第六章模糊设计

第6章模糊设计6.1模糊集合与隶属函数1965年，Zadeh教授发表了《模糊集合论》 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ，提出用“隶属函数”这个概念来描述现象差异的中间过渡，扎德创立的模糊集合是模糊数学的基础，它是以逻辑真值［0,1］的模糊逻辑为基础的，它是对经典集合的开拓。模糊数学又称Fuzzy数学，“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词。需要指出的是，随机性和模糊性尽管都是对事物不确定性的描述，但二者是有区别的。概率论研究和处理随机现象，所研究的事件本身有着明确的含意，只是由于条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现决定性的因果关系，这种在事件出现与否上表现出的不确定性称为随机性。在［0，1］上取值的概率分布函数就描述了这种随机性。模糊数学是研究和处理模糊现象的，所研究的事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定，这种由于概念外延的模糊而造成的不确定性称为模糊性(fuzziness)。在［0，1］上取值的隶属函数就描述了这种模糊性。6.1.1模糊集合人们要表达一个概念，通常有两种方法，一种是指出概念的内涵即内涵法；另一种是指出概念的外延，即外延法。实际上，概念的形成总是要联系到集合论，从集合论的角度看，内涵就是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素。由此不难看出，内涵和外延是描述概念的两个方面。在人们的思维中，有许多没有明确外延的概念，即模糊概念。表现在语言上有许多模糊概念的词，如以人的年龄为论域，那么“年青”、“中年”、“老年”都没有明确的外延。或者以人的身高为论域，那么“高个子”、“中等身材”、“矮个子”也没有明确的外延。再如以某炉温为论域，那么“高温”、“中温”、“低温”等也没有明确的外延。诸如此类的概念都是模糊概念。模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”，就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1,而是介于0和1之间的一个实数。模糊集合的定义这里给出Zadeh在1965年对模糊集合(或称模糊子集)的定义。设给定论域U，U到［O，1］闭区间的任一映射!tJA:U>[O，1](6-1)u—」A(u)都确定U的一个模糊子集A，JA称为模糊子集的隶属函数,h$丄A(u)称为u对于A的隶属度。上述定义表明，论域U上的模糊子集A由隶属函数」A(u)来表征，H(u)取值范围为*■*闭区间[0,1],・lA(U)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。」A(U)的值接近于1,表TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark180"\o"CurrentDocument"an示u从属于A的程度很高；」a(u)的值接近于0,表示u从属A的程度很低。可见，模糊子HYPERLINK\l"bookmark2"\o"CurrentDocument"A■**集完全由隶属函数所描述。A便蜕当JA(u)的值域={0，1}时，％(u)蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集ItH化成一个经典子集。由此可以看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。模糊集合的表达方式有以下几种。当论域U为有限集{比，比,|1(比}时，通常有如下三种方式。Zadeh表示法A占.孕.心5比un(6-2)式中，邛巴并不表示“分数”，而是表示论域中的元素5与其隶属度ja(ui)之间的对应UiK关系，符号“+”也不表示求和，而是表示模糊集合在论域U上的整体。序偶表示法该方法将模糊集合A用论域中的元素山与其隶属度JA(ui)构成的序偶表示，即(6-3)A={(u1』A(u1)),(u2』A(u2))」l|,(un』A(un))}此种表示方法隶属度为0的项可不写入。③向量表示法对模糊集合A，论域中的兀素为ui，其隶属度为丄A(ui)，米用向量表示法如下:A=(%(uj%(u2)」ll』A(un))h、#*在向量表示法时，隶属度为0的项不能省略。在上述三种表示法中，经常采用的是第一种方法，即Zadeh表示法。2)当U是连续论域时，Zadeh给出如下记法：巴(u)(6-4)A「U(6-5)同样，一也不表示”分数”，而表示论域上的元素u与其隶属度JA(u)之间的对应u关系；“.”既不表示“积分”，也不是“求和”记号，而是表示论域U上的元素u与其隶属度％(u)对应关系的一个总括。模糊集合的运算下面给出模糊集合的定义及其运算性质。模糊子集的包含和相等关系设A、B为论域U上的两个模糊子集，对于U中每一个元素u，都有・iA(u)_」b(u)，N#■*'则称a包含B，记作a二B。如果A2B，且B二A，则说A与B相等，记作A=B。由于模糊集合的特征是它的隶属函数，所以两个模糊子集相等也可用隶属函数来定义。若对所有元素U,都有"a(u)b(u),则A=OBW模糊子集的并、交、补运算设A、B为论域U上的两个模糊子集，规定AB、A■B、Ac的隶属函数分别为hnaaaanJAB、叫-b、jAc，并且对于U的每一个元素U，都有A■-abL"a(U)jLb(u)(6-6)\Kit¥LA?-76TOC\o"1-5"\h\zJAc—\(U)(&8)上述三式分别为A与B的并集、交集和A的补集。式中“”表示取大运算，“”表示取小运算，称其为Zadeh算子。因此两个模糊子集的并、交可写成ja(u)%(u)=max[」a(u),%(u)](6-9)ja(u)%(u)=min[(6-10)it**it模糊子集A、B并集的隶属函数取Ja(u)及Jb(u)中的最大值；而A、B交集的隶属'»■*■*»*函数取Ja(U)及Jb(U)中的最小值。模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。.V,?模糊子集的代数运算①代数积称AB为模糊集合A和B的代数积，AB的隶属函数jab为WNItHNa八^AB=」A(U)」B(U)(6-11)、'勺if②代数和称AB为模糊集合A和B的代数和，A-B的隶属函数b为¥&(KWN、ft■6冬A>ft-1^1<->B3B7++Ab,A>(6-12)③环和称A-B为模糊集合A和B的环和，A-B的隶属函数为hNa&A二N(6-13)4)模糊子集运算的基本性质幕等律交换律③结合律④分配律A■』A二AAuB=B(V?B)”(A-(吸收律同一律.A'、丿C1A一('I厂C=A-(B)-C=(%-(A-B)C=(A一C)-(B一C)(A一B)「Aa”(a-"b)-"a=aA—AUAABBAL.C)B-C)A■C),B-C)B)⑦复原律⑧对偶律(rB)=rB(rB^rB上述性质模糊集合与经典集合是相同的，但须指出，模糊集合不再满足互补律，其原因是模糊子集A没有明确的边界，Ac也无明确的边界。5h模糊集合与经典集合的联系模糊集合是通过隶属函数来定义的，如果要问模糊集合A究竟由哪些元素组成，那么必须对隶属度取一定的阈值■，即约定当u对于a的隶属度达到或超过‘者就算做a的成员,1.75m以那么模糊集合a就变成了经典子集A,。例如，“高个子”是个模糊集合，而“身高上的人”却是个经典集合，这里有一个概念叫“截集”。截集设A为论域U上的模糊集合，对任意-[0,1]，当hA丄｛u|%(u)—JN*称亍为A的•截集，它是一个经典集合,当'称为水平。称A为A的’强截集。■截集与•强截集具有如下性质:{uLa(U)}(AB)=ANN九訐-B-，（A「B）■补肯(A一B).二A,一B,NN少讣M若'I，'2•[0,1]，且’1—2，则有:2，A.12）分解定理(6-14)设A为论域U上的模糊集合，A.为A的，截集，■•[0,1]，则有如下分解式成立lbitf'jA..[-0,1]4式中A,表示X的一个模糊子集，称为，与A的“乘积”，其隶属函数如图6-1所示，隶属函数定义为:(6-15)图6-1■A的隶属函数,，A,（x）图6-2分解定理的图示J.A（X）的图形。当'取遍'[0,1]点隶属函数的最大图6-2给出了分解定理的直观说明，图中画出了不同水平的[0，1]区间所有值时，一」A按模糊集合求并运算法则，即取各值，再连成一条曲线，这自然与」a(X)线重合，分解定理说明的就是这个道理。a分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性，它沟通了模糊集合与经典集合的联系。扩张原理设映射f:X>Y，那么可以扩张成为f:A二f(A)(6-16)这里，f叫做f的扩张。A通过映射f映射成f(A)时，规定它的隶属函数的值保持不变。在不产生误解的情况下，f可记作f。分解定理和扩张原理是模糊数学的理论支柱。分解定理是联系模糊数学和普通数学的纽带，而扩张原理是把普通的数学方法扩展到模糊数学中的有力工具。6.1.2隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数是描述模糊性的关键。尽管统计学为隶属函数的确定提供了较简捷和较科学的方法，但它们的确定仍然是实际工作者感到棘手的问题。一个模糊集合在给定某种特性之后，就必须建立反映这种特性所具有的程度函数即隶属函数。模糊性的根源，在于客观事物的差异之间存在着中介过渡，存在着亦此亦彼的现象。但是，在亦此亦彼之中依然存在着差异，依然可以相互比较，在上一层次中是亦此亦彼的东西，在下一层次中可能又是非此即彼的。这些便在客观上对隶属函数进行了某种限定，使得隶属函数不能主观任意地捏造，它仍然具有一定的客观规律性。当然，对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。事实上，也不可能存在对任何问题、任何人都适用的确定隶属函数的统一方法。隶属函数的确定原则以下是确定隶属函数的一般原则：隶属函数的确定过程，本质上是客观的，但又容许一定的人为技巧，有时这种人为技巧对问题的解决起决定作用。值得注意的是，人为技巧应该是合乎情理的，不能有悖于客观实际；在某些场合，隶属函数可以通过模糊统计试验加以确定。一般来说，这种方法多是较为有效的；在某些场合，可以用概率统计的结果予以推理而确定其隶属函数；在某些场合，可以用二元对比排序法确定隶属函数的大致形状，根据形状可以选用适当的隶属函数的模型；在一定条件下，隶属函数可以作为推理的产物；某些模糊集合的隶属函数可以经过模糊运算求得；在模糊数学的许多应用领域中，隶属函数可以通过“学习”而不断完善。实践效果是检验和调整隶属函数的依据；隶属函数的确定也可以通过专家的经验来确定，目前在许多基于知识的专家系统中都是这样来确定隶属函数的。当论域为实数R时，可以根据问题的性质选用某种典型的函数形式，并利用隶属函数所要满足的条件来确定函数中所包含的参数。常用的模糊分布以实数域R为论域时，称隶属函数为模糊分布。常见的模糊分布有以下四种:1)正态型这是最主要也是最常见的一种分布，表示为叫x)F)2其分布曲线如图6-3所示。x0x_0x当v0即X='V时，隶属度为1,其分布曲线如图6-4所示。图6-3正态型隶属函数图6-4-型隶属函数3)戒上型11J+[a(x-c)]b其中，a0,bV,其分布曲线如图6-5所示。戒下型0叫x)二1b1[a(x-c)]b其中，a0,b0，其分布曲线如图6-6所示。图6-6戒下型隶属函数（3）常用的隶属函数具体参数由这里给出28种常用隶属函数，分为4组，处理实际问题时可从中选用一种,实际问题决定。1）偏小型（戒上型）①降半矩形分布论域X均为正值，适用于x很小的隶属函数。七)=rio降半:型分布-k(x-a)其中，k0。降半正态分布1-k(x-a)2其中，k0。降半梯形分布1x兰cJ(x)二-a2―xa1::xa2低-a0x》a2降半凹（凸）分布⑥降半柯西分布其中，k1o⑦降半岭形分布1_axk叫x)二!0叫x)111kx2111a^a1兀(x2»sin222a2-a1I0x_c印：x 设计方案 关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案 优劣的某一个指标或某几个指标。寻找优化设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的目的，就是追求可靠性最高，造价、维修费用最小或其它性能指标最优。由于设计方案的“优”与“劣”本身就是一个模糊概念，没有明确的界限和 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，特别是对于多目标优化问题，往往只能得到满意解。因此，一般地说，目标函数是模糊的，记为f(X)。约束条件设计中并非所有方案都是可行的，可行方案必须满足设计规范和标准中所规定的条件或其它条件。这些条件大致上可分为三类：几何方面的约束，如尺寸约束、形状约束、位移约束等；性能方面的约束，如应力约束、频率约束、稳定性约束，如果承受交变应力，还要考虑疲劳强度约束等；人文因素方面的约束，如经济政策约束、管理水平和环境因素约束等。这些约束条件,特别是性能约束和人文因素约束中，包含了大量的模糊因素。我们通常所讲的模糊优化设计，大多数是具有模糊约束的优化设计。模糊约束条件可表达为：gj(X)畀jj=1'2川J(6-17)式中，gj(X)代表应力、位移、尺寸、频率等物理量,j是gj(X)所允许的范围，式(6-17)表示模糊量gj(X)在模糊的意义下落入模糊允许区间Gj，这种约束称为“广义模糊约束”当gj(X)为非模糊量时，式(6-17)可写成(6-18)gj(x)*Gj，j=1,2jH,J式(6-18)称为“普通模糊约束”。设计变量建立优化设计数学模型的一个难点是：哪些参数应该定为设计变量，哪些参数取为常量。虽然从理论上说，各种参数都可以按设计变量处理，但实际上这样做有时是不合理的，甚至是不可能的。过去都把设计变量视为确定性的或随机性的，但严格说来，设计变量大多具有不同程度的模糊性，因此从理论上说，均应视为模糊变量。当目标函数、约束条件和设计变量都具有模糊性时，模糊优化设计的数学模型可表述为min遊)设计变量:目标函数:约束条件:根据模糊目标函数与模糊约束函数的关系，模糊优化数学模型可分为对称和非对称两种。在对称模型中，目标和约束的地位及作用是同等的、对称的，并且可以互换位置。在非对称模型中，目标和约束所起的作用是不同等的、非对称的，即要在满足约束的前提下，寻求最优的目标，满足约束是首要的。⑵模糊优化设计的若干概念模糊目标集:模糊目标集是指论域U上的模糊集合，记为fi。模糊约束集:模糊约束集是指论域U上的模糊集合，记为1TCj。D，它由下式给出:交模糊判决:交模糊判决是指模糊目标集和模糊约束集的交集DfiIJtfi厂jCj)(6-19)凸模糊判决:凸模糊判决是指论域U上的一个模糊集合，它由下式给出：IJD=*ifi：」-1亠jCjy$j4(6-20)式中，「_0，I■'I.j-0，且有7-J'i亠二■■J-j=1。j二积模糊判决:积模糊判决是指论域U上的一个模糊集合Dpr，它由下式给出：Dpr=aIJ(Hfi)(【Cj)yj吕j(6-21)模糊最优解:设X为论域U上的元素，如果它使模糊判决的隶属函数％（X）取最大值，n即%（X*）二mW（x））X^U、(6-22)则称X为模糊最优解。模糊最优集：所有模糊最优解的集合MFiWmax心（X））｝(6-23)称为模糊最优集。⑶模糊优化问题求解的基本思想求解模糊优化问题的基本途径，就是把模糊优化问题转化为非模糊优化问题，再用各种普通优化方法求解。模糊优化问题解法的核心，就是从模糊到非模糊的转化。不同的转化方法便产生不同的模糊优化解，模糊优化问题的解不是唯一的，由所谓模糊判决给出。解的不唯一性是模糊优化的特点。实现这种转化及其求解，目前主要有以下几种基本思路1）最优水平截集法从工程实际出发，在事物模糊性(模糊集合)的中间过渡状态中，截取一系列■水平截集(即给出了一系列不同置信水平下的设计方案)，并从中获取一最优■水平截集，得到一个确定性的解，这样便把一个原来模糊优化问题，转化为相应的普遍优化问题。虽然最优水平截集法也能给出一系列可供选择的解及最优的解，但这种方法在求解过程之前就将模糊优化问题转化为非模糊性的优化问题，过早地失掉了问题描述的模糊性，这是最优水平截集法值得研究和改进的地方。由于该法简单，思路明确，考虑了事物中介过渡性质，所以仍是目前模糊优化中普遍采用的一种方法。2)近似模糊集合法用一个普通集合去近似一个模糊集合，并使两者之差在允许的精度范围之内，从而把一个模糊优化问题转化为普通优化问题。国内外均有从事模糊理论研究的学者提出这样一个新观点：一个模糊优化问题应该得到一个模糊解。即发展一种方法，使其在优化之前不失掉问题的模糊性，带着模糊性进行求解，最后结果能用模糊集表示。这既是一个工程技术问题，更是一个模糊数学的理论问题，近似模糊集合法还有待于进一步深入研究和探索。6.2.2对称模糊优化设计求解对称模糊优化设计的基本思想是：目标和所有的约束在优化问题中是同等重要的，把目标和约束分别表示为同一论域或不同论域上的两个模糊子集，然后通过模糊目标集和模糊约束集的交集，寻求既能最大限度地达到目标，又能最大限度地满足约束的优化方案。对称模糊优化数学模型形式为：在论域U上，给出模糊目标集f和模糊约束集Cj,求X使J(6-24)」d(X*)二max“D(X))=max{»(X)(X))}yj不难看出，对称模糊优化模型将给出模糊优化问题的一个特定的清晰解。⑴对称模糊优化模型的直接解法对称条件下的模糊最优判决准则为：在最优点处模糊判决的隶属函数取得它的最大值。根据这个准则，可直接构造如下常规优化问题：求扎,X、(6-25)max九s.t.^f(X)3入^Cj(X)沐,j=1,2,川,J/丿上述问题等价于：求k,X"(6-26)min(—九)s.t•丸一Pf(X)兰0九-％(X20,j=1,2,川，j>j丿此不等式约束极值问题应满足如下Kuhn—Tucker条件(简称K—T条件)：j■o'人(X*)j怙(X*)=0j•0、・j-仁0j二打(*—」Cj(X*))=0•■*-%(X*)乞00(「”(x*))=0*_」f(X*)空0*0-0,・j-0j=1,2,Hl,J应用常规不等式约束优化方法即可求得式(6-26)的最优解。⑵对称模糊优化模型的迭代解法1)迭代解法的理论基础定理1设模糊约束C的■水平截集为C,二{XI%(X)_U}则交模糊判决的最大值为(6-27)maxCl(X))=max(■max"f(X))D证明：利用分解定理将模糊约束C表示为\(xh('c.(X))[0,1]其中C,为C.的特征函数，即v[1X5C(X)二0XC因此，交模糊判决可表示为%(X^-c(X)Jf(X)=((■C.(X)))Jf(X)[0,1]=VE%(X))Jf(X)■[0,1]>交模糊判决的最大值可表示为max\(X)二{(■C(X)」f(X))}DU[0,1]-f订”aC(X)入4f(x)))}■[0,1]■-U(C(X)・Lf(X))■■U珂(c.(X)h(X))}{(c,(X)S(X))}X.CX.c,/u/u+(X)二max<(X)fxcf因此，证得max、D(X)二max('max-f(X))D[0,1]xc..由于max"f(x)随■水平截集c.的不同而变化，也即随，值的不同而变化，因此为X绘"了讨论方便，现将max"f(x)视为•的函数，即令()=max[(X)显然，函数:(■)具有如下性质:①(0)二mxax[(X)；TOC\o"1-5"\h\z②若\-■2，则('1)('2)。jl耳*」亠**定理2若函数：(■)在闭区间［0,1］上连续，则存在唯一的••［0,1］，使「(’)='。jllfa-.-****定理3若函数申⑴在闭区间［0，1］上连续，®a)=&，贝ymax»D(X)=九。根据定理2和定理3,模糊优化问题可转化为求Fax；f(x)=maxLd(X)(6-28)的问题。若已求得「，则在普通约束C；下极大化Jf(X)，便可求得模糊优化问题的最优解。定理4若函数®⑴在闭区间［O,1］上连续，则maxjd(X)=maxf(X)(6-29)其中，A二｛XI\(X)(X)_0｝。>,1由定理4可知，当函数;(■)连续时，模糊优化问题可转化为如下的常规优化问题：求X=(N，X2，||(Xn)Tmax-if(X)s.t」c(X)」f(X)_0定理5若模糊约束c为严格凸模糊集合，则函数叭打=max»f(x)连续。定理2,3,4,5的证明详见参考文献［9］。2)对称模糊优化模型的迭代解法由式(6-28)得」max期x"0(6-30)式(6-30)为迭代解法提供了基本方程。由于■*是唯一的，故只有当■为■*时，式(6-30)才成立，否则将不等于零。因此可将式(6-30)作为一个准则，把寻求■*和最优解X*的过程，归结为使fk)(X)逐渐趋于零的过程。这样，对称模糊优化问题的迭代求解步骤如下①任给一■(k^［0,1］及收敛精度「令k=1；作C的■⑹水平截集1,2|IJ,;求解常规优化问题求X=(X1,X2,|l|Xn)max^f(X)s.t."c解得X(k)和Jf(X(k))；A计算；(k)=，(k)-■十(X(k))，如果|口；，转⑦，否则转⑤;*计算•(k°「(k)_(k);(k),0「(k):::1，且应使■(k°[0,1]；令k=k1,转②；输出最优解X*=X(k)。对称模糊优化模型迭代解法的计算框图如图6-7所示。OSD3E图6-7对称模糊优化模型迭代解法的计算框图上述迭代求解过程的第③步是一个常规优化问题，可用常规约束优化方法求解。其约束条件七(X)一’(k)(j=1,2j|l,J)保证了优化是在水平截集C(k)上进行的。；为预先给.35定的收敛精度，通常取•；：-10~10。本解法由于需多次求解常规优化问题，因此其计算效率有待改进。⑶模糊约束清晰目标函数极值问题的求解方法对于对称模糊优化模型，要求目标函数和约束函数都是模糊的。如果实际问题的目标函数是非模糊的，为了刻画函数f(X)在模糊约束C下的优化问题，弓I入函数f(X)的模糊极大集和模糊极小集的概念。令M=maxf(X)X.Um=minf(X)f(X)在论域U上的模糊极大集定义为一模糊子集M，其隶属函数为f(x)-mXWU%(X)二“M「m由式(6-31)可知，模糊极大集M是函数f(X)经过一定的线性变换后得到的，函数f(X)的极大点和极小点对模糊极大集M的隶属度分别为|和0。M具有函数f(x)的保序性质，即’**(6-31)f(XJ乞f(X2)二=UXJ—Im(X2)X!,X2Uf(X)在论域U上的模糊极小集是一个模糊子集m，其隶属函数定义为M「m(6-32)由式(6-31)和(6-32)可推导出即有FMC也就是说，模糊极小集是模糊极大集的补集。求解目标函数f(X)在模糊约束Cj(j=1,2川I,J)下的条件极值的步骤如下:求f(X)的模糊极大集M，将M看成是模糊目标集；求交模糊判决D，即求1)2)3)按最大隶属原则求XU，使得JJD(X*^max^lM(X)梟屯以))}X*就是所求的条件极大点，f(X*)就是在模糊约束Cj(j=1,2,Hl,J)下的条件极大值。iT将M换成m，即可求得条件极小点和条件极小值。6.3模糊可靠性设计6.3.1模糊可靠性设计的基本概念(1)模糊可靠度与模糊失效概率在普通可靠性设计中产品的强度、干涉变量、寿命、运行时间等均为随机变量。现在考虑到事物的模糊性，因此需要以模糊事件的概率来度量，通常模糊可靠度和模糊失效概率有以下几种情况及其表达式。1）应力为模糊变量，强度为随机变量设控制失效应力为应力论域U中的一个模糊子集，如“应力大约为某值”这一模糊事件，则对任一应力x.U隶属于控制失效应力集:.的可能性程度用隶属函数值・（x）来表征，故可以把・l.（x）看作一种失效判据，可称为模糊失效判据。若强度的概率密度函数为f_（x），则在这种模糊失效判据控制下，失效是一模糊事件，根据模糊事件的概率定义可得模糊失效概率度问题。而成功的概率，即模糊可靠度F（t）=p（”x\（x）i（x）dx(6-33)-F(tf(x)fjx)dx(6-34)Rz2）应力为随机变量，强度为模糊变量设控制强度为应力论域U中一个模糊子集二，如“强度大约为某值”这一模糊事件，任一应力x隶属于辽的隶属函数为■（x），应力的概率密度函数为fj.（x），则在这种控制强度下，由模糊事件的概率定义，可得模糊可靠度二P"；'）=x〜」x）f、.（x）dx(6-35)而模糊失效概率R（t）=1-.xt（x）f、（x）dx3）干涉变量Y（Y•0）为模糊变量F(t)胡-(6-36)设干涉变量Y・0为论域｛Y｝上一个模糊子集Y，干涉变量y的隶属函数为」丫（丫），概a■*率密度函数为fY（y），同样可得模糊可靠度R（t）=pq-）「｛Y｝、（y）fY（y）dy4）寿命T模糊地大于运行时间t(6-37)若产品寿命T的概率密度函数为f（t），“T模糊地大于”的隶属函数为Jt，则同样根据模糊事件的概率计算公式，有qQR（t）=P（T$t）=「\f（t）dt上式可解决“寿命T基本上大于时刻t”、“寿命T差不多大于时刻t”等情况时求可靠(6-38)式(6-34)、式(6-35)、式(6-36)、式(6-37)物理意义不同，但数学形式是等价的。只要知道它们右边的隶属函数和概率分布，求可靠度的问题就不难解决了。所求出的概率可以引入系统的可靠性计算中去，如串、并联系统可靠性计算等。但是，这里所定义的模糊可靠度毕竟与普通可靠度的物理意义有所不同，它带有设计者的经验、智能判断和推理成分。设产品(零件)的寿命服从指数分布，即有TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark186"\o"CurrentDocument"f(t)=■exp(」；t)t0,0取“寿命T差不多大于时刻t”时的隶属函数为升半正态型，则有0t<«HYPERLINK\l"bookmark190"\o"CurrentDocument"-(t)=｛21-exp[-K(t-a)]t>020将f(t)，J(t)代入式(6-38)，于是求得模糊可靠度■：：：21-exp[-K(t-：)]exp(-■t)(6-39)=―K—exp(-M)K现列出相应的普通可靠度作为对照R(t)二exp(」；t)由此可见，随着K的增大，模糊可靠度越来越接近普通可靠度，即模糊事件｛Tt｝越来越接近清晰事件｛Tt｝，隶属函数」(t)越来越接近特征函数A(t)(升半矩形分布)'。从这里可以看到，模糊可靠度的确在各种程度上描绘了系统的可靠状况，此外当K>::,R(t)>R(t)，即普通可靠度可作为模糊可靠度的极限情况来看待，模糊可靠度可看作普通可靠度的推广。(2)模糊失效率与模糊平均寿命根据普通可靠性设计中失效率与平均寿命的定义，可定义模糊失效率为模糊平均寿命定义为(6-40)6\17将式(6-39)代入式(6-40)和(6-41)，可分别导出■,(t)二(■K)K(6-42)(6-43)(t)、模糊有效度A、模糊维修率由上式可见，K>：:,'(t)>■，‘■o这表明，普通可靠性指标是模糊可靠指标的极限情况，是模糊可靠性指标的一个特例。"用同样的思路和方法，我们还可以定义模糊维修度J(t)等可靠性指标。(3)系统的模糊可靠度1)串联系统的模糊可靠度对于由n个相互独立单元构成的串联系统，若按上面方法求出每个单元的模糊可靠度则串联系统的模糊可靠度为n恰(t)甲(t)2)并联系统的模糊可靠度(6-44)对于由n个相互独立单元构成的并联系统，单元模糊可靠度统模糊可靠度为同样可求得并联系n恰⑴"T【口-冬⑴］i=1,2Un,i4(6-45)按上面相同的方法，不难写出表决系统和开关系统的模糊可靠度，这里不再列出。值得注意的是，上面所讨论的模糊可靠度和模糊失效概率等参数作为事件本身是模糊的,而概率值是普通数值，称为模糊事件的概率，这是模糊可靠性设计中最常见的情况。模糊数学中还给出了另两类情况，一类是事件本身明确，但概率是模糊的，称为事件的模糊概率；另一类则是事件和概率都是模糊的，称为模糊事件的模糊概率。此外，上面所讨论的论域u为连续变量，即有连续的随机变量概率密度函数和连续型模糊变量隶属函数。下面讨论论域U为离散型的情况。设X是离散型随机变量，其取值的集合为X={Xi,X2」l(,Xn}，X上的模糊集A表示模糊事件，则该模糊事件的概率定义为n(6-46)p(A)八A(Xi)Pii珀t式中pi——X取值X的概率，Pi=P{X=Xj}；A(Xi)——Xi对A的隶属度。有关模糊可靠性设计的内容，尚有多状态系统的可靠性分析与 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 、系统的可靠性模糊预测与模糊最优分配，以及模糊失效模式和效应分析(FMEA卜模糊故障树分析(FTA)、模糊故障诊断、模糊寿命估计等。但是应用模糊数学处理可靠性问题只是近几年发展起来的一个新学科，其中有些理论与方法已趋成熟，有的仍处在探索阶段。在机械设计中，如何应用模糊可靠性理论与方法解决常规可靠性设计难以解决的问题，人们对此寄予了很大期望。6.3.2机械零件的耐磨性模糊可靠度机械零件表面的摩擦磨损是一个相当复杂的物理、化学过程，也是一个动态的随机过程,其影响因素很多。表征零件耐磨性或磨损寿命的设计变量存在两种非确定性，一种为设计变量取值的分散所表现的随机性，要根据实验数据运用概率论和数理统计的方法进行研究；另一种表现为模糊性，要靠人的智能、知识和经验来估计、判断这类模糊事物，用模糊数学进行研究和处理。耐磨性普通可靠度的计算机械零件在磨损过程中，由于所观测的磨损量是分散的，概率设计将过程磨损量W和允许磨损量Wp均处理成随机变量，它们服从一定的分布规律。随着工作时间的变化，当零件运行至时间t2时，过程磨损量W分布与允许磨损量Wp分布发生干涉，如图6-8(阴影部分)所示。发生干涉时将可能产生失效，此时零件的耐磨性失效概率，即不可靠度为COWF(t)=P(WWp)=_fw(W)dW_fwp(Wp)dWp(6-47)而安全概率，即可靠度为FWR(t)=1-F(t)=1-fw(W)dWfw(Wp)dWp(6-48)式中fw(W)――过程磨损量W的概率密度函数；fWp(Wp)――允许磨损量Wp的概率密度函数。(6-49)0人h运行时间处图6-8耐磨性失效概率计算模型%孙设计中可假设过程磨损量与允许磨损量均服从正态分布，由联接方程可得到零件耐磨性可靠性指数它与可靠度—对应，因此nWp-W(6-50)R(t)_P)qsWp+s式中g(：)——标准正态分布函数；Wp允许磨损量Wp的均值；Swp允许磨损量Wp的标准差;W――过程磨损量W的均值；Sw――过程磨损量W的标准差。当已知正态分布的过程磨损量和允许磨损量的分布参数W、Sw、Wp、SWp，由式(6-49))，即可靠度R(t)，使之大于可求得可靠性指数：，按标准正态分布表便可查得相应的或等于规定的目标可靠度［R］。工程中有时先规定目标可靠度［R］，这时可按标准正态分布表查出可靠性指数1,再由式(6-49)求得所需要的设计参数，如零件的允许磨损量、磨损寿命等。耐磨性模糊可靠度的计算从零件耐磨性设计角度考虑，未来某一时刻零件的磨损量是随机变量，但是测定的某个磨损量，对不同机器、不同工况条件，是否导致零件失效，则往往是模糊的，如判定某零件磨损量25」m时为磨损失效状态，显然不能说当磨损量为24.5」m时，绝不会失效。这表明“多大磨损量才会引起失效”是一个模糊概念。因此，零件耐磨性设计时，没有必要追究过程磨损量到底是何具体数值，只要掌握过程磨损量大约为某值时零件的安全裕度是多少，或耐磨性的可靠度是多少。设零件磨损量为论域U二｛Xi,X2,|)|,Xn｝，则“过程磨损量大约为某值”为U上的模糊子集合W，W可以用一个从U到实区间[0,1]的函数％(x)来表示，jw(x)称为W的隶属函数，函数值％(x)代表磨损量x对集合W的隶属度。当％(x)=0，表示U中的x百分之百不属于W-W(x)=1，则U中的x百分之百属于W，其余的磨损量x对W的隶属度为介于0和1之间的实数，」w(x)越接近1表示x属于W的程度就越大。由于W的隶属函的可能性程度，故数Jw(x)定量地刻画了某一磨损量属于控制失效的过程磨损量的集合It可以把Jw(x)看作一种失效判据。若过程磨损量为连续模糊变量，控制失效的允许磨损量为If连续随机变量，则在这种模糊失效判据下，根据式(6-33)，可以得到过程磨损量大约为某值时的模糊失效概率(6-51)F(t)二P(WWp)「肿w(x)fwp(x)dx因此，安全概率即可靠度R(t)=1-F(t)=1-.「w(x)fwp(x)dx(6-52)根据实践中零件磨损量大约为某值的模糊信息和专家的经验，知道磨损量偏离某值的可图6-9正态型隶属函数能性程度通常具有某种对称性质，且随着偏离程度加大，这个可能性将不断减小。因此，“过程磨损量大约为某值”W的隶属函数可采用正态型描述。正态型隶属函数如图6-9所示。由正态型分布隶属函数可得x-m、2r七(X)二exp[-()](6-53)b式中各参数的意义为：假定当“过程磨损量为25」m左右”的情况下，m=25"m而b0是一个任选参数，它反映了过程磨损量在m值左右摆动的可能性程度大小，b值决定了过程磨损量以25」m为中心可能会“左右”到什么程度。由图6-9可见，当b1.b2时，m附近值(m_.ix)的隶属度・&(x)-^(x)，也就是说b值越大，过程磨损量W左右摆动的可能性程度也越大。b值的选择可根据过程磨损量的离散程度，使式(6-53)描述的过程磨损量符合设计者经验中的过程磨损量可能的状况为准则。若零件的工况条件较恶劣，影响磨损的诸因素波动大,且信息又较模糊，则b取大值，反之b取小值。若允许磨损量Wp为正态分布，并将式(6-53)代入式(6-51)中，可得磨损量大约为m时零件耐磨性模糊失效概率2F(t)二p(WWp)二X2rx-m?1「(x-WP)(1旳[一(〒)]dxbSmp\2…2Sp22s：甘曲器^mg)］(6-54)而耐磨性模糊可靠度R(t)=1—F(t)=12■,2sm~b2expH2Sw^]r：,(yJ_::,(y2)](6-55)式中：,J(y1,2)标准正态分布函数。y1厂至丄(X1,22mSW^bX2SWpb2)(6-56)其中X1,2为过程磨损量W的定义域［x1，X2］，可以h按以下方法确定：根据零件的磨损工况对“过程磨损量大约为某值”进行适当的划分，即对隶属度取一定的“阈值”■(^■-1)，除去%(x)：：：'所对应的磨损量，而由％(x)••所HYPERLINK\l"bookmark32"\o"CurrentDocument"hh对应的磨损量的集合W.二｛x|xU』W(x)-J构成“过程磨损量大约为某值”模糊量的■截集，如图6-10所示，因此，由式(6-53)可得过程躍损量珂尬图6-10不同'时磨损量的集合x1,2=m(6-57)即定义域为633结构断裂模糊失效概率(1)断裂因素的不确定性结构断裂是由于内部含有缺陷及运行中的交变应力、腐蚀、辐照等原因，致使裂纹萌生、扩展直至断裂的累积过程。传统的断裂力学将影响断裂的各种因素，如材料抗力、载荷、裂纹形状、尺寸等都处理成一个确定的值，这与实际情况是不符的。事实上，这些因素存在着两种不确定性：一种为检测结果的离散性，这是由于外界条件，检验设备，检测误差等多种偶然因素所造成的随机性，这种不确定性必须根据一定数量的实验数据，运用概率论和数理统计的方法进行分析研究。另一种表现为模糊不确定性，这种不确定性是由于裂纹的萌生、扩展直至断裂过程的复杂性，致使其间界限的不分明性；以及检测、探伤等客观条件的限制和不完备，往往不得不依靠工程技术人员的知识、经验来判断这类界限不清晰的现象。这种模糊性，形式上表现为评定事物的标准或定义没有明确的界限，或表现为陈述上是模糊的，如“小裂纹”、“较大裂纹”、“大裂纹”、“浅裂纹”、“深裂纹’’等，又如“裂纹长度约为3mm.“失稳断裂的裂纹临界值为6mn左右”等等均属此类，这类模糊现象必须运用模糊数学加以描述和运算。(2)断裂随机失效概率的计算结构断裂的失效判据可以用裂纹尺寸表示。在概率断裂设计中，裂纹尺寸处理成随机变量，服从一定的分布规律，图6-11表示了裂纹尺寸a与失稳断裂裂纹长度的临界值ac随时间而变化的分布模式。当结构运行至某一时刻t1时，a与ac的分布曲线发生干涉，这时结构可能产生失稳断裂，其随机失效概率为0“图6-11结构断裂失效概率计算模型a(6-58)F(t)=P(a—ac)=：0fa(x)dx°fac(x)dx式中fa(X)――裂纹尺寸的概率密度函数;fac(x)——临界裂纹尺寸的概率密度函数。从而可计算出结构断裂的安全概率，即可靠度为R(t)“—F(t)=P(aca)(6-59)裂纹尺寸与临界裂纹尺寸可用对数正态分布描述，即(lnx」a)2(6-60)fac(x)-2(Inx—kc)2Slac(6-61)式中叫a、Jiac――分别为Ina和Ina。的均值;Sa、Slac分别为Ina和Inac的标准差。由联结方程知断裂随机失效概率为(6-62)L1_L1F(yla2_la2)JS|ac+Sa式中■>()——标准正态分布函数，可由标准正态分布表直接查用。断裂模糊失效概率的计算对于结构断裂尺寸为离散型模糊变量X!,X2^|,Xn时，其“断裂尺寸大约为某值”的模糊集合为©二8(为)/为匕&2)几2*」a(Xn)/Xn5'*'*对于断裂尺寸为连续型模糊变量X，其模糊集合为以上两式中的*&)称为模糊集合a的隶属函数，其取值区间为［0,1］。它表示断裂尺寸X对模糊集合a(断裂尺寸大约为某值)的一种“满足度”，因此，」a(x)可视为一种断裂模糊失效判据。"断裂尺寸大约为某值”a的隶属函数可用正态型分布表示[3]因此\(x)可表示为.V(6-63)式中断裂尺寸集中的位置，即“断裂尺寸大约为某值”的那个尺寸;K――断裂尺寸以m为中心左右摆动的可能性程度大小的参数。当断裂尺寸a为模糊变量，服从正态分布，其隶属函数由式（6-63）确定，临界断裂尺寸ac为随机变量，其概率密度函数由式（6-61）确定，这两种分布如图6-12所示。图6-12中，两种分布发生相互干涉，此时由式（6-33）可得到断裂模糊失效概率为F(t)=P(a_a』「％(x)fac(x)dx(xm)21、、2二xS|ac(Inx—k)2dx_(m--L)2J缶F吶皿)](6-64)式（6-64）中，：•：」（*）（i=1,2）为标准正态分图6-12断裂尺寸与临界断裂尺寸发生干涉布函数，其值可在正态分布函数表查取，—可由下式确定：畀［（2mS；c+K片Jgc+Ki2Sl—K耳花!_（6-65）式中Xi――断裂尺寸a的定义域。裂纹模糊尺寸a的定义域由结构断裂的实际工况和工程技术人员的经验来划定。通常将」a（x）取一定的阈值人（0兰人兰1），再把巴（x）Hh的裂K纹尺寸挑选出来作为设计依据，组成如图6-13所示■截集。'截集可表达为：a?；广｛x|*（x）-J0—'—1将上式代人式（6-63）得图6-13断裂尺寸隶属函数的■截集(6-66)634机械系统可靠性指标的模糊决策与分配在产品进行可靠性设计时，首先要确定系统预期的可靠性指标，如可靠度，然后将其合理地分配给系统各个零件，以便在设计、制造中切实地加以保证。我国有关部门已陆续颁布了一些机电产品可靠性指标试行标准(草案)。但是，一方面尚有许多产品可靠性指标仍未确定；另一方面已确定的可靠性指标在许多情况下也只是一个范围，因而可靠性指标的具体数值仍需在设计时确定。下面介绍运用模糊决策的方法来确定系统的可靠性指标，并进行可靠度的最优化分配。(1)系统可靠性指标的确定大多数机械系统或其子系统都属于串联系统，即处于载荷传递路线上任一单元(如轴、齿轮等)失效，都将引起系统功能丧失，停止运转。这里将以齿轮、轴、轴承、键等类型零件组成的机械系统为对象，其中每一类零件数目可能不只一个。如上所述的简化的串联系统的可靠性框图如图6-14所示。齿轮轴—轴承图6-14机械传动系统串联可靠性框图下面运用二级模糊综合决策的方法来确定系统的可靠性指标。值得注意的是，这里一级模糊决策是根据各因素对系统可靠性水平的影响确定系统对可靠性水平的要求；二级模糊决策是根据系统对可靠性水平的要求，确定系统的可靠度指标，具体的决策过程如下。)确定可靠性指标的备择集例如取可靠度指标集为C=(q,c2,|l(,c10)=(0.90,0.91,0.92,0.93,0.94,0.95,0.96,0.97,0.98,0.99))确定影响系统可靠性水平的因素集例如，取因素集为A=(a1,a2,a3,a4)=(系统原有的可靠性水平，重要程度，成本，任务情况))确定评语集例如，取评语集为B=(d,b2,b3,b4,b5)=(高，较高，一般，较低，低))确定权重集权重表示各因素对系统可靠性水平的影响程度，反映了各因素在综合决策中所占有的地位与作用，直接影响到决策的结果，权重通常是凭经验或请专家打分用统计方法给出。例如,取权向量并作归一化处理有厂(d1,d2,d3,d4)=(0.5,020.2,0.1)建立模糊关系矩阵对于某一因素ai，需要找出其在评语集中的隶属函数，以便确定该因素对各评语等级的隶属度。隶属函数及隶属度的确定与人的主观因素有关，现根据实际情况推理因素集中元素与评语集中元素之间的模糊关系，即确定第i个因素aj对各评语等级的隶属度，为一模糊子集r，例如ri=(0.00，0.01，0.84，0.21，0.00），类似地分别确定各因素对各评语等级的隶属度，可得模糊关系矩阵为b3b4b5"0.000.010.000.66R1=N0.000.37卫.000.01bib20.840.210.000.500.080.020.660.110.031.000.260.05a1a2a3a4矩阵R第i行第j列个元素rj表示第i个因素aj对j个评语等级bj的隶属度。同样，对于某一评语等级bj，需要找出其在可靠度指标集中的隶属函数，以便确定该评语等级对各可靠度指标备择元的隶属度。于是又可确定一模糊关系矩阵C3C4C5C6C7-0.000.000.000.00R2=0.000.000.650.800.950.80C[C2矩阵0.000.000.000.000.000.500.500.650.800.950.800.650.650.500.000.000.500.650.800.95]0.650.800.950.800.650.950.800.650.500.000.500.000.000.000.000.000.000.000.000.00一C10b2b3b4b5R2中第i行第j列个元素rj表示第i个评语等级b对j个可靠度指标备择元的隶属度。6）模糊决策根据模糊变换原理，得一级模糊决策〒二卯R1=（©©,630（5）二级模糊决策F二曰R2=（f1，f2，z，f10）'1fl这里为综合考虑各因素对决策结果的影响，取模糊算子为（，+），即普通矩阵的乘法加法运算，比用“，”运算精细。于是得到一级模糊决策的结果为_0.000.010.840.210.00]E=D0R,=(0.5,0.2,0.2,0.1)0.000.660.500.080.0200.000.370.660.110.030.000.011.000.260.05=(0.000,0.212,0.752,0.169,0.015)二级模糊决策的结果为F=E职2=(0.000,0.212,0.752,0.169,0.015)QP.000.000.000.000.000.000.500.650.800.95]0.000.000.000.000.500.650.800.950.800.650.000.000.500.650.800.950.800.650.500.000.650.800.950.800.650.500.000.000.000.000.950.800.650.500.000.000.000.000.000.00一-(0.124,0.147,0.546,0.632,0.817,0.937,0.771,0.690,0.546,0.138)7)确定系统可靠性指标。根据模糊决策结果F,可用两种方法确定系统可靠性指标。.V①最大隶属度法(最大隶属度原则)取系统的可靠性指标为max£相对应的可靠度指标备择元，即Rs=C6二0.95加权平均法为了突出占优势等级的作用，以fi的幕作为权数，对Ci(i=1,2,HI,n)进行加权平均，所得的值作为系统的可靠度指标，即TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark20"\o"CurrentDocument"nn艮=f「C/'fik(6-67)i¥i甘一般取k=2，于是将上面有关数据代人得1010Rs八fi2c/'fi2=3.451/3.669=0.94i=1i=1这两种方法中，加权平均法用得较多。最大隶属度法仅仅考虑了max£—个指标的贡献，它没有充分利用决策结果的全部信息，若备择元较多，误差可能较大；另外如果fi十,f2」l(,fn)的分量中有两个或两个以上的分量相等时，则此种方法失效。而加权平均法从整体出发，综合考虑了所有指标的贡献，可得到令人满意的结果。(2)系统的可靠度分配机械系统的可靠度分配的过程，实际上是一个比较各个零件对可靠性水平要求高低程度的过程，一个零件可靠性水平要求的程度越高，则分配给它的可靠度就应越高。而零件对可靠性水平要求的高低，受许多因素的影响，如技术水平、重要程度、任务情况等等。而这些因素大多是一些非确定的模糊因素，因而需根据这些因素的情况，使用模糊决策的方法来确定各零件对可靠性水平的要求，进而用常规方法对可靠度进行分配，下面以图6-14所示的系统