数列等差数列及其性质等差数列求和教案练习答案

数列等差数列及其性质等差数列求和教案练习 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 学生教案 第一课时 ?2.1数列的概念与简单表示法 ?教学目标 1.理解数列及其有关概念 2.了解数列和函数之间的关系; 3.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 4.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力( ?教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ?教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ?教学过程 一.课题导入 1.观察下列数 ?，自然数:0，1，2，3，„, 1111?，1，，，，...... 2345 二.讲授新课 ? 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意: ? 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列; ? 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ? 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，„，第n 项，„. 例如，上述例子均是数列，其中?中，“0”是这个数列的第1项(或首项)，“9” 第 1 页 共 17 页 学生教案 是这个数列中的第10项. ?数列的一般形式:，或简记为，其中是数列的第n项 ,,aaa,a,a,？,a,？nn123n ? 数列的通项公式:如果数列,,的第n项与n之间的关系可以用一个公式，aann 1=2n+1,=等等来表示，那么这个式子就是数列的通项公式。 比如:aannn 注意: (1)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列:1，0，1，0，1，0，„它 n，11，(,1)1n，a,的通项公式可以是，也可以是. |cos,|a,nn22三(例题讲解 a,1,1,,,例1. 设数列a满足写出这个数列的前五项。 1,nan,，,1(1).n,a,n1, 1,1，,,a分析:题中已给出a的第1项即，递推公式: a,1nn1an,1 1121581,12,1a,，,a,1,a,a,，,a,，,解:据题意可知:， 1234535a3aa312 例2已知a， 写出前5项，并猜想( a,2aa,2nn，1n1 n232法一: a,2，2,2，观察可得 a,2 a,2，2,2a,2n132 an法二:由 ? 即 a,2aa,2a,2n，1nnn,1an,1 aaaan,1nn,1n,22，，，？？，,2 ? aaaan,1n,2n,31 n,1na,a,2,2 ? n1 四(课堂练习 1(猜想下列数的通项公式 (1) 1,3,5,7,9，11...... (2) 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6....... 第 2 页 共 17 页 学生教案 1111，，，12233445，，，，.................... (3) 解:略 五(课时小结 本节课学习了以下内容: 1(数列及数列的相关概念。 2(通过观察分析，猜想数列的通项公式。 第2课时 ?2.2等差数列 ?教学目标 1:了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 3:理解等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 ?教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。 ?教学难点 等差数列的性质 ?教学过程 一.课题导入 上一节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示数列的几种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 第 3 页 共 17 页 学生教案 ?0，5，10，15，20，25，„ ?2，4，6，8,10，„ ?18，15.5，13，10.5，8，5.5 观察:请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征, 共同特征:从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差) (注意:每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项)，我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二.讲授新课 1(等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。 说明: ?(公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求; ，?(对于数列{},若,=d (d是与n无关的常数或字母)，n?2，n?N aaannn,1 思考:数列?、?、?、的通项公式存在吗,如果存在，分别是什么, 2(等差数列的通项公式: 新疆王新敞奎屯,,等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列a的首项是n，公差是d，则据其定义可得: a1 即: a,a,da,a，d2121 a,a,d即: a,a，d,a，2d32321 即: a,a,da,a，d,a，3d43431 „„ aand,，,(1)由此归纳等差数列的通项公式可得: n1 这种求数列的方法称为:叠加法或者称为累加法 a?已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。 an1 由上述关系还可得: a,a，(m,1)dm1 第 4 页 共 17 页 学生教案 即: a,a,(m,1)d1m 则:= a,a,(m,1)d，(n,1)d,a，(n,m)da，(n,1)dnmm1 a,amn即等差数列的第二通项公式 : ? d= a，(n,m)da,mnm,n三(例题讲解 ?求等差数列{}的前几项依次是8，5，2„，求它的第20项 例1 an ? -401是不是等差数列-5，-9，-13„的项,如果是，是第几项, 解:?由 n=20，得 a,8，(20,1)，(,3),,49a,8,d,5,8,2,5,,3201 ?由 得数列通项公式为: a,,5,4(n,1)a,,5,d,,9,(,5),,4n1 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之,401,,5,4(n,1)得n=100，即-401是这个数列的第100项 四.课堂练习 (1)求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项. (2)求等差数列10，8，6，„„的第20项. (3)100是不是等差数列2，9，16，„„的项,如果是，是第几项,如果不是， 请说明理由。 分析:根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. a(1)解:根据题意可知:=3,d=7,3=4.?该数列的通项公式为:=3+(n,an1 aa1)×4,即=4n,1(n?1,n?N*)?=4×4,1=15, =4×10,1=39. an104 评述:关键是求出通项公式. (2)解:根据题意可知:=10,d=8,10=,2. a1 第 5 页 共 17 页 学生教案 ?该数列的通项公式为:=10+(,1)×(,2),即:=,2+12,?=nnaaann20,2×20+12=,28. 分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数. an (3)解:根据题意可得:=2,d=9,2=7. ?此数列通项公式为:=2+(n,aan1 1)×7=7n,5. 令7n,5=100,解得:n=15, ?100是这个数列的第15项. 五.课时小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:a,a=d ，nn,1 ，(n?2，n?N).其次，要会推导等差数列的通项公式:，并a,a，(n,1)dn1掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式:a，(n,m)d的理解与应a,mn 用. 第3课时 ?2.2等差数列的性质 ?教学目标 1:明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式; 2、能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解 决某些问题。 ?教学重点 等差中项的性质 ?教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 第 6 页 共 17 页 学生教案 ?教学过程 一.课题导入 1(等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于 ，,=d ，(n?2，n?N)，这个数列就叫做等差数列，这个同一个常数，即aann,1 新疆王新敞奎屯常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 2(等差数列的通项公式: 或者 a，(n,m)da,a,a，(n,1)dmnn1 3(计算公差d的方法 a,aa,an1nm? d=, ? d= ? d= aann,1n,1n,m 二.讲解新课 bb1.提出问题:如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那aa 么A应满足什么条件, b解:由定义得A-=-A ，即: 2Aab,，a b反之，若2Aab,，，则A-=-A a 2,,,AabaAb,，,由此可得:成等差数列。(等差中项的性质) 2，等差数列的性质: aaaapqmn在等差数列{a}中，若数列中的项，，，满足m+n=p+q，那么就有: n aaaa，,， mnpq 三(例题讲解 aaaa例 1. 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , 的值。 aan63914 分析:要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手。 第 7 页 共 17 页 学生教案 解:? {a }是等差数列 ? +=+ =9=9,=9,7=2 aaa,aaan633144 ? d=,=7,2=5 ? =+(9,4)d=7+5*5=32 aaaa3944 ? =2, =32 aa 39 例2.已知为等差数列，，则等于 ( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7 四(课堂练习 d1.在等差数列,,中，已知，，求首项与公差 aa,10aa,31n5112 {a}a,7,a,a，6a,____________n35262. 在等差数列中,,则 五(课时小结 节课学习了以下内容: 2,,,AabaAb,，,1(成等差数列 ，2(在等差数列中， m+n=p+q a，a,a，a (m, n, p, q ?) ,Nmnpq 第4课时 ?3.3 等差数列的前n项和 ?教学目标 1:掌握等差数列前n项和公式及其由来; 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 3:通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. ?教学重点 等差数列n项和公式的理解、推导及应用 第 8 页 共 17 页 学生教案 ?教学难点 灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的数列求和问题 ?教学过程 一.课题导入 “小故事”: 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+„100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说:“1+2+3+„+100=5050。 老师问:“你是如何算出答案的, 高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;„50+51=101， 所以“1+2+3+„+100=5050。 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的 事物中发现和寻找出某些规律性的东西。 (2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 二.讲授新课 ()na，a1n1(等差数列的前项和公式1: nS,n2 证明: ? S,a，a，a，？，a，an123n,1n ? S,a，a，a，？，a，annn,1n,221 ?+?: 2S,(a，a)，(a，a)，(a，a)，？，(a，a)？n1n2n,13n,2nn ? a，a,a，a,a，a,？？1n2n,13n,2 ()na，a1n ?2S,n(a，a) 由此得: S,n1nn2 新疆王新敞奎屯 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 第 9 页 共 17 页 学生教案 nnd(1),2( 等差数列的前项和公式2: nSna,，n12 公式由来: S,a，a，a，？，a，an123n,1n =()2(1)aadadand，，，，，，，,，，,,1111 ,，，，，，,nadn123(1),,1 nnd(1),,，na12 二(例题讲解 例1 若实数a，b，5a，7，3b，„，c组成等差数列，且a，b，5a，7，3b，„，c,2500，则a，b，c的值分别为 [ ] A(1，3，5 B(1，3，7C(1，3，99 D(1，3，9 253baaba,，,, 解:由题设 又? 14,5a，3b， ? a,1，b,3 ?首项为1，公差为2 nn(),1又，S=nadn12 nn(),1?，??, 2500=n2 n502 ?a=c=1，(50,1)?2=99 50 ? a,1，b,3，c,99 例2 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求数列的第6项( 解 依题意，得 第 10 页 共 17 页 学生教案 10101(),,10ad=140，,12 , ,aaaaa=5a20d=125，，，，，135791, 解得a=113，d=,22( 1 ? 其通项公式为 a=113，(n,1)?(,22)=,22n，135 n ?=,22×6，135,3 a6 本题上边给出的解法是先求出基本元素a、d，再求其他的(这种先说明 1 求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法(在本课中如果注意到a=a，5d，也可以不必求出a而 61n ,2a9d=28，1 直接去求，所列方程组化简后可得a相减即得，，a5d=3,61a4d=25，1, 即a,3(可见，在做题的时候，要注意运算的合理性(当然要做到这一点，6 必须以对学知识的熟练掌握为前提( 例3.在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9?13，求插入的数的个数( 解 依题意2,1，(2n，2,1)d ? ()nn，1前半部分的和,，，?S(n1)d n+12 ()nn，1后半部分的和′,，?，?,?S(n1)2(d)n+12 nd()()11n，，S9n，12由已知，有,,ndS′13n，1()()n，,122 nd，192 化简，得,nd132,2 5解之，得? nd= 11 第 11 页 共 17 页 学生教案 由?，有(2n，1)d=1 ? 1 由?，?，解得，d=n=511 ? 共插入10个数( 三.课堂练习 1(一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个 等差数列的通项公式。 2(差数列{}中, ,,15, 公差d,3, 求数列{}的前n项和的最小值。 aaSannn4 四.课时小结 本节重点内容: ()na，a1n1.等差数列的前项和公式1: nS,n2 (1)nn,d2.等差数列的前项和公式2: nS,na，n12 3，Sa与之间的关系: nn 由SaSS的定义可知，当n=1时，=;当n?2时，=-， Sannnn,111 S(n,1),1即 a=. ,nSS(n2),,nn,1, 课后作业 等差数列 1、(2009安徽卷)已知为等差数列，，则等于 ( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7 第 12 页 共 17 页 学生教案 a,,Sa,11a,3nn262、 (2009湖南卷)设是等差数列的前n项和，已知，，则S7等于【 】 A(13 B(35 C(49 D( 63 Sn{}aSa13n3、 (2009福建卷)等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于( ) 5A(1 B C.- 2 D 3 3 4、 实数a，b，5a，7，3b，„，c组成等差数列，且a，b，5a，7，3b，„，c,2500，则a，b，c的值分别为 [ ] 3，5 B(1，3，7 C(1，3，99 D(1，3，9 A(1， a,,aaaSaaa，，n135n2465.(2009安徽卷理)已知为等差数列，++=105，=99，以 a,,Snnnn表示的前项和，则使得达到最大值的是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 a,,SS,72nnn96、 (2009全国卷?) 设等差数列的前项和为，若, aaa，，249则= {a}a,7,a,a，6a,____________n35267、 (2009山东卷)在等差数列中,,则. a,,Sa,655,SS,,nnn4538、(2009辽宁卷)等差数列的前项和为，且则 9、 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项( 10、 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90， ，则n之值是多少, 末项与首项之差为27 11、 在等差数列{an}中，已知a6，a9，a12，a15,34，求前20项之和( 第 13 页 共 17 页 学生教案 12、 已知等差数列{an}的公差是正数，且a3?a7=,12，a4，a6=,4，求它的前20项的和S20的值( 13、 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an:(1)Sn,5n2，3n; n3(2)Sn,,2; 参考答案 a,33a,35aaa，，,1053105a,1、 【解析】?即?同理可得431353 daa,,,,2aad,，,，,(204)1?公差?.选B。 43204 7()7()aaaa，，7(311)，17262、 解: 故选C. S,,,,49.7222 aad,，,3a,1,,211或由, 所以a,，，,16213.,,,7aad,，,511d,261,, 7()aa，7(113)，17故选C. S,,,49.722 第 14 页 共 17 页 学生教案 33、 [解析]?且.故选Caada,，？2 =4 d=2Saa,,，6()3133112 解 C2b=a5ab=3a由题设，,4、 又? 14,5a，3b， ? a,1，b,3 ?首项为1，公差为2 nn(),1又，S=nadn12 nn(),1?，??, 2500=n2 n502 ?a=c=1，(50,1)?2=99 50 ? a,1，b,3，c,99 5、 [解析]:由++=105得即，由=99得aaaa,353105,a,aaa，，399a,135332464 a,0,n即 ，?d,,2，，由得n,20，a,33aann,，,，,,,(4)(2)412,4n4a,0，1n,选B a6、 解: 是等差数列,由,得 a,8S,72？,Sa9,,,n5995 ？.aaaaaaaaaa，，,，，,，，,,()()3242492945645 ，2,7ad,1d7、 【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得{a},na，4d,a，d，611,a,3,1,所以. aad,，,513,61d,2, 18、 【解析】?S,na，n(n,1)d ?S,5a，10d,S,3a，3d n151312 ?6S,5S,30a，60d,(15a，15d),15a，45d,15(a，3d),15a5311114 1 【答案】3 9、解 依题意，得 10101(),,10ad=140，,12 , ,aaaaa=5a20d=125，，，，，135791, 解得a=113，d=,22( 1 ? 其通项公式为 a=113，(n,1)?(,22)=,22n，135 n ?a=,22×6，135,3 6 第 15 页 共 17 页 学生教案 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a、d，再求其他的(这1种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一 种方法(在本课中如果注意到a=a，5d，也可以不必求出a而 61n ,2a9d=28，1直接去求，所列方程组化简后可得a相减即得，，a5d=3 ,61a4d=25，1, 即a,3(可见，在做题的时候，要注意运算的合理性(当然要做6 到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提( 10、 解 ?S,S=nd 偶项奇项 ?nd=90,75=15 a,27，即(2n,1)d=27 又由a,2n1 ,nd15, ?n=5, (2n1)d27,,, 11、解法一 由a，a，a，a,34 691215 得4a，38d,34 1 ×2019又,，S20ad 2012 ,20a，190d 1 ,5(4a，38d)=5×34=170 1 (a+a)20×120解法二 S==10(aa) ，201202 由等差数列的性质可得: a，a=a，a,a，a ?a，a=17 615912120120 S,170 20 12、 解法一 设等差数列{a}的公差为d，则d,0，由已知可得 n ,(a2d)(abd)12 ，，,,?11 ,a3da5d=4 ，，，,?11, 2由?，有a,,2,4d，代入?，有d=4 1 第 16 页 共 17 页 学生教案 再由d,0，得d,2 ?a=,10 1 最后由等差数列的前n项和公式，可求得S,180 20 解法二 由等差数列的性质可得: a，a 即a，a,,4 a，a,463737 又a?a=,12，由韦达定理可知: 37 2a，a是方程x，4x,12,0的二根 37 解方程可得x=,6，x,2 12 ? d,0 ?{a}是递增数列 n ?a,,6，a=2 37 a,a73，,,，,d==2a10S18012073, n,113、 【错解】由公式a=s,s得:(1)a=10n,2; (2)a,,23 nnn,1nn n,2【分析】应该先求出a，再利用公式a=s,s求解. ，，1nnn,1 【正解】(1)a=10n,2; (2) n 1 (1)n,,a, ,nn,123 (2),,n, 第 17 页 共 17 页