,v)(c,v)v12合= 1,22c，vvc12两边平方得到: 2222242vc,(v，v)c，vv合12121,= 22242cc，2vvc，vv121222222v2vvc，(v，v)c合1212= 22242cc，2vvc，vv1212 222vv，v，v21212v= 合22vvvv12121，2，，24cc 2(v，v)212v= 合vv212(1，)2c 得到速度合成公式: v，v12v= 合vv12 1，2c