[概述]对数函数公式
DT指数函数和对数函数
重点、难点:
重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数
x在及两种不同情况。a,101,,ayayx,,,log
a 1、指数函数:
x 定义:函数yaaa,,,01且叫指数函数。,,
定义域为R,底数是常数,指数是自变量。
x 为什么要求函数中的a必须。aa,,01且ya,
1x 因为若时,,当时,函数值y,,4x,a,0,,4
不存在。
x ,,当,函数值不存在。a,0y,0x,0
x 时,对一切x虽有意义,函数值恒为a,1y,1
x1,但的反函数不存在, 因为要求函数y,1
x 中的。ya,aa,,01且x
1 ,,
xx 1、对三个指数函数的图象的认识。yyy,,2,,,10,,
,, 2
图象特征与函数性质:
图象特征 函数性质
x(1)图象都位于x轴上方; (1)x取任何实数值时,都有a,0;
(2)无论a取任何正数,x,0时,y,1; (2)图象都经过点(0,1);
xxx,(3)在第一象限内的纵坐yy,,210,xa,,01,则,a,1时, (3)当
标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,,xxx1,,,,xa,,01,则xa,,01,则,y,的图象正好相反; ,,, 当01,,a时, ,,2,
x,xa,,01,则,
xxx(4)的图象自左到右逐渐时,是增函数, (4)当ya,a,1yy,,210,
xx1当时,是减函数。 ya,01,,a,,上升,的图象逐渐下降。 y,,,,,2
对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较):
xx ?所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如和相交于,()01,y,2y,10
xx22当时,的图象在的图象的上方,当,刚好相反,故有及y,2x,0y,10x,0102,,,22。 102,x1,,x ?与的图象关于y轴对称。y,2y,,,,,2
x1,,xxx ?通过,,三个函数图象,可以画出任意一个函数y,2y,ya,y,10,,,,2
xxx()的示意图,如的图象,一定位于和两个图象的中aa,,01且y,3y,2y,10
xx11,,,,间,且过点,从而也由关于y轴的对称性,可得的示意图,即()01,y,y,,,,,,,,,33通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数:
b 定义:如果,那么数b就叫做以a为底的对数,记作aNaa,,,()01且bN,loga(a是底数,N 是真数,是对数式。)logNa
b 由于故中N必须大于0。Na,,0logNa
当N为零的负数时对数不存在。
(1)对数式与指数式的互化。
(2)对数恒等式:
b 由aNbN,,()log()12
logNa 将(2)代入(1)得aN,
a
运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
,log21 计算: 3,,31,,log,11,log1222 解:原式。,,3,,332
,,3
(3)对数的性质:
?负数和零没有对数;
?1的对数是零;
?底数的对数等于1。
(4)对数的运算法则:
, ?logloglogMNMNMNR,,,,,,,,aaa
n
M, ?logloglog,,,aaa
,,,MNMNR, ?loglogNnNNR,,,,,,aan
1, ?loglogN,,NNR,,aaN
3、对数函数:n
x 定义:指数函数的反函数yaaa,,,()01且
叫做对数函数。x,,,(,)0yx,loga
yxyx,,loglog,, 1、对三个对数函数21
2
的图象的认识。 yx,lg
图象特征与函数性质:
图象特征 函数性质
+(1)图象都位于 y轴右侧; (1)定义域:R,值或:R;
(2)x,1时,y,0。即; log10,(2)图象都过点(1,0); a(3),当x,1时,图象a,1时,若x,1,则y,0,若(3)当yx,logyx,lg2
,则y,0; 01,,x在x轴上方,当时,图象在x轴下00,,x
yx,log方,与上述情况刚好相反; 当x,0y,001,,a时,若,则,若1
2y,001,,x时,则;
a,1(4)yxyx,,loglg,从左向右图象是上(4)时,是增函数; yx,log2a
升,而从左向右图象是下降。 yx,log时,是减函数。 01,,ayx,log1a
2
(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是与在点(1,0)曲yx,logyx,lg2线是交叉的,即当时,的图象在的图象上方;而时,x,001,,xyx,logyx,lg2
的图象在的图象的下方,故有:;。yx,logyx,lglog.lg.1515,log.lg.0101,222
yx,log (2)的图象与的图象关于x 轴对称。yx,log12
2
yx,log (3)通过,,三个函数图象,可以作出任意一个对数yx,logyx,lg12
2
函数的示意图,如作的图象,它一定位于和两个图象的中间,yx,logyx,logyx,lg32且过点(1,0),时,在的上方,而位于的下方,时,x,001,,xyx,lgyx,log2
yx,log刚好相反,则对称性,可知的示意图。1
3
logN 4、对数换底公式: a
logN,b
logb a
10
lgNlgN 由换底公式可得: LNNeN,,log(.)其中…称为的自然对数271828ne LN,,,2303.lgNn
由换底公式推出一些常用的结论:lge04343.LNN,log称为常数对数1g mm
(1) (2)loglogb,blogb,,或?loglogba1anaaba
nn logammb
aloglogbb,loga,(3) (4) nnaa
n
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