高中三角函数知识点及其经典例题

高中三角函数知识点及其经典例题 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA，tanBtan(A+B) = 1-tanAtanB tanA,tanBtan(A-B) = 1，tanAtanB cotAcotB-1cot(A+B) = cotB，cotA cotAcotB，1cot(A-B) = cotB,cotA 倍角公式 2tanAtan2A = 21,tanA Sin2A=2SinA•CosA 2222Cos2A = CosA-SinA=2CosA-1=1-2sinA 三倍角公式 3sin3A = 3sinA-4(sinA) 3cos3A = 4(cosA)-3cosA ,,tan3a = tana?tan(+a)?tan(-a) 33 半角公式 1,cosAAsin()= 22 1，cosAAcos()= 22 1,cosAAtan()= 1，cosA2 1，cosAAcot()= 1,cosA2 1,cosAsinAAtan()== 2sinA1，cosA 和差化积 a，ba,bsina+sinb=2sincos 22 a，ba,bsina-sinb=2cossin 22 a，ba,bcosa+cosb = 2coscos 22 a，ba,bcosa-cosb = -2sinsin 22 sin(a，b)tana+tanb= cosacosb 积化和差 1sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa ,sin(-a) = cosa 2 ,cos(-a) = sina 2 ,sin(+a) = cosa 2 ,cos(+a) = -sina 2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa sinatgA=tanA = cosa 万能公式 a2tan2sina= a21，(tan)2 a21,(tan)2cosa= a21，(tan)2 a2tan2tana= a21,(tan)2 其它公式 b22(a，b)a•sina+b•cosa=?sin(a+c) [其中tanc=] a a22(a，b)a•sin(a)-b•cos(a) = ?cos(a-c) [其中tan(c)=] b aa21+sin(a) =(sin+cos) 22 aa21-sin(a) = (sin-cos) 22 其他非重点三角函数 1csc(a) = sina 1sec(a) = cosa 双曲函数 a-ae-esinh(a)= 2 a-ae，ecosh(a)= 2 sinh(a)tg h(a)= cosh(a) 公式一: 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ，α)= sinα cos(2kπ，α)= cosα tan(2kπ，α)= tanα cot(2kπ，α)= cotα 公式二: 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π，α)= -sinα cos(π，α)= -cosα tan(π，α)= tanα cot(π，α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: = sinα sin(π-α) cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: ,,3?α及?α与α的三角函数值之间的关系: 22 ,sin(+α)= cosα 2 ,cos(+α)= -sinα 2 ,tan(+α)= -cotα 2 ,cot(+α)= -tanα 2 ,sin(-α)= cosα 2 ,cos(-α)= sinα 2 ,tan(-α)= cotα 2 ,cot(-α)= tanα 2 ,3sin(+α)= -cosα 2 ,3cos(+α)= sinα 2 ,3tan(+α)= -cotα 2 ,3cot(+α)= -tanα 2 ,3sin(-α)= -cosα 2 ,3cos(-α)= -sinα 2 ,3tan(-α)= cotα 2 ,3cot(-α)= tanα 2 (以上k?Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 22A，B，2ABcos(,,,)A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =?,,,t，arcsin[(Asin，Bsin)sin 22A，B，2ABcos(,,,) 三角函数公式 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 (全部) 2009-07-08 16:13 公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b |a-b|?|a|-|b| -|a|?a?|a| 一元二次方程的解 -b+?(b2-4ac)/2a -b-b+?(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2) cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2) tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h -----------------------三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推，用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2 这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了 不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下 正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负 正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负 . 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)?sin(B/2)?sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA?sinB?sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β) sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 三角函数题解 ,1.(2003上海春，15)把曲线ycosx+2y,1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向 2下平移1个单位，得到的曲线方程是( ) A.(1,y)sinx+2y,3=0 B.(y,1)sinx+2y,3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.,(y+1)sinx+2y+1=0 1. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :C 1,解析:将原方程整理为:y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单2，cosx2 1位和1个单位，因此可得y=,1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0. ,2，cos(x,) 2 11x,17.(1997全国，3)函数y=tan(π)在一个周期内的图象是( ) 23 17.答案:A 11,,221x,解析:y,tan(π),tan(x,)，显然函数周期为T,2π，且x,23332 时，y=0，故选A. sinx4.(2002京皖春文，9)函数y=2的单调增区间是( ) ,,A.,2kπ,，2kπ，,(k?Z) 22 ,3,B.,2kπ，，2kπ，,(k?Z) 22 C.,2kπ,π，2kπ,(k?Z) D.,2kπ，2kπ，π,(k?Z) 4.答案:A xsinx解析:函数y=2为增函数，因此求函数y=2的单调增区间即求函数y=sinx的单调增 区间. 6.(2002北京，11)已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，f(x)的图象如图4—1 所示，那么不等式f(x)cosx,0的解集是( ) A.(0，1)?(2，3) ,,B.(1，)?(，3) 22 ,C.(0，1)?(，3) 图4—1 2 D.(0，1)?(1，3) 6.答案:C f(x),0f(x),0,, ,,,cosx,0或cosx,0解析:解不等式f(x)cosx,0 ,, ,,0,x,30,x,3,, 1,x,3,0,x,1,,,或? ?0,x,1或,x,3 ,,,0,x,12,,x,,,,2 ,7.(2002北京理，3)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为 2减函数的是( ) 2A.y=cosx B.y,2|sinx| 1cosx C.y,()D.y=,cotx 3 7.答案:B 1，cos2x,2解析:A项:y=cosx=，x=π，但在区间(，π) 22上为增函数. 图4—8 ,B项:作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间(，π)上 2为减函数. ,11xcosxC项:函数y=cosx在(，π)区间上为减函数,数y=()为减函数.因此y=()332 ,在(，π)区间上为增函数. 2 ,D项:函数y,,cotx在区间(，π)上为增函数. 2 8.(2002上海，15)函数y=x+sin|x|，x?,,π，π,的大致图象是( ) 8.答案:C 解析:由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x?,,π，π,为非奇非偶函数. 选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数. 13.(1999全国，4)函数f(x)=Msin(ωx，)(ω,0)，在区间,a，b,上是增函, 数，且f(a)=,M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx，)在,a，b,上( ) , A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值, D.可以取得最小值,m 13.答案:C ,,解法一:由已知得M,0，,，2kπ?ωx，?，2kπ(k?Z)，故有g(x)在,22 ,a，b,上不是增函数，也不是减函数，且当ωx，,2kπ时g(x)可取到最大值M，答, 案为C. ,,解法二:由题意知，可令ω,1，,0，区间,a，b,为,,，,，M,1，则 ,22g(x)为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C. 评述:本题主要考查函数y=Asin(ωx，,)的性质，兼考 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用(正用逆用);解法二取特殊值可降低难度，简化命题. ,,14.(1999全国，11)若sinα,tanα,cotα(,,α,，则α?( ) )22 ,,,A.(,，,) B.(,，0) 244 ,,,C.(0，) D.(，) 442 14.答案:B ,,,解法一:取α,?，?代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α,,适合，366 ,,又只有,?(,，0)，故答案为B. 64 ,,解法二:先由sinα,tanα得:α?(,，0)，再由tanα,cotα得:α?(,，0) 24 ,,20.(1995全国，3)函数y,4sin(3x，)，3cos(3x，)的最小正周期是( ) 44 ,,2A.6π B.2π C. D. 33 20.答案:C 43,,,,解析:y,4sin(3x，)，3cos(3x，),5,sin(3x，)，cos(3x，),554444 3,,5sin(3x，，)(其中tan,) ,,44 ,2,,所以函数y,sin(3x，)，3cos(3x，)的最小正周期是T,. 344 故应选C. b22评述:本题考查了asinα，bcosα,sin(α，)，其中sin,，a，b,,22a，b acos,，及正弦函数的周期性. ,22a，b 54421.(1995全国，9)已知θ是第三象限角，若sinθ，cosθ,，那么sin2θ等于( ) 9 222222A. B., C. D., 3333 21.答案:A 522222解法一:将原式配方得(sinθ，cosθ),2sinθcosθ, 9 15822于是1,sin2,，sin2,，由已知，在第三象限， θθθ299 ,3故2kπ，π,θ,2kπ， 2 从而4kπ，2π,2θ,4kπ，3π 22故2θ在第一、二象限，所以sin2θ,，故应选A. 3 ,3解法二:由2kπ，π,θ,2kπ，，有4kπ，2π,4kπ，3π(k?Z)，知sin2θ 2 422224,0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ,，得2sinθcosθ,，并与sinθ，93 54222cosθ,相加得(sinθ，cosθ),1成立，故选A. 9 评述:本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别. ,22.(1994全国文，14)如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=,对称，那么a8等于( ) A. B., C.1 D.,1 22 22.答案:D ,,解析:函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=,对称，表明:当x=,时，函数88 ,,2222取得最大值，或取得最小值,,所以有,sin(,)+a?cos(,),=a+1，a，1a，144解得a=,1. 27.(1996全国，18)tan20?+tan40?+tan20??tan40?的值是_____. 3 27.答案: 3 tan20:，tan40:解析:tan60?=，?tan20?+tan40?=,tan20?tan40?，331,tan20:tan40: ?tan20?+tan40?+tan20?tan40?=. 33 xx29.(1995上海，17)函数y,sin，cos在(,2，2)内的递增区间是 . ππ22 3,,,,29.答案:,, 22 ,,x,,xxx，解析:y,sin，cos,sin()，当2kπ,?，?2kπ，(k224422222 ,,33,,?Z)时，函数递增，此时4kπ,?x?4kπ，(k?Z)，只有k,0时，,,，, 2222 (,2π，2π). 130.(1994全国，18)已知sin，cos,，?(0，)，则cot的值是 . θθθπθ5 330.答案:, 4 解法一:设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ,cosθ的值. 1将已知等式两边平方得1，2sinθcosθ, 25 1变形得1,2sinθcosθ,2,， 25 492即(sinθ,cosθ), 25 1又sinθ，cosθ,，θ?(0，π) 5 图4—14 ,,3则,θ,，如图4—14 24 7所以sinθ,cosθ,，于是 5 343sinθ,，cosθ,,，cotθ,,. 554 12解法二:将已知等式平方变形得sinθ?cosθ,,，又θ?(0，π)，有cosθ,025 13122,sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x,x,,0的两个根，故有cosθ,,， 525543sinθ,，得cotθ,,. 54 32.(2000全国文，17)已知函数y,sinx，cosx，x?R. 3 (1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合; (2)该函数的图象可由y,sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? ,,,32.解:(1)y,sinx，cosx,2(sinxcos，cosxsin),2sin(x，)，x?R 3666 ,,y取得最大值必须且只需x，,，2kπ，k?Z 62 ,即x,，2kπ，k?Z. 3 ,所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为,x|x,，2kπ，k?Z, 3 (2)变换的步骤是: ,,?把函数y,sinx的图象向左平移，得到函数y,sin(x，)的图象; 66?令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 ,y,2sin(x，)的图象; 6 经过这样的变换就得到函数y,sinx，cosx的图象. 3 2233.(1995全国理，22)求sin20?，cos50?，sin20?cos50?的值. 11133.解:原式,(1,cos40?)，(1，cos100?)，(sin70?,sin30?) 222 111,1，(cos100?,cos40?)，sin70?, 422 31,,sin70?sin30?，sin70? 42 3311,,sin70?，sin70?,. 4422 评述:本题考查三角恒等式和运算能力. ,3134.(1994上海，21)已知sinα,，α?(，π)，tan(π,β),， 522 求tan(α,2β)的值. ,334.解:由题设sinα,，α?(，π)， 52 34可知cosα,,，tanα,, 54 ,2tan411,,又因tan(π,β),，tanβ,,，所以tan2β, 21,tan,322 34,，,,tan,tan2743tan(α,2β), ,, 1，tan,tan2,1，124 1,logcos()x，37. 求函数f (x)=的单调递增区间 1342 1,11,logcos()x，t,x，logcost解:?f (x)= 令,?y=,t是x的增函数,又?0<<1,?113423422 ,logcost当y=为单调递增时,cost为单调递减 且cost>0,?2k,?t<2k,+ (k,Z),?2k,?122 ,,,,,3311x，<2k,+ (k,Z) ,6k,-?x<6k,+ (k,Z),?f (x)=的单调递减区logcos(x，)134244342 ,,33间是[6k,-,6k,+) (k,Z) 44