PAGE/NUMPAGES2019-2020年高二数学下学期期中试题一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．双曲线的两条渐近线的方程为．2．若点在抛物线的准线上，则实数的值为.3．在棱长为的正方体中，异面直线和的距离为．4．过点的圆的切线方程为．5．椭圆上的点到左焦点的距离为2，是中点，则.第7题6．已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的外心.7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积．8．在北纬圈上有两地，他们在纬度圈上的弧长等于(是地球的半径)，则两地的球面距离是.9．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于.10．已知抛物线的准线过椭圆的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的方程为.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0第13题SKIPIF1<0SKIPIF1<011．已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为.12．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则或．13．如图，在正方体中，，中点为，过、、三点的截面面积为．14．面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离为，若，则；根据以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积为，此三棱锥内任一点到个面的距离为，若，则.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代
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答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“方程表示双曲线”的一个充要条件是（）．．．或．16．已知，，，是空间四点．命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的（）．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母对面的字母依次分别为（）第18题SKIPIF1<0第17题SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．．．．18．如图，在底面半径和高均为的圆锥中，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为（）．．．．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．ACDBA1B1C1D1M第19题19．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在体积为16的正四棱柱中，点是的中点，．（1）求棱的长；（2）求异面直线与所成角的大小．解：（1）…………………………4分（2）连，则或其补角为直线与所成的角…………6分在中，，直线与所成角的大小为…………12分PBCDA第20题20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，已知平面，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．解：（1）平面，，又平面是直线与平面所成的角…………3分，所以直线与平面所成的角为…………6分（2）………………8分而………………………10分，，………………………12分，所以，即点到平面的距离为……14分ADCP第21题BE21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的大小．解：（1）证明：∵，∴．同理由，可证得．又，∴．…………………………………6分（2）解法一：设的交点为，过点作于点，连易证为二面角的平面角…………………………………9分由（1）知为正方形，在中，，二面角的大小为…………………………………14分解法二：分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知，又，∴．故矩形为正方形，∴．∴．∴．设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，得．∵，∴为平面的一个法向量．所以．设二面角的平面角为，由图知，则二面角的大小为…………………………………14分22．（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等.铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm，加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；193820图1第22题3812121920图2（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：……1分圆柱的高………………………………………2分圆柱的侧面积……………………………………………3分半球的表面积……………………………5分所以铆钉的表面积()……7分（2）…………………………9分…………………11分设钉身长度为，则…………………12分由于,所以，…………………14分解得………………15分答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．………16分23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．第23题（1）试求双曲线的
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方程；（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角．（3）过点作直线分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点，求的最大长度．解：（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，得，即，则双曲线的左、右顶点为、，于是令，可得，解得，即双曲线过点，则所以，所以所求双曲线方程为……………………4分（2）由（1）得双曲线的两个焦点，……………………5分当时，设点，①若点在双曲线上，得，由，得由，解得所以……8分②若点在上半圆上，则，由，得，由无解……………………11分综上，满足条件的点有4个，分别为……………………12分（3）设点的横坐标分别为，①当直线斜率不存在时，可求得……………………14分②当直线斜率存在时，设直线，则：，以上方程有一根为且两根之和，所以，由两半圆关于轴对称可求得，，所以的最大长度为．……………………18分
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