PAGE/NUMPAGES2019-2020年高三数学立体几何中的有关证明与综合问题
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例1．已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC⊥面BB’C’C。（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。例2．如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB。又，，∴DE⊥。又面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥DC。∴CB⊥面PDC。又面PDC，∴CB⊥PC。在Rt中，。点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。在中，∠，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC//SF。又，，所以，平面。（2）因为：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此时，在SAF中，，所以，。在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则h=因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。例4．如图，已知面，于D，。（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？讲解（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。∵面，于D，∴。∴。∴。∵为在面上的射影。∴，即。∴。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。。令，解得：，与交集非空。∴满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例5．如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解：（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是与底面所成的角，∴tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。∴就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。∴。由，可知：面。所以，。在Rt中，。∴异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。∵四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，∴，。∴。∴面⊥。∵，，∴为正三角形。∴，∴。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。∴。点评开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。1．（xx年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且==。（I）证明：⊥BD；（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。CDMBENAF[
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
与提示：（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。2．（xx年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）当为何值时，MN的长最小；（Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。[答案与提示：（Ⅰ）；（Ⅱ）时，MN的长最小，为；（Ⅲ）]3．（xx年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）证明：（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。已知它的体积公式是。试判断与的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）答案与提示：（1）；（3）。4.(1997年全国高考)如图,在正方体中,E,F分别是的中点.Ⅰ.证明AD⊥;Ⅱ.求AE与所成的角;Ⅲ.证明面AED⊥面;Ⅳ.设＝2,求三棱锥的体积[答案与提示：（2）90º；（4）=1]温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！
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