现代控制理论基础第一章习题答案

现代控制理论基础第一章习题答案 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 第一章 控制系统的状态空间描述 3-1-1 求图示网络的状态空间 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，选取和为状态变量。 uicL(1) RR12 CiCuu122ioiu1uc1c2 题3-1-1图1 (2) RL iCLuuiouc 题3-1-1图2 【解】: (1) 设状态变量:、 x,ux,u1c12c2 而 ,,、 i,Cui,Cu11c122c2 根据基尔霍夫定律得: ,u,uc1c2u,[Cu，()]R，u i1c11c1R2 , u,CuR，uc12c22c2 整理得 R，R1，，12,1，，,,，xx，，，，RRCRC1112121,,,,,，uRC,,,,i1111,,，xx,,22，，，，,0，， ,,RCRC2222，， x，，1,,yu01,,0,,x2，， (2) x,ix,u设状态变量:、 1L2c 而 1 , i,CuLc根据基尔霍夫定律得: , u,R,i，Li，uiLLc整理得 R1，，1,,，，，,,xx，，，，11LL,,,，u,,i,,,,L1，xx,,22，，，，,,00，， C，， x，，1yu,,01,,0,,x2，， 3-1-2 如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压输出为电动机角速ua 度ω，电动机轴上阻尼系数为f，转动惯量J，试列写状态方程和输出方程。 i,常数fRLaa fiuaaDJ ML, 题3-1-2图 【解】: 设状态变量为: xi，，，，1a, ,,,,x,2，，，， ,其中为流过电感上的电流，电动机轴上的角速度。 ia 电动机电枢回路的电压方程为: , u,Li，R,i，eaaaaabe为电动机反电势。 b 电动机力矩平衡方程为 , M,J,，f,，MDL由电磁力矩和反电势的关系，有 e,c,，M,ci beDMa cc式中为电动机反电势系数，为电动机的转矩系数。 eM 为电动机轴上粘性摩擦系数，电动机轴上等效转动惯量。 fJ 整理得 2 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 Rc，，1，，ae0,,,,,,，xxu，，，，，，a11LLLaaa,，,,,,,,,,,,，1cfxxM,,ML,,22，，，，，，0,, ,,,,J，，JJ，， x，，1y,,,01,,,,x2，， (注:解是非唯一的) 3-1-3 试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。 (1) Y(s)U(s)K1K21K3Ts，1Ts，1Ts，1241s 1 s K5 Ts，15 题3-1-3图1 (2) U(s)Y(s)111c ss，a U(s)Y(s)d22f s，bs，e g 题3-1-3图2 【解】: (1) 如题3-1-3图3设状态变量 3 Y(s)，xx44，xx1，，xxxx66KK2211U(s)21K3TT4T21111 TTT214，xx33 ，xx55K5T5 1 T5 题3-1-3图3 11， x,,x，x112TT44 ， x,K(x,x)2343 ， x,x32 KK122， x,,x,x，x4456TTT222 K15， x,x,x525TT55 K11，x,,x，(u,x) 661TT11 y,x1 写成矩阵的形式得: 11，，,0000,,TT440，，,,00,KK00,,33,,0,,,,010000,,0,,KK122,,000,,,,，x,x，u0TTT,, ,,222,,,,K015000,0,,,,K1TT,,55,,T,,K1，，1,,1,0000,,,TT11，， ,,y,100000x (2) 如图题3-1-3图4设状态变量 4 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 ，xxxu221y11c a ，xx，uxx33，x2443fdy2 eb g 题3-1-3图4 ， x,x12 ， x,,ax，c(u,x)2214 ， x,,ex，fx334 ， x,,bx，dx,dgx，du44232 y,x11 y,x23 y,x1 写成矩阵的形式得: 010000，，，，,,,,0,a0,cc0,,,,，x,x，u,,,,00,ef00 ,,,,0d,dg,b0d，，，， 1000，，y,x,,0010，， (注:此题解并非唯一的) 3-1-4 已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。 ，，，，，，(1) y，2y，4y，6y,2u ，，，，，，(2) y，7y，3y,u，2u ，，，，，，，，，(3) y，5y，4y，7y,u，3u，2u (4)，，，y，3y，2y,,3u，u(4) 【解】: 5 在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间 表达式。 此题多解，一般写成能控 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 (1)传递函数为: 2G(s), 32s，2s，4s，6 状态空间表达式为: 0100，，，，,,,,，x,001x，0u,,,, ,,,,,6,4,21，，，， y,,,200x (2)传递函数为: s，2s，2G(s),, 3232s，7s，3s，7s，0s，3 状态空间表达式为: 0100，，，，,,,,，x,001x，0u,,,, ,,,,,30,71，，，， y,,,210x (3)传递函数为: 2s，3s，2G(s), 23ss，5，4s，7 状态空间表达式为: 0100，，，，,,,,，x,001x，0u,,,, ,,,,,7,4,51，，，， y,,,231x (4)传递函数为: ,3s，1,3s，1G(s),, 22443sss，3，2s，0s，3，0s，2 状态空间表达式为: 01000，，，，,,,,00100,,,,，x,x，u,,,, 00010,,,,,20,301，，，， ,,y,1,300x 6 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 3-1-5 已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。 22ss，s，1，3s，1(1)G(s),(2) G(s),223sss，6，11s，，6，5s，6 2s4，2s，3G(s),(3)(4)G(s), 232ss，3，3s，1s(s，1)(s，3) 【解】: 此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 (1) 0100，，，，,,,,，x,001x，0u,,,, ,,,,,6,11,61，，，， y,,,111x 结构图如图题3-1-5图1所示 x3，，，xxxxxy32211u，x3 6 11 6 题3-1-5图1 22ss，3s，1，5s，6,2s,52s，5G(s),,,1,(2) 222sss，5s，6，5s，6，5s，6 010，，，，，x,x，u,,,, ,6,51，，，， y,[,5,2]，u 结构图如图题3-1-5图2(a)所示 7 2 y，，xxxx2211u，x35 5 6 题3-1-5图2(a) 或有 2s，3s，111G(s),,1,, 2s，2s，3s，5s，6 ,201，，，，，x,x，u,,,, 0,31，，，， y,,,,1,1x，u结构图如图题3-1-5图2(b)所示 u，xx11 2 y ，xx22 3 题3-1-5图2(b) (3) 4G(s), 2s(s，1)(s，3) 41,,2,133 G(s),，，，2s(s，3)(s，1)(s，1) 8 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 00001，，，，,,,,0,3001,,,,，x,x，u,,,,00,110 ,,,,000,11，，，， 41，，y,,,2,1x,,33，，结构图如图题3-1-5图3所示 u，xx114 3 ,，xx221 3 3 y, ,，x3x，xx3442 题3-1-5图3 (4) 2s，2s，3G(s), 23ss，3，3s，1 0100，，，，,,,,，x,001x，0u,,,, ,,,,,1,3,31，，，， ,,y,321x 结构图如图题3-1-5图4所示 9 2x3，，，xxxxxu32，211x3y3 3 3 题3-1-5图4 3-1-6 将下列状态方程化成对角标准型。 010，，，，，(1) x,x，u,,,,,5,61，，，， 01023，，，，,,,,，(2) x,302x，15u,,,,,,,,,12,7,671，，，， 0101，，，，,,,,，(3) x,001x，1u,,,,,,,,,6,11,60，，，， 【解】: (1) 特征方程为: 2D(,),,，6,，5,(,，1)(,，5),0。 特征值为: ,,,1,,,,5 12 P系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为A 范德蒙矩阵。 变换阵: 1111,5,1，，，，，，,1P,P0.25,,,, ,,,,,,,,1511,,12，，，，，， 线性变换后的状态方程为: 100.25,，，，，,1,1，()()x,PAPx，Pbu,x，u ,,,,050.25,,，，，， (2) 特征方程为: 10 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 ,,10 32 ,I,A,,3,,2,,，6,，11,，6,(,，1)(,，2)(,，3),0 127，6, 特征值为: 。 ,,,1,,,,2,,,,3123 PPP，，111213,,设变换阵:P= PPP212223,,,,PPP313233，， 由得 (,I,A)P,0ii ,1,10PP1，，，，，，，，1111,,,,,,,,当时，取 ,,,1,3,1,2P,0P,P,,1211121,,,,,,,,,,,,,,,,P,11275P3131，，，，，，，， P2,2,10P，，，，，，，，1212,,,,,,,,当时，取 P,P,,4,,,2,3,2,2P,0222222,,,,,,,,,,,,,,,,P11274P3232，，，，，，，， P1,3,10P，，，，，，，，1313,,,,,,,,当时，取P,P,,3 ,,,3,3,3,2P,0323323,,,,,,,,,,,,,,,,P31273P3333，，，，，，，， 变换阵: 1214.52.51，，，，,,,,,1， PP,,1,4,3,,3,2,1,,,,,,,,,1132.51.51，，，，线性变换后的状态方程为: ,10018.527，，，，,,,,，x,0,20x，,15,20u ,,,,,,,,00,313.516，，，， (3) 特征方程为: 32D(,),,，6,，11,，6,(,，1)(,，2)(,，3),0。 特征值为: ,,,1,,,,2,,,,3。 123 11 P系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为: A 111111，，，，,,,,,,, ,,,1,2,3P123,,,,222,,,,,,,149123，，，， 32.50.5，，,,,1 ,,3,4,1P,,,,11.50.5，， 线性变换后的状态空间表达式为: ,1005.5，，，，,,,,， x,0,20x，,7u,,,,,,,,00,32.5，，，， 3-1-7 将下列状态方程化成约旦标准型。 ,210，，，，，(1) x,x，u,,,,1,21，，，， 41,231，，，，,,,,，(2) x,102x，27u,,,,,,,,1,1353，，，， 0100，，，，,,,,，(3) x,001x，0u,,,,,,,,2,541，，，， 【解】: (1) 特征方程为: ,，2,12,I,A,,,，4,，3,(,，1)(,，3),0 ,1，2, 特征值为: ,,,1,,,,3。 12 PP，，1112P,设变换阵: ,,PP2122，， (,I,A)P,0由得: ii 12 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 P1,11，，，，，，11,0当时，取 P,,,,1,,,,11,,P,11121，，，，，， P,1,11，，，，，，12,0当时，取 P,,,,3,,,,22,,P,1,1,122，，，，，， 0.50.511，，，，,1 ， ,P,P,,,,0.50.51,1,，，，， 线性变换后的状态空间表达式为: 100.5,，，，，,1,1，()() x,PAPx，Pbu,x，u,,,,030.5,,，，，，(2) 特征方程为: ,,4,12 2 ,I,A,,1,,2,(,,1)(,,3),0 ,11,3, 特征值为:。 ,,,,3,,,1123 设变换阵: PPP，，111213,, P,PPP212223,,,,PPP313233，， 1,1,12P，，，，，，11,,,,,,,,3当时，由得:，取 (,I,A)P,0,13,2P,0P,1211111,,,,,,,,,,,,1,110P31，，，，，， P,1,12,11，，，，，，，，12,,,,,,,,,13,2P,,1当,,3时，由(,I,A)P,,P得:，取P ,02222122,,,,,,,,,,,,,,,,,110P,1032，，，，，，，， ,3,12P0，，，，，，13,,,,,,当,,1时，由(,I,A)P,0得:,11,2P,0，取P ,2333323,,,,,,,,,,,,1,11,2P33，，，，，，变换阵: 13 0,12110，，，，,,,,,1， P,11,2P,102,,,,,,,,10101,1，，，，线性变换后的状态空间表达式为: 3108,1，，，，,,,,， x,030x，,52u,,,,,,,,001,34，，，， (3) 特征方程为: 322D(,),,,4,，5,,2,(,,1)(,,2),0。 特征值为: 。 ,,,,1,,,2123 P为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵为: 系统矩阵A ，，dP1,,PPPPP？？P,, ,,12313,d1，， 110011，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,1，,1,1， PPP,,211233,,,,,,,,,,,,22,,,,,,,,,,,,,12,2,4311，，，，，，，，，，，，变换阵: 10102,1，，，，,,,,,1， PP,112,,23,1,,,,,,,,1241,21，，，，线性变换后的状态空间表达式为: 110,1，，，，,,,,，x,010x，,1u ,,,,,,,,0021，，，， ,210,1,1，，，，,,,,，x,0,30x，14u3-1-8 已知状态空间表达式， ,,,,,,,,01,42,3，，，， 14 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 100，，,,,1,1~(1)试用进行线性变换，变换矩阵求变换后的状态空间表达式。 ,020Px,Px,,,,001，，(2)试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。 【解】: (1) ,1~~x,Px,x,Px ,20.50，，~,,,1 ,,0,30APAP,,,,00.5,4，， ,1,1，，~,,,1 ,,28BPB,,,,2,3，， ,20.50,1,1，，，，,,,,~~， x,0,30x，28u,,,,,,,,00.5,42,3，，，，(2)证明: ~~,1,1变换后的系统矩阵为，输入矩阵为 A,PAPB,PB 特征值的不变性: ,1,1,1,1 sI,PAP,sPP,PAP,PsI,AP,sI,A 传递函数矩阵的不变性: ,1,1,1,1,1,1,1G(s),CP(sI,PAP)PB,CP(sPP,PAP)PB ,1,1,1,1,1,1,1,CP[P(sI,A)P]PB,CPP(sI,A)PPB,C(sI,A)B 验证: 变换前的特征方程为: D(,),(,，2)(,，3)(,，4),0 1 变换后的特征方程为: D(,),(,，2)(,，3)(,，4),0 2 D(,),D(,) 12 所以变换前后系统的特征值是不变的。 3-1-9 已知两个子系统的传递函数矩阵分别为 15 1111，，，，,,,,sss，1s，2，3，1，Gs，试求两子系统串联后和并联后的传递函数G(s),(),,,,,1211,,,,00ss，1，，，， 矩阵。 【解】: (1) 串联 在前，在后时 G(s)G(s)12 2，，12s，6s，61111，，，，,,,,,,(s，1)(s，3)s(s，1)(s，2)(s，3)s，3s，1s，1s，2,, G(s),G(s)G(s),,,,,,211111,,,,,,00,,2s，1s，，，，ss(，1)(，2)s(，1)，， 在前，在后时 G(s)G(s)21 2s，51，，1111，，，，,,2,,,,(s，1)(s，2)(s，3)(s，1)s，1s，2s，3s，1,,G(s),G(s)G(s),, ,,,,12111,,,,,,000,,，1ss，，，，s(s，1)，，(2) 并联 2s，42s，3，，1111，，，，,,,,,,(s，1)(s，3)(s，1)(s，2)s，1s，2s，3s，1G(s),G(s)，G(s),，,,, ,,,,121111,,,,,,00,,ss，1(s，1)s，，，，，， 3-1-10 已知离散系统的差分方程为 y(k，3)，3y(k，2)，5y(k，1)，y(k),u(k，1)，2u(k)，求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。 【解】: 根据差分方程，在零初始条件下，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为 z，2G(z), 32z，3z，5z，1 0100，，，，,,,,x(k，1),001x(k)，0u(k),,,, ,,,,,1,5,31，，，， y(k),,,210x(k) 其结构图如图题3-1-10图所示: 16 第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述 x(k)ux(k)，2x(k)x313,1,1,1yzzz2 3 5 题3-1-10图 x(k，1)x(k)010，，，，，，，，11,，u(k)3-1-11 已知离散系统的状态空间表达式为，,,,,,,,,x(k，1)x(k)13122，，，，，，，， x(k)，，1,,y(k),11，求系统的脉冲传递函数。 ,,x(k)2，， 【解】: ,1W(z),C(zI,G)H ,1z,10，，，，,,,11 ,,,,,1z,31，，，， z,310，，，，1,,,11 ,,,,2z11zz,3,1，，，， z，1, 2z,3z,1 也可以直接写出。 3-1-12 已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。 22z，z，2G(z),(1) 32z，6z，11z，6 1G(z),(2) 32z，4z，5z，2 【解】: 此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 (1) 17 0100，，，，,,,,x(k，1),001x(k)，0u(k),,,, ,,,,,6,11,61，，，， y(k),,,212x(k) (2) 0100，，，，,,,,x(k，1),001x(k)，0u(k),,,, ,,,,,2,5,41，，，， y(k),,,100x(k) 18