立体几何
高考
地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
题及其答案详解
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立体几何高考题 1.，2011年高考浙江卷文科4)若直线不平行于平面,丏,则 lla,a
内的所有直线不异面 (B) 内不存在不平行的直线 (A) llaa
(C) 内存在唯一的直线不平行 (D) 内的直线不都相交 llaa
02.，2011年高考全国卷文科12)已知平面截一球面得圆M,过圆心M丏不成,二面角的平,,60面截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为 ,,
(A) (B) (c) (D) 7,9,11,13,
3.，2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体
， 的左视图为，
4.. ，2011年高考福建卷文科15)如图,正方体ABCD-ABCD中,AB=2, 1111点E为AD的中点,点F在CD上,若EF?平面ABC,则线段EF的长度等于_____________. 1
5.，2011年高考全国卷文科15)已知正方体中,E为的 ABCDABCD,CD111111中点,则异面直线AE不BC所成的角的余弦值为
ABCD6. ，2011年高考山东卷文科19)如图,在四棱台中,平面,底面ABCDABCD,DD,11111ABCDAB=2AD，BAD=是平行四边形,,,60?. AD=AB11 ，?，证明:; AABD,1
，?，证明:CCABD?平面. 11
7,，2011年高考湖南卷文科19)
POABCABDAC,，2,,点在上,且CAB=30为如图3,在圆锥中,已知的直径的中点, POO,2,
，I，证明: ACPOD,平面;
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，II，求直线OC和平面所成角的正弦值, PAC
8. (2011年高考天津卷文科17)
，,ADC45,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,,AD=AC=1,O为AC的中点,PO?平如图
M面ABCD,PO=2,为PD的中点.
?)证明PB?平面; (?)证明AD?平面PAC; (ACM
AM(?)求直线不平面ABCD所成角的正切值.
9. ，2011年高考福建卷文科20)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA?底面ABCD,AB?AD,点E在线段AD上,丏CE?AB。 ，1， 求证:CE?平面PAD;
，11，若PA=AB=1,AD=3,CD=,?CDA=45?, 2
求四棱锥P-ABCD的体积
ABCABC,10. ，2011年高考湖北卷文科18)如图,已知正三棱柱的底面边长为2, 111
AABBAEBE,,22,232侧棱长为,点E在侧棱上,点F在侧棱上,丏. 11
CFC,(?)求证: 1
EECFC,,(?)求二面角的大小. 1
11. ，2011年高考全国新课标卷文科18)
，DAB,60:如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,,, AB,2AD,PD,底面ABCD
E PA,BD，1，证明:;
PD,AD,1，(2) 设求三棱锥D-PBC锥的高.
DPABC,ABAC,12. ，2011年高考浙江卷文科20)，本题满分14分，如图,在三棱锥中,,为
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AD的中点,?平面,垂足落在线段上. BCPOABCO
AP，?，证明:?;，?，已知, BCBC,8
,,.求二面角的大小 PO,4AO,3OD,2BAPC,,
13.，2011年高考全国卷文科20)
中,,,侧面 如图,四棱锥SABCD,ABCD//BCCD,SAB
ABBCCDSD,,,,2,1为等边三角形,.
SDSAB,平面，?，证明:;
AB，?)求不平面所成角的大小. SBC
14.，2011年高考重庆卷文科20) 如题，20，图,在四面体中,平面ABC?平面,ABCDACD
ABBCACADBCCD,,,,,,2,1
，?，求四面体ABCD的体积;
，?，求二面角C-AB-D的平面角的正切
专题二上海
,,:,,l,,,,,P,,,P,l(01春)若有平面不,丏,则下列命题中的假命题为， ， ,
,,PP，A，过点丏垂直于的直线平行于,，B，过点丏垂直于l的平面垂直于, ,
,PP，C，过点丏垂直于的直线在内, ，D，过点丏垂直于l的直线在内, ,,，01，已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,丏a?α,b?β,则下列命题中的
假命题是， ，D
A. 若a?b,则α?β B.若α?β,则a?b
C.若a、b相交,则α、β相交 D.若α、β相交,则a、b相交
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(02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图,图中四条线段AB、CD、EF和GH 在原正方体中
相互异面的有 对。3
3(02)若正四棱锥的底面边长为,体积为,则它的侧面不底面所成的二面角的大小是 23cm4cm
, 30
(03春)关于直线以及平面,下列命题中正确的是( ). a,b,lM,N
(A) 若,则 a//ba//M,b//M
若,则 (B) b,Ma//M,b,a
(C) 若,丏,则 l,Ma,M,b,Ml,a,l,b
(D) 若,则 D M,Na,M,a//N
(03) 在正四棱锥P—ABCD中,若侧面不底面所成二面角的大小为60?,则异面直线PA不BC所
成角的大小等于 .，结果用反三角函数值表示，arctg2 (03)在下列条件中,可判断平面α不β平行的是 ， ，
A,α、β都垂直于平面r.
B,α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C,l,m是α内两条直线,丏l?β,m?β.
D,l,m是两条异面直线,丏l?α,m?α,l?β,m?β. D
1(04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中,E是BC的中点,若?VAE的面积是,则侧棱4
1VA不底面所成角的大小为 (结果用反三角函数表示) arctg 4(04) 在下列关于直线l、m不平面α、β的命题中,真命题是( )
(A)若lβ丏α?β,则l?α. (B) 若l?β丏α?β,则l?α. ,
(C) 若l?β丏α?β,则l?α. (D) 若α?β=m丏l?m,则l?α. B
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l、m、n(05春)已知直线及平面,下列命题中的假命题是 ,
，A，若,,则. ，B，若,,则. lm//mn//ln//l,,n//,ln,
，C，若,,则. ，D，若,,则.D lm,mn//ln,l//,n//,ln//
2(05)有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个a
三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围
15是 ,0
练习题
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ED1,如图正方体中,E、F分别为DC和BC的中点, ABCD,ABCD11111111QC1F1
P、Q分别为AC不EF、AC不BD的交点,11
A1B1，1，求证:D、B、F、E四点共面;
CD新疆王新敞奎屯，2，若AC不面DBFE交于点R,求证:P、Q、R三点共线 1
P
AB
2,已知直线、b异面,平面过丏平行于b,平面过b丏平行于,求证:?, ,,aa,a,
AB,43. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得,其中,BC,1 Z BE,3,,若如图所示建立空间直角坐标系, CF,4
F
?求和点G的坐标; EFG
E D C y EFAD?求异面直线不所成的角;
B A
AEFG?求点C到截面的距离, x
,,4. 如图,三棱锥P—ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,丏CD平面PAB,
P,(I) 求证:AB平面PCB;
(II) 求异面直线AP不BC所成角的大小;
D，III，求二面角C-PA-B的余弦值,
B
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CA
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5. 如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为
CE上的点,丏BF?平面ACE.
(1)求证AE?平面BCE;
(2)求二面角B—AC—E的余弦值,
6. 已知正三棱柱的底面边长为2,点M在侧棱上. ABCABC,BB1111
，?，若P为AC的中点,M为BB的中点,求证BP//平面AMC; 11
;AACC30，?，若AM不平面所成角为,试求BM的长. 11
7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA?底面ABCD,PA,AB,1,BC,2,
P ，1，求证:平面PDC?平面PAD;
E ，2，若E是PD的中点,求异面直线AE
D A 不PC所成角的余弦值; B C
8. 已知:在正三棱柱ABC—ABC中,AB = a,AA = 2a . D是侧棱BB的中点.11111
求证:
，?，求证:平面ADC?平面ACCA; 111
，?，求平面ADC不平面ABC所成二面角的余弦值, 1
，,DAB60F9. 已知直四棱柱的底面是菱形,丏,为 ABCDABCD,ADAA,11111
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M的中点,为线段的中点, 棱BBAC11
MF ，?，求证:直线平面; //ABCD
MF, ，?，求证:直线平面; ACCA11
，?，求平面不平面所成二面角的大小 ABCDAFC1
APCQ10. 棱长是1的正方体,P、Q分别是棱AB、CC上的内分点,满足. ,,21PBQC1，1，求证:AP?平面AQD; 1
，2，求直线PQ不平面AQD所成角的正弦值.
C D11
Q A B 1 1
D C
A B P
11. 如图,长方体ABCD,ABCD中, E、F分别是线段BD、AB上的点,1111111丏DE=2EB,BF=2FA, 111
，1，求证:EF?AC; 1
，2，若EF是两异面直线BD、AB的公垂线段,求证该长方体为正方体, 111
C D11E
A B 11
F
D C
A B
112. 如图,在正四棱柱ABCD—ABCD中,AA=AB,点E、M分别为AB、CC的中点,过点A,B,M111111112
三点的平面ABMN交CD于点N. 111
，?，求证:EM?平面ABCD; 1111
，?，求二面角B—AN—B的正切值. 11
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立体几何高考题答案全解
上海历年高考题汇总
(01春)
解(1)设为正四棱锥的斜高 h'
1,2a，4,h'a,2,,,2 由已知 ,1222,h，a,h',,4,
1 解得a,(h,0)2h，1
1h2 (2) V,ha,(h,0)233(h，1)
1 易得 V,13(h，)h
111V, 因为h，,2h,,2，所以 6hh
1h, 等式当且仅当，即时取得。 h,1h
1故当米时，V有最大值，V的最大值为立方米( h,16
(01春) 。
证(1)因为，所在平面上的射影为 ACABABCB,平面AB1111
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由，得， AB,AE,AE,平面ABAC,AE111
同理可证 AC,AF1
因为 AC,AF,AC,AE11
所以 AC,平面AEF1
A解(2)过作BD的垂线交于， GCD
因为，所以 DD,AGAG,平面DBBD111
设与所成的角为，则即为平面与平面所成的角( AEFAGAC,,DBBD111
9DG,由已知，计算得( 4
A(0,0,0)如图建立直角坐标系，则得点，
9G(,3,0),A(0,0,5),C(4,3,0)， 14
9AG,{,3,0},AC,{4,3,,5}， 14
因为与所成的角为 AGAC,1
AG,AC1221cos,,,所以 ||||25AG,AC1
122,,arccos 25
122AEFarccos由定理知，平面与平面CEF所成角的大小为 25
(02春)
[解] ,1,取OB的中点D～连结OD～则OD?OB。 11
?平面OBBO?平面OAB～ ?OD?平111
面OAB 过D作AB的
垂线～垂足为E～连结OE～则OE?AB。 ??DEO111
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为二面角O-AB-O的平面角。 1
由题设得OD=?3～ 1
?DE=DBsin?OBA=?21/7.
?在Rt?ODE中～tg?DEO=?7, 11
??DEO=arctg?7.即二面角O-AB-O的大小为arctg?7. 11
(2)以O点为原点～分别以OA、OB所在直线为x、y轴、过O点且与平面AOB垂直的直线
为z轴～建立空间直角坐标系～则
O,0～0～0,～O1,0～1～?3,～A,?3～0～0,～A1,?3～1～?3,～B,0～2～0,。
设异面直线AB与AO所成角为α～ 11
(02)如图，在直三棱柱中，，OO',4ABO,A'B'O' O’ A’
,，D是线段A'B'的中点，P D OA,4,OB,3,，AOB,90是侧棱BB'上的一点，若
B’ ，求与底面所成角的大小。(结果用OP,BDOPAOB反三角函数值表示) [解法一] 如图,以点为原点建立空间直角坐标系 O P O A 3
由题意，有 B(3,0,0),D(,2,4)
B 2
z 设，则 P(3,0,z) O’ A’ 3 D
BD,{,,2,4},OP,{3,0,z} B’
2 因为 BD,OP 9
P O A y BD,OP,,，4z,0
29 B z, x 8
BB', 因为平面AOB
是OP与底面AOB所成的角 ？POB
O’ A’
3 E D tg，POB,8 B’ 3 ？，POB,arctg8
P O A
[解法二]取中点E，连结DE、BE，则 O'B'
B DE, 平面 OBB'O'
？BE 是BD在平面内的射影。 OBB'O'
又因为 OP,BD
由三垂线定理的逆定理，得 OP,BE
在矩形中，易得 OBB'O'Rt,OBP~Rt,BB'E
BPOB9？,, 得BP, 8B'EBB'
(以下同解法一)
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BCD中，AA?平面ABCD，AB=4，AD=2.若BD?BC，直线BD与平面(03)已知平行六面体ABCD—A1111111
ABCD所成的角等于30?，求平行六面体ABCD—ABCD的体积. 1111[解]连结BD，因为BB?平面ABCD，BD?BC，所以BC?BD. 11
在?BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=. 23
又因为直线BD与平面ABCD所成的角等于30?，所以 1
1?BDB=30?，于是BB=BD=2. 113
05春)故平行六面体ABCD—ABCD的体积为S?BB=. 831111ABCD1
(04春)
(1)证明:; ADPA,BC
(2)求底面中心到侧面的距离 O
[证明](1)取边的中点D，连接、， PDBC
则，，故平面. „„ 4分 APDAD,BCPD,BCBC,
? . „„ 6分 PA,BC
[解](2)如图， 由(1)可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角. APD，PDAPBC,
OE,PD,E 过点作为垂足，则就是点到侧面的距OOOE离. „„ 9分
设为，由题意可知点在AD上， hOOE
,? ，. OP,2h，PDO,60
2h？OD,,？BC,4h, „„ 11分
3
322 ? ， S,(4h),43h,ABC4
18323723,,43h,2h,h ? ，? . h,333
即底面中心O到侧面的距离为3.
BC,CD3173171则cosθ==,θ= arccos. 1717BC,CD1
317异面直线BC与DC所成角的大小为arccos 117(06春)在长方体中，已知DA=DC=4,DD=3,求异面直线AB与BC所成角的大小(结果用反ABCD,ABCD1111111
三角函数表示).
[解法一]连接AD 1
?AD?BC, ??BAD是异面直线AB与BC所成的11111角 ……4分 连接BD,在?ADB中,AB=AD=5,BD=4 ……6分 211
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222AB，AD,BD11cos?BAD= 12,AB,AD11
25，25,329 == ……10分 252,5,5
9?异面直线AB与BC所成角的大小为arccos ……12分 1125
[解法二]以D为坐标原点,DA、DC、DD所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标1
系. ……2分 则A(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B(4,4,3) 、C(0,4,0), 11
得AB=(0,4,-3),BC=( -4,0,-3) ……6分 11
设AB与BC的夹角为θ, 11
AB,BC911cosθ== ……10分 25AB,BC11
9?异面直线AB与BC所成角的大小为arccos 1125
(06文)在直三棱柱中，. ABCABC,，,,,ABCABBC90,1(1)求异面直线与AC所成的角的大小; BC11
(2)若与平面ABCS所成角为，求三棱锥的体积 ACAABC,4511解:(1) ?BC?BC, ??ACB为异面直线BC与AC所成角(或它的补角) 1111
??ABC=90?, AB=BC=1, ??ACB=45?,
?异面直线BC与AC所成角为45?. 11
(2) ?AA?平面ABC, 1
?ACA是AC与平面ABC所成的角, ?ACA =45?. 11
??ABC=90?, AB=BC=1, AC=, 2
?AA=. 21
61?三棱锥A-ABC的体积V=S×AA=. ?1ABC123
,(06理)在四棱锥P,ABCD中，底面是边长为2的菱形，?DAB,60，对角线AC与BD相交于点O，PO?
,平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60(
(1)求四棱锥P,ABCD的体积;
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用P 反三角函数值表示)
[解](1)在四棱锥P-ABCD中,由PO?平面ABCD,得
?PBO是PB与平面ABCD所成的角, ?PBO=60?. D E 在Rt?AOB中BO=ABsin30?=1, 由PO?BO,
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B
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于是,PO=BOtg60?=,而底面菱形的面积为2. 33
1?四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2. 333
(2)解法一:以O为坐标原点,射线OB、OC、 OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系.
在Rt?AOB中OA=,于是,点A、B、 3
D、P的坐标分别是A(0,,,0), 3
B (1,0,0), D (,1,0,0), P (0,0, ). 3
3313E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,). DEAP332222
3
222,设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos, DE与AP4493，,3，344
2?异面直线DE与PA所成角的大小是arccos; 4
解法二:取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF?PA，
??FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt?AOB中AO=ABcos30?==OP， 3
于是, 在等腰Rt?POA中，
6PA=，则EF=. 62
在正?ABD和正?PBD中,DE=DF=， 3
16EF224, cos?FED== 4DE3
2?异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 4
,,,,,,,ABAFABCD,ABCDE、FAB(07春)如图，在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，求异面直线与CE
所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)
[解法一] 如图建立空间直角坐标系. „„ 2分
,A(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,2),F(2,1,0)由题意可知.
, . „„ 6分 ？AF,(0,1,,2),CE,(2,,1,2)
,AF 设直线与CE所成角为,，则
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,AF,CE55 . „„ 10分 cos,,,,35,3,AF,CE
5 ， ？,arccos,3
5,AF 即异面直线与所成角的大小为. „„ 12分 CEarccos3
[解法二] 连接， „„ 2分 EB
,,,,AE,BF ，且，是平行四边形，则， AF//EB？AE//BF？AFBE
,AF 异面直线与所成的角就是与所成的角. „„ 6分 EBCECE？
,,ABBA 由平面，得. CB,CB,BE
在?中，，则 RtCEBCB,2,BE,5
25 ， „„ 10分 tan，CEB,5
25 . ，CEB,arctan？5
25,AF 异面直线与所成角的大小为. arctanCE？5
,PA,2PA(07文)在正四棱锥P,ABCD中，，直线与平面ABCD所成的角为，求 60
V正四棱锥P,ABCD的体积( P
OOAO解:作PO,平面ABCD，垂足为(连接，是
PA 正方形ABCD的中心，，PAO是直线与平面
ABCD所成的角( D C,PA,2，PAO,，( ( ？PO,360
AO,1，， AB,2A B
1123 ( ？,,，，,VPOS32ABCD333
43cosBB,，sinB,17(解: 由题意，得为锐角，， 55
3π72,,sinA,sin(π,B,C),sin,B, ， ,,410,,
10 由正弦定理得 c,， 7
111048SacB,,，，，,sin2 ( ？22757
,(07理) 如图，在体积为1的直三棱柱中，(求直线与平面，ACB,90,AC,BC,1ABABC,ABC1111
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所成角的大小(结果用反三角函数值表示)( BBCC11
解法一: 由题意，可得体积
11VCCSCCACBCCC,,,,1， 111?ABC22
( ？AA,CC,211
ACBCACCC,,，连接( ， BC11111111
平面， ？AC,BBCC1111
是直线与平面所成的角( AB？，ABCBBCC11111
22 ， BC,CC，BC,511
AC5111？，ABC,,arctantan ，则 ,( ，ABC11115BC51
5arctan 即直线与平面所成角的大小为( ABBBCC1115
解法二: 由题意，可得 z
体积， C B11
， ？CC,21A1
B(010)，， 如图，建立空间直角坐标系( 得点， C(002)，，A(102)，，，( 则， AB,,,(112)，，B111C y 平面的法向量为( n,(100)，，BBCC11A
x
,AB 设直线与平面所成的角为，与的夹角为,， nABBBCC1111
ABn61 则， ,,,,cos6ABn1
6611？sin,|cos|,,,arcsin,,,VCCSCCACBCCC,,,,1， 111,ABC2266
6arcsin 即直线与平面所成角的大小为( ABBBCC1116
43cosBB,，sinB,17(解: 由题意，得为锐角，， 55
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3π72,, sinA,sin(π,B,C),sin,B,， ,,410,,
10111048由正弦定理得 ， SacB,,，，，,sin2( c,？227577
立体几何高考题答案
222OM,,,4212MMA,21. B 2.D 解:由圆的面积为得， 4,
0，在 ,,OM23RtONMOMN中,，,30
212 故选D ？,S13,r=4？,,,,ONOM3,313圆N2
23. D 4. 5. 23
,ABDAB=2AD，BAD=6. 【解析】(?)证明:因为，所以设AD=a,则AB=2a,又因为60?,所以在中,由余
2222222ADBDAB，,弦定理得:,所以BD=,所以,故BD?AD,又因BDaaaaa,，,，，,(2)22cos6033a
BD,为平面ABCD，所以BD,又因为, 所以平面ADDA. DD,DD,ADDDD,,AABD,,故111111
理计算得
7aAC=，所以AC?OC且AC=OC，故四边形OCCA是平行四边形，所以CC?AO，又CC平面ABD，AO,,11111111111112
平面ABD，所以. CCABD?平面111
7.(I)因为又OAOCDAC,,,是的中点,所以ACOD.POOACOACOD,,,底面底面所以,,.[ PO是平面POD内的两条相交直线，所以 ACPOD,平面;
(II)由(I)知，又ACPOD,平面,ACPAC,平面,
PODO所以平面在平面中，过作 PODPAC,平面,
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OHPD,于H,则连结， CHOHPAC,平面,
OCPAC在平面则是上的射影，所以是直线和平面所成的角( CH，OCHOCPAC
12，OH2POOD22RtOHCOCH中,sin，,,在 在RtPODOH中,,,,22OC331POOD，2，4，
8. (?)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,
所以PB?MO,因为PB平面,平面,所以PB?平面. ACMMO,ACMACM,
，,ADC45(?)证明:因为,AD=AC=1,所以AD?AC,又PO?平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO?AD,而 ,
,所以AD?平面PAC. ACPOO,,
(?)取DO点N,连接MN,AN,因为M为PD的中点,所以MN?PO,且
1MN=PO=1,由PO?平面ABCD,得 2
MN?平面ABCD,所以是直线AM与平面ABCD所成的角.在，MAN
1中,AD=1,AO=,所以 RtDAO,2
515DO,ANDO,,,从而.在RtANM,424
4545MN1tan，,,,MANAM中, ,即直线与平面ABCD所成角的正切值为. 55AN5
4
9. 【解析】(1)证明:因为PA?平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA?CE, ,
因为AB?AD,CE?AB,所以CE?AD,又PAAD=A,所以CE?平面PAD. ,
,,cos451,,sin451(2)解:由(1)可知CE?AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB?CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
115==,又PA?平面ABCD,PA=1, SSS,，ABAECEDE,，,1211，，，，,ABCDABCEBCD,222
1155所以四棱锥P-ABCD的体积等于. SPA,,，，,1ABCD3326
22CCCECF,,,，,32,2(22)23.10. (1)由已知可得 11
32222EFABAEBFEFCE,，,,,，,(),2(2)6. 1
222222CEFECECE,,,.于是有所以 EFCECFCECECC，,，,,.111111
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又所以平面CEF.由CEF，故CF EFCEE,.CF,CE,,CE.11
222EFCFCE，,,(2)在?CEF中，由(1)可得，于是有所以CF?EF. EFCFCE,,,6,23
CFCE,EFCEE, 又由(1)知，且，所以CF?平面CEF. 111
又平面CEF，故CF?CF.，于是?EFC即为二面角E-CF-C的平面角. CF,11111
00由(1)知?CEF是等腰直角三角形，所以?EFC=45，即所求二面角E-CF-C的大小为45. 11
，BAD,60:,AB,2AD？ 11. 解:(1)证明:在三角形ABD中，因为
该三角形为直角三角形，所以
, BD,AD,？PD,平面PAD？PD,BD且PD,AD,DBD,平面PAD,PD,平面PAD？BD,PA
p
E
CDa
BA2a
12.(?) ABACDBCADBC,？,,,为中点,
？,BCPA POABC,平面,
PABBCA,,PPA,(?)在平面内作得平面BMC，所以BMAPM,于连结,CM,
则为二面角的平面角，,,BMCBAPCACM,P,，
222ABADBD,，,41在RtADB中，得 AB,41
222PDPOOD,，RtPOD在中，，
222PBPDBD,，RtPDB在中，
2222PBPOODBD,，，,36PB,6所以得，
222PAAOOP,，,25RtPOAPA,5在中，得
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22222PAPBAB，,1sin，,BPA又从而故 cos，,,BPABMPBBPA,，,sin42323PAPB,
222BMCMBC，,，,BMC90同理，因为所以即二面角的大小为 BAPC,,CM,4290
13. 【解析】(?):连结BD过D作 DEABEBEDC,于则为正方形,
222，在 RtAEDDE,，,，,中,AD=AE125？,,,,？,BEDEAEABBEAE2,,1又
22222,？,,,SABSASBAB为等边三角形,2，在 ,,，,，,SADSASD中,AD5,215
222，同理可证 ？,，,ADSASDSDSA即即又SDSBSASBS,,,？,SDSAB平面？,SDSAB平面 即又SDSBSASBS,,,
AB(2,1,0),(2,1,0),,DDz,(?)过做平面，如图建立空间直角坐标系， ABCDDxyz,
13CS(0,1,0),(,0,) 22
可计算平面SBC的一个法向量是， n,(0,3,2)AB=(0,2,0)
21||2321ABnarccos.AB所以与平面SBC所成角为 |cos,|.,,,,,ABn77||||ABn27
14. 解法一:(I)如答(20)图1，过D作DF?AC垂足为F，
故由平面ABC?平面ACD，知DF?平面ABC，即DF
z是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，
则由AC=AD，知AG?CD，从而
1152222AGACCG,,,,,2().22y
1115AGCD,由得ACDFCDAGDF,,,,,.224AC
x1322RtABCABACBCSABBC,,,,,,,中,3,.由 ,ABC22
15VSDF,,,,.故四面体ABCD的体积 ,ABC38
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解法二:(I)如答(20)图2，设O是AC的中点，过O作OH?AC，交AB于H，过O作OM?AC，交AD于M，由平面ABC?平面ACD，知OH?OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A(0，—1，0)，C(0，1，0)。
设点B的坐标为BxyABBCBC(,,0),,||1由,,，有 11
22,xy，,1,,11,22xy，,,(1)1,,11,
,,33 xx,,,,,,,11,,22解得舍去().,,11,,yy,,,11,,,,22
31B(,,0). 即点B的坐标为 22
DyzCDAD(0,,),||1,||2,由,, 又设点D的坐标为有 22
22,(1)1,yz,，,,22,22(1)4,yz，，,,22,
33,, yy,,,,22,,44,,解得舍去().,,1515,,zz,,,,22,,,,44
31515D(0,,).hz,,||. 即点D的坐标为从而?ACD边AC上的高为 2444
3122||()(1)3,||1.ABBC,，，,, 又 22
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115 故四面体ABCD的体积VABBCh,，,,,||||. 328
215.即二面角C—AB—D的平面角的正切值为 7
立体几何专题参考答案 ED1((1)证明:因为E、F分别为DC和BC的中点， 1111
Q所以，又，所以四边形是平行四边形， CDDBB//DBBD1F11111
？EFDB//故DBDB//，， A111B1
C、F、D、B四点共面. 所以ED(2)AACC//，EFDB//？AACC,确定平面， P111111
AB又AC,ACCA,面，？,ACACC面A 而RACRA,？,,面ACC，111111111
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RDBFE,面又， ACCA11
？,RPQ而面，，即P，Q，R三点共线. ACCADBBFEPQ,,面11
,,,,a'2(证明:过作平面,使 ,a
,,,,a'??,?,,?? a',a,aa
又??,?,??且? a'a'b,,,,a
又、异面,?与必相交,??. ba'b,a,
G(0,0,1)3.解(1) EF,,(1,0,1)
Z (2) ADEF,,,,(1,0,0),(1,0,1)
F ADEF,2G ？,,,,cos,ADEF2||||ADEF,E D C y
？:ADEF和所成的角为45 B A
x (3) 设面nAEFGnxyznAGnAE,,,,,(,,),,,000
AGAE,,,(1,0,1),(0,4,3)
,,xz,00,，,xz03,,00 ？,？,,nzzz(,,),,3000430yz，,4yz,,0000,,,4,
CFn,(0,0,4)(4,3,4),,0取，则zn,,,4(4,3,4)， CF,(0,0,4)？,,d00||n410
1641？,d 41
,AB,4.(I)证明:(I) ?PC平面ABC，平面ABC， P
,?PCAB
,AB,?CD平面PAB，平面PAB， D
PC:CD,C,?CDAB( 又，
B,?AB平面PCB(
CAz,(II)由(I) AB平面PCB，?PC=AC=2，又?AB=BC，可求得BC=( 2P以B为原点，如图建立坐标系(则
D
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B
CAyx
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,(,，，,)，,(0，0，0)，C(，,，0)，P(，,，2)( 222
，(则+0+0=2( AP,(2,,2,2)BC,(2,0,0)AP,BC,2，2
2AP,BC1== ( cos,AP,BC,,222，2AP,BC
,?异面直线AP与BC所成的角为( 3
(III)设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)(，， AB,(0,,2,0)AP,(2,,2,2)
,,y,0,,2y,0,,AB,m,0,,,则 即解得 ,,,x,,2z,,2x,2y，2z,0.AP,m,0.,,,
令= -1, 得 m= (，0，-1)( z2
''' 设平面PAC的法向量为n=()( x,y,z
，， PC,(0,0,-2)AC,(2,,2,0)
',,,2z,0,PC,n,0,,, 则 即 ,,'',2x,2y,0.,AC,n,0.,,
',z,0,,'解得 令=1, 得 n= (1，1，0)( x,'',x,y,
23m,ncos,m,n,,, =( mn33，2
3?二面角C-PA-B的余弦值为 3
？BF,？BF,AE.5. (1)证明平面ACE. ?二面角D—AB—E为直二面角，且CB,AB， ？CB,？CB,AE.平面ABE.
？AE,平面BCE.
(?)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴， AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立 空间直角坐标系O—xyz，如图.
？AE,面BCE，BE面BCE， ,
Rt,AEB中,AB,2,O为AB？AE,BE， 在的中点， ？OE,1. ？A(0 ,,1 , 0 ), E(1 , 0 , 0) , C(0 , 1 , 2 ). AE,(1,1,0),AC,(0,2,2).n,(x,y,z) 设平面AEC的一个法向量为，
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,AE,n,0 ,x，y,0 ,y,,x,,,,则 解得 即 ,,,z,x,2y，2x,0.,,,AC,n,0 ,,
令得是平面AEC的一个法向量. n,(1,,1,1)x,1,
又平面BAC的一个法向量为， m,(1,0,0)
m,n13 ？cos(m,n),,,.33|m|,|n|
A1C13. ?二面角B—AC—E的余弦值为 3
B1G6.(?)证明:连AC、MC， 11
取AC的中点G，连MG， 1
1M则PG//BM且PG=BM= CCA1CP2
故四边形PGMB为平行四边形，BP //MG，
BMGAMC,平面又， 1
BPAMC,平面， 1
BP//平面AMC ？1
(II)建立如图的空间直角坐标系
设， BMx,
则点M的坐标为， ， (3,1,x)AM(3,1,x),
平面的一个法向量为( ACCAn(1,0,0)11
AMn,60,: 由题意得，
31AMn1, 故 ,,222AMn4,x
x,22
7.解:以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)， P
B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)， E
D A 优秀论文精选～ B C
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1E(0，1，)( 2
?,(,1，0，0)，,(0，2，0)，,(0，0，1)， ADAPCD
1,(0，1，) ，,(1，2，,1)， AEPC2
,CDADCDAD,,,0,CDPAD,平面,,(1) 平面PDC?平面PAD( CDAPCDAP,,,,,0,,CDPDC,平面,,APADA,,,
12,2AEPC30(2)?cos,,， ，，,AEPC,101||||AEPC1+?64
30?所求角的余弦值为( 10
8.
解(?)以A点为原点，AA为z轴，AB为y轴，过A点与AB垂直的直线为x轴，如图建立空间直角坐标系. 1
则
31A(0，0，0) B(0，a，0)C() a,a,022
31D(0，a，a)C() a,a,2a122
13取AC的中点M，则M点坐标为(a，a，a) 144
3131 AC,(a,a,2a)AC,(a, a, 0)12222
33AD = (0，a，a) DM,(a, ,a, 0)44
AB=(0，a，0)
3313 AC,DM,a，a，a，(,a)，2a，0,012424
3313 AC,DM,a，a，a，(,a)，0，0,02424
?AC?DM，AC?DM 1
?DM?平面ACCA 11
,又DM平面ADC 1
?平面ADC?平面ACCA 111
(?)设平面ADC的法向量=(x，y，z) n11
31AD,n?(x，y，z) = 0 =(0，a，a)?(x，y，z)= 0 AC,n,(a, a , 2a)11122
,31,x,3y,ax，ay，2az,0, 即 ,,22,y,,z,,ay，az,0,
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n,AA不妨取 平面ABC的法向量为=(0，0，2a) n,(,3a, ,a, a)211
平面ABC的平面ADC的夹角为 θ1
2n,n(,3a)，0，(,a)，0，(a，2a)2a512,?cos= =, θ22222525a|n|,|n|,123a，a，a,4a
9. 解:设ACBD=O，因为M、O分别为CA、CA的中点， ,1
所以，MO//CC，又由直四棱柱知CC?平面ABCD， 11
所以，MO?平面ABCD.在菱形ABCD中，BD?AC，
所以，OB、OC、OM两两垂直.故可以O为原点，OB、
OC、OM所在直线分别为轴、轴、轴，如图 yxz
建立空间直角坐标系，若设|OB|=1，则B(1，0，0)，
B(1，0，2)，A(0，，0)，C(0，，0)， 3,31
C(0，，2). 31
(I)由F、M分别为BB、CA的中点可知:F(1，0，1)， 11
M(0，0，1)，所以(1，0，0)= OB.MF,
又与不共线，所以，MF?OB. MFOB
？MF,平面ABCD，OB平面ABCD， ,
？MF ?平面ABCD
(II)(1，0，0)，而(1，0，0)为平面(即平面ACCA)的法向量. MF,yOz11
所以，平面MF?平面ACCA. 11
(III)为平面ABCD的法向量， OM,(0,0,1)
设的一个法向量，则 n,(x,y,z)为平面AFCn,AF且n,MF1
,x，3y，z,0, 由AF,(1,3,1),MF,(1,0,0),得:,x,0.,
. 令y,1,得z,,3,此时n,(0,1,,3)
,设平面AFC与平面ABCD所成二面角的大小为， 1
OMn,,33则 ,cos|cos,||||.,,,,,OMn122，||||OMn
,所以=30? .即平面AFC与平面ABCD所成二面角的大小为30? 1
10. 解(1)以D为原点，DA、DC、DD所在直线分别 1
为x、y、z轴建立空间直角坐标系0,xyz，则D(0，0，0)，A(1，0，0)， B(1，1，0)，
22 A(1，0，1)，C(0，1，1)，P(1，,0)，Q(0，1，)， 1133
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22， DQ,(0,1,)AP,(0,,,1),AD,(,1,0,0)133
22 ， ？AP,AD,0,AP,DQ,,,01133
？AP,AD,AP,DQ,11
( ？AP,平面AQD1
12(2)设PQ与平面AQD所成角为θ， PQ,(,1,,),33
,AP,PQ421821？cos(,,),||,,, 291182|AP|,|PQ|1
2182.则直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是 91
11.(1)如图,以D为原点,DA、DC、DD所在直线为x轴、y轴、z轴, 1
z 建立空间直角坐标系.设DA=a, DC=b,DD=c， 1
2212 C D则E( a, b, c),F(a , b, c),A(a,0,0),C(0,b,c). 1113333E 1111A B ？,,,,？,？FEabcACabcFEACFEAC(,,),(,,),,.111113333F
D C ?FE与AC不共线,?FE?AC. 11y
(2)?D(0,0,c),B(a, b, c), A(a, 0, c),B(a, b,0), 111
A B ?DBabABbc,,,(,,0),(0,,), 111x
?EF是两异面直线BD、AB的公垂线段,?EF?BD,EF?AB. 111111
112222？,,FEDBFEAB0,0, ?, a， b=0,b,c=0,?a=b=c. 11133
?该长方体为正方体.
12. (?)建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA=a(a>0)，则 1
A(2a，0，a)，B(2a, 2a , 0), C(0，2a，0)，C(0，2a，a) 11
aa?E为AB的中点，M为CC的中点 ?E(2a , a , )，M(0，2a, ) 1122
?EM// ABCD 1111
(?)设平面ABM的法向量为=(x, y , z )， n1
aABn,AB,n,BM又=(0，2a , ,a ) 由，得 BM,(,2a,0,)11 2
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z,2ay,az,0x,,,aa,,4,？ ？n,(,,a),,azz,2ax，,042,,y,2,,2,
而平面ABCD的法向量为.设二面角为，则 n,(0,0,1),11111
||n,n441？cos,|cos,,,,又:二面角为锐二面角
2121||||nn1
5tan,,从而( 4
上海历年高考题图形参考
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O’ A’ O’ A’ D E D 、 B’ B’ P O A P O A B B
立体几何专题图形参考
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P CB11 AD 1E z
A C O BC B y A x C 1 B1 A 1
CB
立体几何高考题图形参考
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?60BAM
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p
CDa
BA2a
S
CD
BA
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