空间解析几何教学大纲
课程名称:空间解析几何 课程编码:1102020006
英文名称:Analytic Geometry 学 时:40 学 分:2.5
适用专业:信息与计算科学 课程类别:必修
课程性质:学科基础课
教 材:解析几何 (吕林根 高等教育出版社)
一、课程性质与任务
解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科。它把数学的两个基本对象──“形”与“数”有机地联系起来,使得几何、代数和分析构成一个有机的整体,从而为数学的其它分支与几何学的互相渗透、互相促进奠定了基础,对高等数学的发展起了巨大的推动作用。解析几何是一门应用十分广泛的学科,它不仅在数学中,而且在物理、化学、工程技术以及经济等其它科学技术领域中都有广泛的应用。本课程的任务是介绍解析几何的基本方法和基本知识,培养学生运用解析几何的方法解决几何问题的能力,空间想象的能力,以及在实际问题中运用解析几何的方法和知识的能力,并为以后学习高等代数,数学分析和其它相关课程作准备。
二、课程教学的基本要求
本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力,并为以后学习其他数学课程作准备,也为日后的中学几何教学打下良好的基础。
教学要求:
(1)对空间的直线和平面,对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念,对于坐标化方法能运用自如,从而达到数与形的统一。
(2)能具备空间想象能力,娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力,科学地处理中学数学的有关教学内容。
三、课程内容及教学要求
第一章 矢量与坐标(10学时)
1. 主要内容
1)矢量概念 单位矢量 零矢量 相等矢量 反矢量 共线矢量 共面矢量。
2)矢量的加、法及其运算法则。
3)数量乘矢量及其运算法则。
4)矢量的线性运算及矢量的分解。
5)行列式与线性方程组。
6)标架与坐标。
7)矢量在轴上的射影。
8)两矢量的数性积与矢性积。
9)三矢混合积。
10)三矢的双重矢性积。
2.基本要求
1)正确理解矢量、单位矢量的概念。相等矢量、自由矢量、反矢量、共线矢量、平行矢量的定义。决定一个矢量的两要素(模长与方向),标架、坐标系、矢量及点的坐标定义。方向角与方向余弦的定义。矢量乘法(叉积,点积,混合积双重矢性积)的定义。矢量线性相关与矢量共线、共面之间的关系。射影矢量与射影的定义。
2)掌握矢量的运算律。理解矢量运算的几何意义,矢量的各种运算与重要几何性质的关系,矢量的分解与所在空间的维数无关,矢量代数与实数代数的异同。
3)熟练掌握矢量加、减,数量乘矢量、数量积、矢性积、混合积的运算。二矢量线性相关的等价条件,三矢量线性相关的等价条件,定比分点坐标的表示。方向角与方向余弦的计算。
4)掌握用矢量法证明三点共线与三线共点,理解三矢量的双重矢性积,拉格朗日恒等式。
第二章 轨迹与方程(4学时)
1.主要内容
1)曲面方程、母线平行于坐标轴的柱面方程。
2)空间曲线的方程。
2.基本要求
1)正确理解曲面方程,点球,虚球面,曲面的参数方程、柱面、准线、曲线的一般方程,曲线的坐标式参数方程。
2)理解曲线方程的系数的意义,掌握二次柱面的方程,曲线的矢量式参数方程。
3)熟练掌握,曲面方程的导出。母线平行于坐标轴的柱面方程,F(x,y)=0,F(x,z)=0,F(y,z)=0。空间曲线的一般方程及坐标式参数方程。
4)曲面与空间的矢量式参数方程一般理论。
第三章 平面与空间直线(14学时)
1. 主要内容
1)平面方程。
2)平面与点、平面与平面的相关位置。
3)空间直线的方程。
4)直线与平面,直线与直线,直线与点的相关位置。
5)平面束。
2.基本要求
1)深刻理解下列几个基本概念
(1)法矢量,点法式方程,单位法矢量,法式方程,离差。
(2)直线的方向矢量,方向角,方向余弦,方向数。
(3)直线与平面的交角,异面直线间的距离,公垂线,平面束。
2)切实掌握下列基本方法及内容
(1)求平面法式方程,坐标式参数方程,截距式方程,一般方程。
(2)求点与平面的离差。
(3)两平面相交,平行,重合的条件,平面之间的交角。
(4)直线的坐标式参数方程,对称方程,一般方程,一般方程化为对称方程。
(5)直线与平面相交,平行,直线在平面上的条件。求直线与平面的交角。
(6)直线与直线异面,共面,相交,平行,重合的条件。
(7)求二直线的交角,二直线垂直的条件。两异面直线的距离与公垂线方程。
(8)求平面束中的一个平面。
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面(10学时)
1.主要内容
1)柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面。
2)椭球面。
3)双曲面:(1)单叶双曲面;(2)双叶双曲面。
4)抛物面:(1)椭圆抛物面;(2)双曲抛物面。
5)单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。
2.基本要求
1)深刻理解柱面的方向、准线、母线、熟练掌握柱面方程的一般形式。锥面的概念、顶点、准线、母线的概念以及锥面方程的一般形式。旋转曲面的概念、旋转轴、母线、经线、纬圆的概念,旋转曲面的方程。
2)深刻理解椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面的
标准
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方程、性质和形状、顶点和中心。椭圆抛物面的标准方程、性质、形状、顶点。双曲抛物面的标准方程、性质、形状、鞍点。
3) 深刻理解直纹面和非直纹面,二阶直纹面的性质。
4)掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的建立,用平行截割法研究二次曲面的标准方程确定曲面的性状。以直线族研究单叶双曲面和双曲抛物面。
三、 课程学时分配
讲 课 内 容
讲课学时
实验学时(含各类实践教学活动)
合计学时
第一章 向量与坐标
12
12
第二章 轨迹与方程
4
4
第三章 平面与空间直线
14
14
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
10
10
总计
40
40
五、课程习题要求
每章根据学生学习情况,留有一定数量的思考题供学生课后复习,巩固课堂教学效果,并进行讲评。
六、考核方式
以期末闭卷考试成绩为主,参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等,综合评定给出成绩。
七、课程的主要参考书
《解析几何学习辅导书》 吕林根著 高等教育出版社;
《空间解析几何习题试析》,陈绍菱、傅若男编,北京师范大学出版社,1992年第六次印刷;
《解析几何方法与应用》,郭健等编,天津科学技术出版社,1998年第1版;
《空间解析几何引论》,南开大学几何教研室编 ,南开大学出版社,1992年第1版。