潍坊中学高中数学研究性学习教案

潍坊中学高中数学研究性学习教案 潍坊中学高二数学研究性学习教案 函数模型在现实生活中的应用 1(抽象概括:研究实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量; 2(建立函数模型:将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式; 3(求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是: 抽象概括 函数模型 实际问题 运用函数的性质 还原说实际问题的函数模型的 典型例题 例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b,a),在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当 x为何值时，四边形EFGH的面积最大,并求出最大面积. 解: 设四边形EFGH的面积为S， 1 22则S=S=x, ?AEH?CFG 2a，b(a，b)111x),22222284S=S=(a-x)(b-x)， ?S=ab-2,+(a-x)(b-x), =-2x+(a+b)x=-2(x-+ ?BEF?DGH a，ba，b 24由图形知函数的定义域为{x|0,x?b}. 又0,b,a,?0,b,,若?b,即a?3b时， 2a，ba，b()a，b 844则当x=时，S有最大值; 若,b,即a,3b时， 2a，b()a，b 2284S(x)在(0,b,上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为 -2(b-)+=ab-b, 2a，b()a，b 84综上可知，当a?3b时，x=时， 四边形面积S=, max2当a,3b时，x=b时，四边形面积S=ab-b. max 变式训练1:某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进 货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大,并求出最大值. 解:设每个提价为x元(x?0)，利润为y元，每天销售总额为(10+x)(100-10x)元， 进货总额为8(100-10x)元， 显然100-10x,0,即x,10, 2则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)+360 (0?x,10). 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元. 例2. 据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴 的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时，求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到N城,如果不会，请说明理由. 1 2解:(1)由图象可知:当t=4时，v=3×4=12, ?s=×4×12=24. 131 2222(2)当0?t?10时，s=?t?3t=t， 当10,t?20时，s=×10×30+30(t-10)=30t-150; 11 222当20,t?35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t+70t-550. 3,2,,t,t,0,10,,2,,,，30t,150,t,10,20,,2,，,ttt,，70,550,,20,35.3,,2,2综上可知s=(3)?t?,0，10,时，s=×10=150,650. t?(10，20,时，s=30×20-150=450maxmax 2,650. ?当t?(20，35,时，令-t+70t-550=650. 解得t=30,t=40,?20,t?35, ?t=30，所以沙尘暴发生30 h后12 将侵袭到N城. 变式训练2:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台， 2x 2需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0?x?5)，其中x是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大, (3)年产量是多少时，工厂才不亏本, 解:(1)当x?5时，产品能售出x百台; 当x,5时，只能售出5百台， 故利润函数为L(x)=R(x)-C(x) 2x,2xxxx,(5,),(0.5，0.25)(0,,5),xx4.75,,0.5(0,,5),,,2,2,,25,,xx12,0.25(,5).xx(5，5,),(0.5，0.25)(,5),,2,= 2x 2 (2)当0?x?5时，L(x)=4.75x--0.5， 当x=4.75时，L(x)=10.781 25万元. 当x,5时，L(x)=12-0.25x为max 减函数， 此时L(x),10.75(万元).?生产475台时利润最大. 0,,5,x,,5x,,,2或,,x12,0.25x,0.4.75,,0.5,0,x,,21.56252,3)由(得x?4.75-=0.1(百台)或x,48(百台). ?产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本. 例3. 某市居民自来水收费 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 如下:每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨. (1)求y关于x的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解:(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x?4，乙的用水量也不超过4吨，y=(5x+3x)×1.8=14.4x; 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时， 即3x?4且5x,4, y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4吨时， 4,14.4x(0,x,),5,44,20.4x,4.8(,x,).,53,,424x,9.6(x,),3,即3x,4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6， 所以y= 44444 55533(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增， 当x?,0，,时,y?f(),26.4; 当x?(，,时，y?f() 4 3,26.4; 当x?(,+?)时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5, 所以甲户用水量为5x=7.5吨， 付费S=4×1.8+3.5×3=17.701(元); 乙户用水量为3x=4.5吨， 付费S=4×1.8+0.5×3=8.70(元). 2 变式训练3:1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少, (2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿, 以下数据供计算时使用: 数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 n解:(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y， 则y?(1+x)=60，则当n=40时，y=30， lg2 404040即30(1+x)=60，?(1+x)=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2， 则lg(1+x)==0.007 525， ?1+x?1.017， 10得x=1.7%. (2)依题意，y?12.48(1+1%) ， 得lgy?lg12.48+10×lg1.01=1.139 2, ?y?13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 归纳 解决函数应用问题应着重注意以下几点: 1(阅读理解、整理数据:通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等; 2(建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域; 3(求解函数模型:主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用. (还原 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 :应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检4 验、评判最后作出结论，作出回答. 研究方程的近似解法——二分法 教学目的:(1)通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题 的意识; (2)通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想; 教学重点:用”二分法”求方程的近似解( 教学难点:”二分法”求方程的近似解的思想和步骤( 教学过程: 新课教学 (一)用二分法求方程的近似解 1(用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解 想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值. a，bx,2一般地,我们把 称为区间(a,b)的中点. 2(二分法概念 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区 间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法 思考: 为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)? 8 6fx，， = lnx，，，，+2,x-6 4 2 -551015023 -2 -4 -6 -8 区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 -0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 -0.009 (2.53125,2.2625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001 3、用二分法求方程的近似解的步骤 ?、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε ?、求区间(a,b)的中点x 1 ?、计算f(x); 1 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0?(a,x1)) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0?(x1,b)) ?、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b);否则得复2,4 (二)典型例题 x例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2+3x=7的近似解(精确到0.1) xxx解:原方程即2+3x=7,令 f(x)=2+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2+3x-7 对应值表与图象(如下): x 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142 4 3x，，fx，， = 2+3,x-72 1 01-2246810 -1 -2 -3 -4 -5 -6区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.33 (1,1.5) 1.25 -0.87 (1.25,1.5) 1.375 -0.28 (1.375,1.5) 1.4375 0.02 (1.375,1.4375) 由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。 巩固练习:(教材P练习1) 106 归纳小结，强化思想 二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求解方程转化为求解函数的零点的近似解。 来自现实生活的各种进位制 教学要求:了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换;学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律. 教学重点:各种进位制之间的互化. 教学难点:除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计. 教学过程: 知识探究(一):进位制的概念 思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制;每七天为一周，就是七进制;每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制;等等.一般地，“满k进一”就 是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数, 思考2:十进制使用0,9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字, 思考3:在十进制中10表示十，在二进制中 10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数 字连写在一起的形式:anan-1„a1a0(k).其中各个数位上的数字an，an-1，„，a1，a0的取值范围如何, 思考4:十进制数4528表示的数可以写成4×103+5×102+2×101+8×100，依此类 比，二进制数110011,八进制数7342分别可以写成什么式子, (2)(8) 543210110011=1×2+1×2+0×2+0×2+1×2+1×2 (2) 32107342=7×8+3×8+4×8+2×8. (8) 思考5:一般地，如何将k进制数aa„aa写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式, nn-110(k) nn,110aa？aa,a，k，a，k，？，a，k，a，knn,110nn,110(k) 思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少, 知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考1:二进制数110011化为十进制数是什么数, (2)543210110011=1×2+1×2+0×2+0×2+1×2+1×2 =32+16+2+1=51. (2) 思考2:二进制数右数第i位数字a化为十进制数是什么数, i i,1a，2i 例1 将下列各进制数化为十进制数. (1)10303 ; (2)1234. (4)(5) 42010303=1×4+3×4+3×4=307. (4) 32101234=1×5+2×5+3×5+4×5=194. (5) 知识探究(三):除k取余法 思考1:二进制数101101化为十进制数是什么数,十进制数89化为二进制数是什么数, (2) 思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗, 余数余数89892211444422 0022222200111122 1155221122 22001122思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十进制数191化为五进制数是什么1100数, 余数余数19119155191=1231(5) 55383811 7733 55 2211 55 1100 例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数. 余数余数458458余数余数 4445845866 2211411444 22667676222828444412126600774422660033114422001100 458=13022=2042 (4)(6) 例3 将五进制数30241转化为七进制数. (5) 42余数余数30241=3×5+2×5+4×5+1=1946. (5)1946194677 7727827800 55393977 445577 005530241=5450 (5)(7) 例4 已知10b1(2)=a02,求数字a，b的值. (3) 310b1=1×2+b×2+1=2b+9. (2) 2a02=a×3+2=9a+2. (3) 所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1. 小结作业 1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用. 2.通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k进制数. 作业:习案、学案 十 研究中国古代劳动人民发明的计算方法 和现代计算机技术的联系(一) 辗转相除法与更相减损术 一、三维目标 (a)知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 (b)过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 (c)情态与价值观 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 二、教学重难点 重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 三、教学设计 (一)创设情景，揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗, 2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数,比如求8251与6105的最大公约数,这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 (二)研探新知 1.辗转相除法 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解:8251,6105×1，2146 显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。 6105,2146×2，1813 2146,1813×1，333 1813,333×5，148 333,148×2，37 148,37×4，0 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数m除以较小的数n得到一个商q和一个余数r; 00 第二步:若r,0，则n为m，n的最大公约数;若r?0，则用除数n除以余数r得到一个商q和一个余数r; 00011第三步:若r,0，则r为m，n的最大公约数;若r?0，则用除数r除以余数r得到一个商q和一个余数r; 1110122„„ 依次计算直至r,0，此时所得到的r即为所求的最大公约数。 nn,1 (1)辗转相除法的程序框图及程序 程序框图:(略) 程序:(当循环结构) 直到型结构见书37面。 INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 练习:利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数(答案:53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译 阿房宫赋翻译下载德汉翻译pdf阿房宫赋翻译下载阿房宫赋翻译下载翻译理论.doc 出来为: 第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是，用2约简;若不是，执行第二步。 第二步:以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解:由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即:98,63,35 63,35,28 35,28,7 28,7,21 21,7,14 14,7,7所以，98与63的最大公约数是7。 练习:用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(答案:12) 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 5.课堂练习 一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。 (1)225;135 (2)98;196 (3)72;168 (4)153;119 6.小结: 辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。 研究中国古代劳动人民发明的计算方法 和现代计算机技术的联系(二) 秦九韶算法 一、三维目标 (a)知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 (b)过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。 (c)情态与价值观:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。充分认识信息技术对数学的促进。 二、教学重难点 重点:1.秦九韶算法的特点 难点:1.秦九韶算法的先进性理解 三、教学设计 (一)创设情景，揭示课题 1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究. (二)研探新知 5432已知f(x),5x，4x，3x，2x，x，1,求f(5).思考1 21325 算法1:需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法 算法2:需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法 765432已知f(x),7x，6x，5x，4x，3x，2x，x，1,求f(3).思考2 18556 思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=ax+ax+„+ax+a的值，这个多项式应写成哪种形式, nnn-1n-110 f(x)=ax+ax+„+ax+a=(ax+ax+„+ax+a)x+a=((ax+ax+„+a)x+a)x+a=„=(„((ax+a)x+a)x+„nnn-1n-110nn-1n-1n-2210nn-2n-1n-3210nn-1n-2+a)x+a. 10 思考4:对于f(x)=(„((ax+a)x+a)x+„+a)x+a，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何, nn-1n-210 第一步，计算v=ax+a. 第二步，计算v=vx+a.第三步，计算v=vx+a. „第n步，计算v=vx+a. 1nn-121n-232n-3nn-10思考5:x+„上述求多项式f(x)=ax+a+ax+a的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x)的值，一共需要多少次乘n-1nnn-1100法运算，多少次加法运算, INPUT “x=”;a思考6:在秦九韶算法中，记v=a，那么第k步的算式是什么, 0n n=0v=vx+a (k=1，2，„，n) kk-1n-k y=0例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么, WHILE n<5 y=y+(n+1)*a?n n=n+1 WEND PRINT y END234f(x),1，2x，3x，4x，5x求多项式，在x=a时的值. 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法. 作业:《习案》作业九 研究多面体欧拉公式的发现(一) 教学目标:1. 了解多面体与简单多面体的概念，探究、发现欧拉公式，掌握欧拉公式; 2(培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力; 重点、难点:欧拉公式的发现过程及其证明。 教学过程 一复习回顾 1欧拉生平事迹简说:欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝( 2多面体的概念:由若干个多边形围成的空间图形叫多面体;每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线( 3(凸多面体:把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体(如图的 多面体则不是凸多面体( 新疆王新敞奎屯4(凸多面体的分类:多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 二欧拉公式的发现: 1(简单多面体:考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是 用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续(不破裂) 变形，最后可变为一个球面(如图: 象这样，表面经过连续变形可 变为球面的多面体，叫做简单多面体( 说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面 体( 2(五种正多面体的顶点数、面数及棱数的关系 VFE，,填表:将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表并计算: 正多面体 VFE，, VFE 棱数 面数顶点数 正四面体 4 4 6 2 正六面体 8 6 12 2 正八面体 6 8 12 2 正十二面体 20 12 30 2 正二十面体 12 20 30 2 通过上表你发现了什么规律, VVFE，,,2FE发现:它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式:( 思考:上述关系式是对所有的多面体都成立吗,(对简单多面体都成立)( (1)请查出图(5)?的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V，F,E,6+6-10=2 (2)查出图?中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立, ?? (3)假如图??图?的多面体表面是像皮膜，向内充气则??将变成一个球面，图?将变成两个紧贴的球面，图?将变成 一个环面。 象(7)(8)两个几何体都不是简单多面体。 3欧拉公式: VVFE，,,2EF 简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式: 三欧拉公式的证明: 证明:(方法一) E1E DA11EC1B11AD DAE11CDB11A BCCB(10) 图?:将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数(剪掉面用右图中ABCDE表示)均没有变，故所有面的内角总和不变。 nnn,,,？nnnE，，，,？212F12F设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则. (n,2)180:，(n,2)180:，？，(n,2)180:12F左图中，所有面的内角总和为 (n，n，？，n,2F)180:(2E,2F)180:,,:()360EF12F,, 右图中，所有面的内角总和为 V360V2180V2180(),:::，(,)，(,)剪掉的底面内角和下下上 00(，,)VV2360(2)360:,,V()360EF,:(2)360V,VFE，,,2下上 ,所以 ,，整理得. 点评:这种证明方法是通过压缩变换利用多边形内角和证明欧拉公式。 ABCD(方法二)以四面体为例来说明: BCDV将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱 (1)F,VEEF新疆王新敞奎屯数与剩下的面数变形后都没有变 因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。 对平面图形，我们来研究: BCABC(1)去掉一条棱，就减少一个面，例如去掉，就减少一个面(同理， (1)FE,,CDACDBDABD去掉棱、，也就各减少一个面、(所以、 V的值都不 变，因此 VFE，,,(1) 新疆王新敞奎屯的值也不变 CA新疆王新敞奎屯例如去(2)再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点掉，就 CVE,DADAB减少一个顶点(同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下(如图)(在此过程中的值不变，但这时面 VFE，,,(1)VFE，,,,，,,(1)20110F,1AB数是，所以的值也不变。由于最后只剩下，所以，最后 VFE，,,2加上去掉的一个面，就得到( 4欧拉示性数: fpVFE(),，,fp() 在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。 fp()2,注意:(1)简单多面体的欧拉示性数( fp()0,(2)带一个洞的多面体的欧拉示性数(例如:长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体fp()1616320,，,,( 四点例分析: nn例1(一个面体共有8条棱，5个顶点，求, VFE，,,2FEV,，,,25n,5解:?，?，?( nn例2(一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求, 83，E,,12V,8FEV,，,,26n,62解:?，， ?， ?( 五小结:欧拉公式及其证明 研究多面体欧拉公式的发现(二) 教学目标:1.掌握欧拉公式，能熟练应用;2(会用欧拉公式解决实际问题; 重点、难点:欧拉公式的应用，在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化 教学过程 一复习回顾 1简单多面体:表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体( VVFE，,,2FE2欧拉公式:简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式:((欧拉公式) 二典例分析 例1一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V,6，求它的面数F及棱数E。 33EF,F22解:因为简单多面体的面都是三角形，所以,又V,6，代入欧拉公式得6+F-=2,解得F=8,E=12.即简单多面 体的面数F为8，棱数E为12。 例2一个正多面体各个面的内角和为3600?，求它的面数，顶点数和棱数。 解:设它的面数F，顶点数V和棱数E，每一个面的边数为m，则F(m-2)×180?=3600?，所以F(m-2),20，又mFn12n,？,，EEF,10EVn,,6F,mn22,代入欧拉公式得V=12, 设过每一个顶点的棱数为,则，得 12n52，,11262，,,n3nmm,即(1), m,3n,5n,335n,3n,4n,5nm4?，?,又，?的可能取值为，,,当或时(1)中无整数解;当,由(1)m,3E,30F,20E,30V,12F,20得, ?, ?，综上可知:，，. 例3(由欧拉定理证明:正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种( nm证明:设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱， nFE,nF2nF令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 (1) VmVm 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 mVE,2 (2) 2E2E22EEV,F,，,,E2mnmn由(1)(2)得:，代入欧拉公式:( 1111，,,m,3n,33m,3n,3mnmnE2? (3)，?又，，但，不能同时大于，(若，，则有1111，,,0,0mn2E，即这是不可能的) 1111，,,,03n,3mnmE32?，中至少有一个等于(令，则， 11,m,535,,mm,335,,nm6?，?，?(同样若可得( 例4欧拉定理在研究化学分子结构中的应用: CCC60601996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面 C60体。这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目( CCyFxy,，V,606060x解:设分子中有五边形个，六边形个。分子这个多面体的顶点数，面数，棱数 11E,，，(360)60()(360)2，，,，,xy22，由欧拉定理得: (1)，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，11(56)(360)xy，,，Cy,20x,126022得 (2)，由(1)(2)得:，?分子中五边形有12个，六边形有20个( VFE，,,2新疆王新敞奎屯三小结 :欧拉定理的应用;会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题 四练习与作业: 1已知铜的单晶的外形是简单多面体，它有三角形和八边形两种晶面，且有24个顶点、36条棱，以每个顶点为一端都有三条棱，求出单晶铜的两种晶面的数目。 1(38)36xy，,2解:设三角形晶面有x个，八边形有y个，则24+(x+y)-36,2且，解得x,8，y,6，所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个。 2一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系:F,2V,4 3F3FE,22证明:? ，V，F,E,2，?V，F,,2 ?F,2V,4 3设一个凸多面体有V个顶点，求证:它的各面多边形的内角和为(V-2)?360? 解:设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点，将其下底面剪掉，抻成平面图形，则V?360?，(V,2)?180?上下，(V,2)?180? 下 ,(V上，V下,2)?360?,(V,2)360? 新疆王新敞奎屯4有没有棱数是7的简单多面体,说明理由 证明:?V，F,E,2 ， ?V，F,7，2,9，?多面体的顶点数V?4，面数F?4 ?只有两种情况V,4，F,5或V,5，F,4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，?没有棱数是7的简单多面体 新疆王新敞奎屯5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边 n,n？nn，n，？，n,2E12F12F证明:设有一个多面体，有F(奇数)个面，并且每个面的边数也都是奇数，则，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的。?不存在这样的多面 研究三角函数在生活中的简单应用 教学目的 【知识与技能】 1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】 练习讲解:《习案》作业十三的第3、4题 3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位:cm)与 ,,,g,,s,3sint，,t,[0,，,),,l62,,时间t(单位:s)的函数关系是，(1)求小球摆动的周期和频率;(2)已知g=980cm/s，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少, g,2l1gg？,,？T,,2,,f,若T,1，即l,,24.8cm2l,g2,l4,解:(1);(2). 4、略(学生看书) 二、应用举例: 例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y,Asin(,x，,)，b (1) 求这一天6~14时的最大温差; oT /C(2) 写出这段曲线的函数解析式. 30 20 10 81214610t /hO 本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线 的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围. 例2 画出函数y,|sinx|的图象并观察其周期. y y,|sinx| ,,,,, ,2,x2,,22 y,sinx本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系. 练习:教材P65面1题 例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为,，,为此时太阳直射纬度，,为该地的纬度值，那 么这三个量之间的关系是, ,90º,|, ,, |.当地夏半年,取正值，冬半年,取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40º)的一幢高为h的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午 0 的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少, ,,, 太阳光B,,,,?Õ-?Ä 北回归线太阳光C,,, 南回归线 本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得 的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。 例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通 常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头;卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节 每天的时间与水深的关系表: 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值 (精确到0.001). 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船 底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口,在港口能呆多久, 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域, 本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关 于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的， 因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。 练习:教材P65面3题 三、小结:1、三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 四、作业《习案》作业十四及十五。 补充例题: 一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P)0 点开始计算时间. y求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式; PP点第一次达到最高点约要多长时间? O ,x -2P0 平面向量的数量积与物理的关系 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念: OAOB已知非零向量,与,，作,,，,,，则?,,,,θ(,?θ?π)叫,与,的夹角. 说明:(1)当θ,,时，,与,同向; (2)当θ,π时，,与,反向; , 2(3)当θ,时，,与,垂直，记,?,; (4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0:?,?180: (2)两向量共线的判定 (3)练习 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a?b，则y=( C ) A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为( B ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 (4)力做的功:W = |F|,|s|cos,，,是F与s的夹角. 二、讲解新课: 1(平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量,与,，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos,叫,与,的数量积，记作a,b，即有a,b = |a||b|cos,，(,?θ?π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ,探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量,它的符号什么时候为正,什么时候为负, 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别, (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos,的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a,b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a,b是两个向量的数量的积，书写时要严 格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若a,0，且a,b=0，则b=0;但是在数量积中，若a,0，且a,b=0，不能推出b=0.因为其中cos,有可能为0. (4)已知实数a、b、c(b,0)，则ab=bc , a=c.但是a,b = b,c a = c 如右图:a,b = |a||b|cos, = |b||OA|，b,c = |b||c|cos, = |b||OA| , a,b = b,c 但a , c (5)在实数中，有(a,b)c = a(b,c)，但是(a,b)c , a(b,c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 2(“投影”的概念:作图 定义:|b|cos,叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量; 当,为锐角时投影为正值; 当,为钝角时投影为负值; 当,为直角时投影为0; 当, = 0:时投影为 |b|; 当, = 180:时投影为 ,|b|. 3(向量的数量积的几何意义: 数量积a,b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos,的乘积. 探究:两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量， 1、a,b , a,b = 0 2、当a与b同向时，a,b = |a||b|; 当a与b反向时，a,b = ,|a||b|. a,b |a|,a,a|a||b|2特别的a,a = |a|或 |a,b| ? |a||b| cos, = 探究:平面向量数量积的运算律 1(交换律:a , b = b , a 证:设a，b夹角为,，则a , b = |a||b|cos,，b , a = |b||a|cos, ?a , b = b , a ,,,2(数乘结合律:(a),b =(a,b) = a,(b) ,,,,,,,证:若> 0，(a),b =|a||b|cos,， (a,b) =|a||b|cos,，a,(b) =|a||b|cos,， ,,,,,,,若< 0，(a),b =|a||b|cos(,,,) = ,|a||b|(,cos,) =|a||b|cos,，(a,b) =|a||b|cos,， ,,,,a,(b) =|a||b|cos(,,,) = ,|a||b|(,cos,) =|a||b|cos,. 3(分配律:(a + b),c = a,c + b,c OAOCOBAB 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ?a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上 的投影和，即 |a + b| cos, = |a| cos, + |b| cos, 12 ?| c | |a + b| cos, =|c| |a| cos, + |c| |b| cos,， ?c,(a + b) = c,a + c,b 即:(a + b),c = a,c + b,c 12 说明:(1)一般地，(,?,)с?,(,?с) (2),?с,,?с，с?0,,, ,,(3)有如下常用性质:,,,,,， (,，,)(с，,),,?с，,?,，,?с，,?, 三、讲解范例: ,,,例1(证明:(,，,),,，,,?,，, ,,,,aa,b,,542b例2(已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。 o例3(已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60求:(1)(a+2b)?(a-3b). (2)|a+b|与|a-b|. |a|,a,a ( 利用 ) 例4(已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 五、小结: 1(平面向量的数量积及其几何意义;2(平面向量数量积的重要性质及运算律;3(向量垂直的条件. 研究用向量方法解决平面几何 教学目的: 1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”; 2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.; 3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法:向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 教学过程: 一、复习引入: a,b, |a||b|cos, .1. 两个向量的数量积: a,b,xx，yy.12122. 平面两向量数量积的坐标表示: 3. 向量平行与垂直的判定: a//b,xy,xy,0.a,b,xx，yy,0.12211212 22|AB|,(x,x)，(y,y)12124. 平面内两点间的距离公式: 5. 求模: 2222a,x，ya,(x,x)，(y,y)a,a,a 1212 练习 教材P.106练习第1、2、3题.;教材P.107练习第1、2题. B二、讲解新课: o例1. 已知AC为?O的一条直径，?ABC为圆周角.求证:?ABC,90. ACa,b,OAO,a,OC,OB,b,证明:设 AB,AO，OB,a，b,BC,a,b, A22 AB,BC,(a，b),(a,b),a,b,0,FE Ho？AB,BC,？，ABC,90 例2. 如图，AD，BE，CF是?ABC的三条高.求证: AD，BE，CF相交于一点. BCD AC, AB，AD,DB, AB,AD,例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗, DC 思考1: 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗, AB思考2: 运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤,运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤, “三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题; 翻译”成几何关系. (3)把运算结果“ 研究向量在物理中的应用 教学目的: 1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题 的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识; 2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会 数学在现实生活中的作用. 教学重点:运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 教学过程: 一、复习引入: 1. 讲解《习案》作业二十五的第4题. 已知A(1,0),直线l:y,2x,6,点R是直线l上的一点,若RA,2AP,求点P的轨迹方程. 2. 你能掌握物理中的哪些矢量,向量运算的三角形法则与四边形法则是什么, 二、讲解新课: 例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动，两臂的 夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗, 探究1: F1(1),为何值时，||最小，最小值是多少? FG1(2)| |能等于||吗?为什么? 探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化:把物理问题转化为数学问题;(2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型;(3)参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值;(4)问题的答案:回到问题的初始状态， 解决相关物理现象. v1例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d,500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||,10 km/h，水流速 v2度||,2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到0.1 min), 弧度制的研究 教学目标 一、知识与技能目标 理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数( 二、过程与能力目标 能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 三、情感与态度目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神;通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美( 教学重点 弧度的概念(弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明( 教学难点 “角度制”与“弧度制”的区别与联系( 教学过程 一、复习角度制: 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 1 360规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制( 二、新课: 1(引 入: 由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢, 2(定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制(在弧度制下, 1弧度记做1rad(在实际运算中，常常将rad单位省略( 3(思考: ,(1)一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的,与圆的半径大小有关吗, (2)引导学生完成P6的探究并归纳: 弧度制的性质: ,,2rr,,;,2,.rr?半圆所对的圆心角为?整圆所对的圆心角为?正角的弧度数是正数 ?负角的弧度数是一个负数 l .r?零角的弧度数是零( ?角α的弧度数的绝对值|α|= 4(角度与弧度之间的转换: n,,1:,,0.01745radn:,rad360:,2,180:,,180180?将角度化为弧度:; ;;( 180180n,1rad,():,57.30:,57:18,( ):n2,,360:,,180:,,?将弧度化为角度:;;;( 5(常规写法: ? 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数( ? 弧度与角度不能混用( 6(特殊角的弧度 角030456090120135150180270360 度 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 弧,,,,,,,,23530 ,2, 度 46243236 l,,,l,r,,r7(弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积( 3,, rad(1)sin(2)tan1.545例1(把67?30,化成弧度(例2(把化成度(例3(计算:;( ,19(1)(2),315:3例4(将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k?Z)的形式:;( 例5(将下列各角化成2kπ + α(k?Z,0?α,2π)的形式,并确定其所在的象限( lR O 19731,,,,,,71919(2)？,,2，,(1),336636;(解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角. 31531,,,6,？,,,，？,,666(2) 是第二象限角. 1例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S,lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.2 12,R2,R2,证法一:?圆的面积为,?圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R, l11l2S,,R,lRRR22 ?扇形的圆心角大小为rad, ?扇形面积( 2nRn,,R,l,S,180360证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，? 1nR1,S,,,R,l,R21802( 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多( 112:SlRR扇形面积公式,,,22 7(课堂小结?什么叫1弧度角? ?任意角的弧度的定义?“角度制”与“弧度制”的联系与区别( 常见的几何体 柱、锥、台、球的结构特征 (一)教学目标 1(知识与技能 (1)通过实物操作，增强学生的直观感知. (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类. (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征. (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类. 2(过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征. (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识. 3(情感、态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力. (2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力. (二)教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征. 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括. (三)教学方法 通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论. 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 1(小学与初中在平面上研究过哪些1(学生回忆，相互交流教师对学生几何图形,在空间范围上研究过那给予及时评价. 些, 2(教师对学生分类进行整理。分类复习引入 以旧导新 2(你能根据某种标准对下列几何体多面体和旋转体分类，分类二按柱、进行分类吗,(展示具有柱、锥、台、锥、台、球分类 球结构的空间物体) 1(观察教科书第2页中和图(2)、(5)、在归纳的过程中，可引导学生从围成从分析具体(7)、(9)，它们各自的特点是什么, 几何体的面的特征去观察，从而得出棱柱的特点 棱柱的主要结构特征. 出发，通过概 1(有两个面互相平行; 括共同特点 2(其余各面都是平行四边形; 得出棱柱的 3(每相邻两个四边形的公共边互相结构特征. 平行. 引出棱柱概念之前，应注意对具体的 棱柱的特点进行充分分析，让学生能 够经历共同特点的概括过程. 在得到棱柱的结构特征后教师归结 棱柱定义，并结合图形认识棱柱有关 概念. 例1 如图，过BC的截面截去长方形教师投影例一并读题. 的一角，所得的几何体是不是棱柱,有的学生可能会认为不是棱柱，因为 如果选择上下两平面为底，则不符合 棱柱结构特征的第二条. 棱柱的结构引导学生讨论:如何判定一个几何体特征 是不是棱柱, 教学时应当把学生的注意力引导到 解析:以A′ABB′和D′DCC′为底用概念进行判断上来，即看所给的几通过改变棱即知所得几何体是棱柱. 何体是否符合棱柱定义的三个条柱放置的位 件. 置(变式)， 教师投影例2并读题. 引导学生应 教师引导学生分析得出，平行平面共用概念判别例2 观察螺杆头部模型，有多少对有四对，但能作为棱柱底面的只有一几何体.加深平行的平面,能作为棱柱底面的有对，即上下两个平行平面. 对棱柱结构几对, 引导学生探究:棱柱的哪些平行的面特征的认识. 能作为底面，此时侧面是什么,哪些 平行的平面不能作为底面, 解析:略 棱锥的结构1(观察教材节2页的图(14)(15)学生进行观察、讨论、然后归纳，教 从分析 特征 它们有什么共同特征, 师注意引导，整理.得出棱锥的结构具体棱锥出 2(请类比棱柱、得出相关概念，分特征，有关概念分类及表示方法. 发，通过概括 类及表示. 棱锥的结构特征: 棱锥的共同 1(有一个面是多边形. 特点，得出棱 2(其余各面都是有一个公共点的三锥的结构特 分形. 征. 1(观察教材第2页中图(13)、(16)，教师在学生讨论中可引导学生思考 思考它们可以怎样得到,有什么共棱台可以怎样得到，从而迅速得出棱突出棱台的棱台的结构同特征, 台的结构特征. 形成过程，把特征 2(请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、由一个平行于底面的平面去截棱锥，握棱台的结 顶点的定义，给棱台相关概念下定底面与截面之间的部分. 构特征. 义. 观察下面这个几何体(圆柱)及得到教师演示，学生观察，然后学生给出 这种几何体的方法，思考它与棱柱的圆柱的名称及定义，教师给出侧面、 共同特点，给它定个名称并下定义. 底面、轴的定义. 突出圆柱的圆柱的结构以矩形一边所在直线为旋转轴，其余形成过程，把特征 三边旋转而成的面所围成的旋转体握圆柱的结 叫做圆柱. 构特征. 圆柱和棱锥统称为柱体. 1(观察下面这个几何体(圆锥)及以直角三角形的一条直角边所在直 得到这种几何体的方法，思考它与棱线为旋转轴，其余两边旋转形成的面 锥的共同特点，给它定个名称并下定所围成的旋转体. 义. 圆锥与棱锥统称为锥体. 突出圆锥的圆锥的结构形成过程，把特征 握圆锥的结 构特征. 2(能否将轴改为斜边, 下面这种几何体称为圆台，请思考圆学生1:用平行于圆锥底面的平面去开放性设计，台可以用什么办法得到,请在教材截圆锥，底面与截面之间的部分. 学生推理与图11-9上标上圆台的轴、底面、侧学生2:以直角梯形，垂直于底面的教师演示结面、母线. 腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面圆台的结构合，培养学生所围成的旋转体(教师演示) 特征 思维发散性师:棱台与圆台统称为台体. 与灵活性，加 深学生对概 念理解. 球的结构特观察球的模型，思考球可以用什么办学生1:以半圆的直径所在直线为旋开放性设计，征 法得到,球上的点有什么共同特点. 转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫学生推理与 做球体，简称球.(教师演示) 教师演示结 学生2:球上的点到求心的距离等于合，培养学生 定长. 思维发散性 教师讲解球的球心、半径、直径、表与灵活性，加 示方法. 深学生对概 念理解. 回顾反思、归 纳知识、提升归纳总结 简单几何体的结构特征及有关概念. 学生总结，然后老师补充. 学生知识、整 合能力. 空间几何体的三视图 一、教学目标 1(知识与技能 (1)掌握画三视图的基本技能 (2)丰富学生的空间想象力 2(过程与方法 主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。 3(情感、态度与价值观 (1)提高学生空间想象力 (2)体会三视图的作用 二、教学重点、难点 重点:画出简单组合体的三视图 难点:识别三视图所表示的空间几何体 三、教学方法 教师讲授与学生观察、讨论、动手实践相结合. 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 1.如何将空间几何体画在纸上，用平师:要解决这个问题，我们需要让学生发现知识新课并入 面图形来表示. 将我们看到的画下来，这就取决源于实践，又可应 2.我们常用三视图和直观图表示空间于我们怎样去看. 用于实践，培养学几何体. 生1:我们可以从前后角度，左生应用意识，激发三视图:观察从三个不位置观察同一右角度，上下角度看. 学生学习的激情. 空间几何体而画出的图形. 生2:我们也可站在某一点观 直观图:观察者站在某一点观察一个察. 空间几何体面画出的图形. 师总结空间几何体表示方法，点 出主题. 师:要学习三视图，首先我们要 学习两个知识. 教学中投影与平行投影. 中心投影与平行投影 以旧带新，提高知中心投影:光由一点向外散射形成的„„ 识的系统性和思投影. 生1:联想到棱柱的结构特征，维的严谨性. 探索新知 平行投影:在一束平行光线照射下形无论是正投影还是斜投影，三角 成的投影. 分正投影、斜投影. 形在平行投影后为结果是与原 讨论:三角形在平行投影和中心投影三角形全等的三角形. 后的结果. 生2:三角形在中心投影后得到 了一个相似的放大了的三角形. 教学柱、锥、台、球的三视图: 师:把一空间几何体投影到一个 1.定义三视图: 平面上，可以获得一个平面图 正视图:光线从几何体的前面向后面形，但是只有一个平面图形难以 正投影得到的投影图. 把握几何体的全貌. 通常，总是 侧视图:光线从几何体的左面向后面选择三种正投影„„ 正投影得到的投影图. 生:长方体的正视图和侧视图高 俯视图:光线从几何体的左面向后面度一样(等于长方体的高).俯通过讨论掌握三探索新知 正投影得到的投影图. 视图与正视图长度一样(等于长视图的基本特征，2.观察长方体的三视图. 讨论三视图方体的和). 俯视图和侧视图宽同时通过精炼的有何基本特征. 度一样(等于长方体的宽). 这语言概括提高学 个结论可推广到一般简单几何生的记忆效果. 体. 我们用“长对正高平齐、宽 相等”来概括三视图的基本特 征. 1(正向应用(幻灯片) 画出球、圆柱、圆锥、棱柱的三视图. 2(逆向练习(幻灯片) 学生独立完成. 教师用幻灯片通过正向应用巩TP15图(1)、(2)分别是两个几何体公布答案，然后讲解注意事项. 固所学知识. 通的三视图，你能说出它们对应的几何注意事项: 过逆向应用培养体的名称吗, 画三视图时棱要用实线画出，被学生空间想象能 应用举例 挡的轮廓线用虚线画出;有尺寸力，然后综合学生 要求的，标好尺寸. 此外，一般问题点拨注意事 侧视图 正视图 情况下光画正视图，侧视图在正项，构建完整的知 视图的右边，俯视图在正视图的识体系培养学生 下边. 严谨的思维习惯. (2) 俯视图 侧视图 正视图 (1) 俯视图 答案:(1)圆台;(2)三棱锥 教学简单组合体的三视图 学生回答几何体的结构特征.教弄清简单组合体 1(讨论教材P16. 图1.2,7四个几何师再讲明图(1)的三视图. 然后的结构特征是画 体的结构特征. 学生独立完成(2)(3)(4)的好简单组合体三 2(画出上面(2)(3)(4)的三视图. 三视图. 视图的关键. 探索新知 3(总结画简单组合体三视图的基本步师生一起归纳画简单组合体三 骤. 视图的基本步骤. 第一步:分清几何体的结构特征. 第二步:画三视图. 1(投影法 回顾、反思、归纳 归纳总结 2(三视图定义及三视图基本特征 学生归纳后老师补充 所学知识、培养整 3(画出三视图注意事项 合知识的能力. 巩固知识 课后练习 1.2 第一课时 习案 学生独立完成 提升能力 柱体、锥体、台体的表面积 (一)教学目标 1(知识与技能 (1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式). (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (3)培养学生空间想象能力和思维能力. 2(过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力. 3(情感、态度与价值观 通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性. (二)教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算. 难点:展开图与空间几何体的转化. (三)教学方法 学导式:学生分析交流与教师引导、讲授相结合. 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 学生先思考讨论，然后回答. 情境生动，问题:现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一学生:将正方体沿AA′展开得到激发热情教新课导入 只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只一个由四个小正方形组成的大师顺势带出蚂蚁走边的最短路程是多少, 矩形如图 主题. D′ C′ A′ A′ B′ A D C ,AA,17即所求. 则A B 师:(肯定后)这个题考查的是正 方体展开图的应用，这节课，我 们围绕几何体的展开图讨论几 何体的表面积. 1(空间多面体的展开图与表面积的计算. 师:在初中，我们已知学习了正(1)探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图. 方体和长方体的表面积以及它让学生经历(2)已知棱长为a，各们的展开图，你知道上述几何体几何体展开面均为等边三角形S – 的展开图与其表面积的关系过程感知几ABC (图1.3—2)，求它吗, 何体的形的表面积. 生:相等. 状. 解:先求?SBC的面积，师:对于一个一般的多面，你会推而广之，过点S作SD?BC，交B怎样求它的表面积. 培养探索意于D，因为BC = a， 生:多面体的表面积就是各个面识会 的面积之和，我们可以把它展成a32222SDSBBDaa,,,,,()平面图形，利用平面图形求面积22 的方法求解. 11332师:(肯定)棱柱、棱锥、棱台SBCSDaaa,,,，, SBC2224?. 边是由多个平面图形围成的多?四面体S – ABC的表面积 面体，它们的展开图是什么,如 何计算它们的体积, 322„„ Saa,，,434. 生:它的表面积都等于表面积与 侧面积之和. 师以三棱柱、三棱锥、三棱台为 探索新知 例，利用多媒体设备投放它们的 展开图，并肯定学生说法. 师:下面让我们体会简单多面体 的表面积的计算. 师打出投影片、学生阅读、分析 题目、整理思想. 生:由于四面体S – ABC的四 个面都全等的等边三角形，所以 四面体的表面积等于其中任何 一个面积的4倍. 学生分析，教师板书解答过程. 2(圆柱、圆锥、圆台的表面积 师:圆柱、圆锥的侧面展开图是(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导 什么, ,生:圆柱的侧面展开图是一个矩S = 2r (r + 1) 圆柱 ,形，圆锥的侧面展开图是一个扇S = r (r + 1) 圆锥1221,形. S = (r + r + rl + rl ) 圆台 (2)讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表师:如果它们的底面半径均是r，面积公式之间的变化关系 母线长均为l，则它们的表面积 122=(r+r+rl+r′l) S是多少, ,圆台 师:打出投影片(教材图1.3.3r = 0 r = 1 和图1.3—4) S=2r(r+l) S=r(r+l) ,,圆柱圆锥 2,r生:圆柱的底面积为，侧1(3)例题分析 例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为2,rl面面积为，因此，圆柱的20cm，盆底直径为 15cm，底部渗水圆孔表面积: 直径为1.5cm，盆壁长2Srrlrrl,，,，222(),,, 让学生自己15cm.为了美化花盆 推导公式，的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫2,r生:圆锥的底面积为，侧2加深学生对升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆 公式的认,(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算,rl面积为，因此，圆锥的表面识. 器), 用联系的观分析:只要求出每一个花盆外壁的表面积，就积: 点看待三者可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于2Srrlrrl,，,，,,,()探索新知 之间的关花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面 系，更加方圆孔的面积. 师:(肯定)圆台的侧面展开图是 便于学生对解:如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆一个扇环，如果它的上、下底面 空间几何体外壁的表面积 半径分别为r、r′，母线长为l， 的了解和掌则它的侧面面积类似于梯形的1515201.522,，，，，，,，,,S[()1515]()握，灵活运面积计算S 侧222222用公式解决?1000(cm) = 0.1(m). 1,,,,,，,，(22)()rrlrrl问题. 2涂100个花盆需油漆:0.1×100×100 = =1000(毫升). 所以它的表面积为 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油122,Srrrlrl,(),，，，现在漆. 请大家研究这三个表面积公式 的关系. 学生讨论，教师给予适当引导最 后学生归纳结论. 师:下面我们共同解决一个实际 师:本题只要求出花盆外壁的表 面积，就可求出油漆的用量，你 会怎样用它的表面积. 生:花盆的表积等于花盆的侧面 面积加上底面面积，再减去底面 圆孔的面积.(学生分析、教师板 书) 柱体、锥体、台体的体积的研究 (一)教学目标 1(知识与技能 (1)了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式) (2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系. (3)培养学生空间想象能力和思维能力. 2(过程与方法 (1)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系. (2)通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算. 3(情感、态度与价值观 通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识. (二)教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的体积计算. 难点:简单组合体的体积计算. (三)教学方法 讲练结合 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 教师设问，学生回忆 1(复习柱体、锥体、台体表面积求法及复习巩固 新课导入 师:今天我们共同学习柱体、锥体、相互关系. 点出主题 台体的另一个重要的量:体积. 柱体、锥体、台体的体积 柱体、锥体、师:我们已经学习了正方体，长方 1(柱体、锥体、台体的体积公式: 体以及圆柱的体积公式，它们的体台体的体积 V = Sh (S是底面积，h为柱体高) 积公式是什么, 公式只要求柱体 生:V = Sh (S为底面面积，h为了解，故采1Sh3高) 用讲授式效V =(S是底面积，h为锥体高) 锥体 师:这个公式推广到一般柱体也成率会更高. 1,,()SSSsh，，3立，即一般柱体体积. 公式:V = Sh V =(S′，S分别为台体 上、下底面面积，h为台体的高) (S为底面面积，h为高) 师:锥体包括圆锥和棱锥，锥体的 高是指从顶点向底面作垂线，顶点 与垂足之间的距离(投影或作出). 1Sh3探索新知 锥体的体积公式都是V = (S 2(柱体、锥体、台体的体积公式之间的为底面面积，h为高) 关系 师:现在请对照柱体、锥体体积公 式你发现有什么结论. 1 ,,VhSSSS,，，()棱台生:锥体体积同底等高的柱体体积 3 1 3 S = S′ S = 0 的. 师:台体的结构特征是什么, 生:台体是用平行于锥体底面的平 V= Sh 柱体1 V= Sh锥体 面去截锥体，截得两平行平面间的3 部分. 因台体的体 师:台体的体积大家可以怎样求,积公式的推 导需要用到 生:台体的体积应该等于两个锥体后面知识， 体积的差. 故此处不予 师:利用这个原理我们可以得到台证明，只要 体的体积公式 学生了解公 式及公式的1,,()SSSsh，，3推导思路. V = 其中S′、S分别为上、下底面面 积，Q为台体的高(即两底面之间 的距离) 师:现在大家计论思考一下台体体 积公式与柱体、锥体的体积公式有 什么关系, 生:令S′=0，得到锥体体积公式. 培养探索意 令S′=S，得到柱体体积公式. 识，加深对 空间几何体 的了解和掌 握. 例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度师:六角螺帽表示的几何体的结构 3是7.8g/cm)六角螺特征是什么,你准备怎样计算它帽(如图)共重的体积, 5.8kg，已知底面是生:六角螺帽表示的几何体是一个正六边形，边长为组合体，在一个六棱柱中间挖去一12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问个圆柱，因此它的体积等于六棱柱空间组合体,的体积减去圆柱的体积. 这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用的体积计算计算器), 学生分析，教师板书过程. 典例分析 关键在于弄解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱师:求组合体的表面积和体积时，清它的结构体积的差，即 要注意组合体的结构特征，避免重特征. 叠和交叉等. 31022V,，，，,，，126103.14()104233?2956 (mm) = 2.956(cm) 所以螺帽的个数为 5.8×1000?(7.8×2.956)? 252(个) 答:这堆螺帽大约有252个. 旋转体类组 合体体积计 算关键在于 找好截面， 典例分析 找到这个截 面，就能迅 速搭好已知 和未知的桥 梁. 1(柱体、锥体、台体的体积公式及关系. 巩固所学，2(简单组合体体积的计算. 提高自我整归纳总结 学生归纳，教师补充完善. 3(等积变换 合知识能 力. 球的表面积与体积 (一)教学目标 1(知识与技能 (1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式). (2)培养学生空间想象能力和思维能力. 2(过程与方法 通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. 3(情感、态度与价值 让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣. (二)教学重点、难点 重点:球的表面积与体积的计算 难点:简单组合体的体积计算 (三)教学方法 讲练结合 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，师生共同复习，教师点出点题(板新课引入 复习巩固 点出主题. 书) 师:设球的半径为R，那么它的体43,,VR341(球的体积: 3,,VR3积:，它的面积2SR,4,2(球的表面积: 2SR,4,现在请大家观察这两个 加强对公式公式，思考它们都有什么特点, 的认识培养探索新知 生:这两个公式说明球的体积和表学生理解能面积都由球的半径R惟一确定.其力 中球的体积是半径R的三次函数， 球的表面积是半径R的二次函数. 师 (肯定) :球的体积公式和球的 表面积公式以后可以证明.这节课 主要学习它们的应用. 例1 如图，圆柱的底教师投影例1并读题，学生先独立本题较易， 面直径与高都等于球完成.教师投影答案并点评(本题联学生独立完 的直径.求证: 系各有关量的关键性要素是球的半成，有利于 (1)球的体积等于圆径) 培养学生问 2 题解决的能 3 力. 柱体积的; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 典例分析 证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底 面半径为R，高为2R. 4 3,,VR球3 因为， 23VRRR,,,,,22圆柱， 2 VV,球圆柱3 所以，. 2SR,4,球(2)因为， 2SRRR,,,224,,圆柱侧， 教师投影例2并读题， 通过师生讨所以，S = S. 师:请大家思考一下这道题中组合论，突破问球圆柱侧 例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相体的结构特征. 题解决的关切，且球面面积与圆台的侧面积之比为生:球内切于圆台. 键，培养学3:4，则球的体积与圆台的体积之比为师:你准备怎样研究这个组合体, 生空间想象( ) 生:画出球和圆台的轴截面. 能力和问题A(6:13 B(5:14 师:圆台的高与球的哪一个量相解决的能C(3:4 D(7:15 等, 力. 【解析】如图所示，作圆台的轴截面等生:球的直径. 腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形师:根据球和圆台的体积公式，你 ABCD. 认为本题解题关键是什么, 设球的半径生:求出球的半径与圆台的上、下 为R，圆台的底面半径间的关系. 上、下底面半师投影轴截面图，边分析边板书有 径分别为r、关过程. 1 r，由平面几师:简单几何体的切接问题，包括 2 何知识知，圆简单几何体的内外切和内外接，在 台的高为2R，母线长为r + r. 解决这类问题时要准确地画出它们 12 ??AOB = 90?，OE?AB (E为切点)， 的图形，一般要通过一些特殊点， 22?R = OE = AE?BE = r?r. 如切点，某些顶点，或一些特殊的 12 22,,线，如轴线或高线等，作几何体的 由已知S?S= 4R?(r+r) = 球圆台侧12 3?4 截面，在截面上运用平面几何的知 识，研究有关元素的位置关系和数 162R.2,3量关系，进而把问题解决. (r + r) = 12 43,R 3 122 ，，,()2rrrrR,11223V?V = 球圆台教师投影例3并读题，学生先思考、 22讨论，教师视情况控制时间，给予 22RR,2616引导，最后由学生分析，教师板书 ()rrrr，,221212,.RR,133有关过程. =故 选A. 师:计算球的体积，首先必须先求 例3 在球面上有四个点P、A、B、C，出球的半径.由于PA、PB、PC是两 如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC 两垂直的而且相等的三条棱，所以 = a，求这个球的体积. P – ABC可以看成一个正方体的一 解:?PA、PB、PC两两垂直， 角，四点P、A、B、C在球上，所以 PA = PB = PC = a. 此球可视为PA、PB、PC为相邻三条 ?以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造棱的正方体的外接球，其直径为正 正方体. 方体的对角线. 又?P、A、B、C四点是球面上四点， ?球是正方体的外接球 ，正方体的对角 线是球的直径. 导数及其应用的研究 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景,如瞬时速度,加速度、光滑曲线切线的斜率等,,掌握函数在一点处的导数的定义和 mxx导数的几何意义,理解导数的概念。2、熟记基本导数公式,x(m为有理数)、sinx、cosx、e、a、lnx、logx的导数,掌a握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学重点和难点] 教学重点,导数的概念、四则运算、常用函数的导数,导数的应用 教学难点,导数的定义,导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 基础回顾 1、导数的概念,对于函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量?x,那么函数y相应的有增量 = ,比值 叫0 做函数y=f(x)在x到x+?x之间的 , 00 ?y当?x?0时,有极限,就说y=f(x)在点x处 ,并把这个极限叫做f(x) 在点x的导数,瞬时变化率,,记作 00 ?x 或 , limf(x+?x),f(x)当x变化时,f , (x)便是x的一个函数,称之为f(x)的导函数,简称导数,,记f , (x)=y ,= ?x?0 ?x ?ylim2、用定义求导数的一般步骤,,1,求函数的增量?y= (2) 求平均变化率,3,取极限,得导数f , (x)= ?x?0 ?x ?y ?x 3、导数的几何意义,f , (x)是曲线y=f(x)在点P,x,f (x),处的切线的 即 000 nxx4、几种常见函数的导数C,= (x) ,= (sinx) ,= (cosx) ,= (e) ,= (a) ,= (lnx) ,= (logx) ,= a5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在,则 f(x)[f(x) ? g(x)] ,= [f(x) g(x)] ,= [],= g(x) 6、复合函数y=f(g(x)),其中u= g(x),的导数y,= x 7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系,在开区间,a,b,内,如果 ,那么函数在这个区间内 ,如果 ,那么函数在这个区间内 ,反之, 求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤,,1,求f , (x) (2)解不等式f , (x)>0(或f , (x)<0) (3)确认并写出单调区间 8、极值: 设函数f(x)在附近有定义,如果对x附近所有的x都有 ,则称f (x)是f(x)的一个极大值,如果对x附近000所有的x都有 ,则称f (x)是f(x)的一个极小值。 0 可导函数点x处的导数为0是f(x)在x处取得极值的 条件 00 9、求函数y=f(x) 极值的步骤, ,1,确定函数的定义域 (2) 求方程f , (x)=0 ,3,解不等式f , (x)>0(或f , (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区 间 (4)判断 f , (x)=0的根的两侧f , (x)的符号,确定是否为极大值、极小值。 10、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 和 求在闭区间 [a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤,,1, ,2, 三、巩固练习 limf(1-?x),f(x)1、 函数f(x)可导,则= ?x?0 3?x 22、 已知f(x)=x+2x f , (0),则f , (2) = 323、 函数f(x)=x,2x+x,6的单调区间为 论证方法的研究 综合法和分析法 教学要求,结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法,分析法和综合法,了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点,会用综合法证明问题,了解综合法的思考过程. 教学难点,根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程, 一、复习准备, 11，1. 已知 “若,且,则”,试请此结论推广猜想. ，,4aaR,,aa，,11212aa12 1112，,答案,若,且,则 , n....，，，,aaaR,.......,aaa，，，,....112n12naaa12n 111，abc，，,1abcR,,,2. 已知,,求证,. ，，,9abc 先完成证明 ? 讨论,证明过程有什么特点, 3. 提问,基本不等式的形式, ab，4. 讨论,如何证明基本不等式. ,,,abab(0,0)2 ,讨论 ? 板演 ? 分析思维特点,从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件, 二、讲授新课, 1. 教学例题, 222222(1).出示例1,已知a, b, c是不全相等的正数,求证,a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) > 6abc. 分析,运用什么知识来解决,,基本不等式, ? 板演证明过程,注意等号的处理, ? 讨论,证明形式的特点 (2).提出综合法,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示, 要点,顺推证法,由因导果. bcaacbabc，,，,，,(3) .练习,已知a,b,c是全不相等的正实数,求证. ，，,3abc (4) .出示例2,在?ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列. 求 证,为?ABC等边三角形. 分析,从哪些已知,可以得到什么结论, 如何转化三角形中边角关系, ? 板演证明过程 ? 讨论,证明过程的特点. ? 小结,文字语言转化为符号语言,边角关系的转化,挖掘题中的隐含条件,内角和, 3526，,，(5). 出示例3,求证. 讨论,能用综合法证明吗, ? 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件, ? 板演证明过程 ,注意格式, ? 再讨论,能用综合法证明吗, ? 比较,两种证法 (6).提出分析法,从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件,已知条件、定理、定义、公理等,为止. 框图表示, 要点,逆推证法,执果索因.