第一章 1.1.2

第PAGE页1.　量　词[学习目标]　1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确的对含有一个量词的命题进行否认.3.知道全称命题的否认是存在性命题，存在性命题的否认是全称命题．[知识链接]以下语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)至少有一个x∈Z，使2x＋1是整数．答：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的根底上，用短语“对所有的〞对变量x进行限定；语句(4)在(2)的根底上，用短语“至少有一个〞对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．[预习导引]1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有〞在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀〞表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．事实上，全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)〞的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词短语“有一个〞“有些〞“至少有一个〞在陈述中表示所述事物的个体或局部，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃〞表示．(2)存在性命题含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)〞的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．要点一　全称量词与全称命题例1　试判断以下全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0〞是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1〞是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1〞是真命题．规律方法　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，只需举出一个反例．跟踪演练1　判断以下全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解　(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数〞是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1〞是真命题．(3)eq\r(2)是无理数，但(eq\r(2))2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数〞是假命题．要点二　存在量词与存在性命题例2　判断以下命题的真假：(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)存在一个实数α，tanα无意义．(4)∃x∈R，cosx＝eq\f(π,2).解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x∈Z，x3<1〞是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝eq\f(π,2)时，tanα无意义.(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而eq\f(π,2)>1，∴不存在x∈R，使cosx＝eq\f(π,2)，∴原命题是假命题．规律方法　存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪演练2　判断以下存在性命题的真假：(1)存在实数x，使x2＋2x＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解　(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，存在性命题“存在实数x，使x2＋2x＋3＝0〞是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线〞是假命题．(3)由于整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数〞是真命题．要点三　全称命题、存在性命题的应用例3　(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．解　(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≥－eq\r(2)，又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－eq\r(2))．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<eq\r(2)即可，∴所求m的取值范围是(－∞，eq\r(2))．规律方法　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪演练3　(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)假设命题p：eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．解　(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4)，∴实数a的取值范围为[eq\f(7,4)，＋∞)．(2)由eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx，得eq\r(sin2x＋cos2x－2sinxcosx)＝sinx－cosx，∴eq\r(sinx－cosx2)＝sinx－cosx，即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx.结合三角函数图象，得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，∴实数x的取值范围是[2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5,4)π](k∈Z)．1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．以下说法正确的选项是(　　)A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是存在性命题D．四个命题中有两个假命题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　C解析　①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题．2．以下命题中，不是全称命题的是(　　)A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案　D解析　D选项是存在性命题．3．以下存在性命题是假命题的是(　　)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素数是偶数D．有的有理数没有倒数答案　B解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0恒成立．4．用量词符号“∀〞“∃〞表述以下命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x满足x2＝3.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x∈Q，x2＝3.(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；假设能举出一个反例说明命题不成立，那么该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；假设经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，那么该存在性命题是假命题．一、根底达标1．以下命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞创造创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　命题①②④都是全称命题．2．以下命题中的假命题是(　　)A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0答案　C解析　对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝eq\f(π,4)时，tanx＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．3．以下命题中存在性命题的个数是(　　)①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.A．0B．1C．2D．3答案　B解析　命题①含有存在量词；命题②可以表达为“所有的正方形都是菱形〞，故为全称命题；命题③可以表达为“一切能被6整除的数都能被3整除〞，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个存在性命题．4．以下全称命题中真命题的个数为(　　)①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1B．2C．3D．4答案　C解析　①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．5．给出以下四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________〔填序号〕．答案　①②④解析　①②省略了量词“所有的〞，④含有量词“任意〞．6．对任意x>3，x>a恒成立，那么实数a的取值范围是________．答案　(－∞，3]解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.7．判断以下命题是否为全称命题或存在性命题，假设是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在实数x，使得eq\f(1,x2－x＋1)＝2.解　(1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在〞，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解〞，是假命题．(3)是存在性命题，用符号表示为“∃x∈R，eq\f(1,x2－x＋1)＝2〞，是假命题．二、能力提升8．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin3α＝3sinα成立，故为真命题；③中，由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，显然为假命题，应选B.9．以下命题中，既是真命题又是存在性命题的是(　　)A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x，使sinx＝eq\f(π,2)C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ答案　A解析　只有A、B两个选项中的命题是存在性命题，而由于|sinx|≤1，所以sinx＝eq\f(π,2)不成立，故B中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tanα，故A中命题为真命题．10．下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案　0解析　x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±eq\r(2)时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．判断以下命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；(3)p：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)p：存在等差数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋2n－1.解　(1)p是全称命题，是假命题．假设两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2，(2)p是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝eq\f(an＋1,an)≠0(n＝1,2,3，...)．(3)p是存在性命题，是假命题．因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以不存在x∈R使x2＋2x＋3≤0.(4)p是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{an}(首项a1，公差d)，其前n项和为Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，因此不可能是Sn＝n2＋2n－1这种形式(含常数项)．12．函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)假设存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．假设存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与创新13．假设∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解　(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，此时a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的等价条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的等价条件是(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．