一元二次方程的概念解法根与判别式的关系根与系数的关系

一元二次方程的概念：问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．归纳：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）?整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5x=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-5=0xA．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）2例1．下面哪些数是方程2x+10x+12=0的根？例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值练习：一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a1122B．x1=b，x2=C．x1=a，x2=D．x1=a，x2=baa3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则ac=（）．bbA．1B．-1C．0D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题22如果x=1是方程ax+bx+3=0的一个根，求（a-b）+4ab的值．三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题1．填空1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例1：解方程：(1)(2x-1)2=52(2)x+6x+9=2(3)x2-2x+4=-1例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解练习：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3B．-3C．±3D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足3a4+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），?另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？（二）、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p（p≥0）．2222如：4x+16x+16=（2x+4）,你能把4x+16x=-7化成（2x+4）=9吗?2、要使一块矩形场地的长比宽多26m，并且面积为16m,场地的长和宽各是多少？转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=?25?降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-1=02例2．解下列方程（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0例3求证:无论y取何值时,代数式-3y2+8y-6恒小于0例4、用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）练习：一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1B．-1C．1或9D．-1或94．配方法解方程2x2-4x-2=0应把它先变形为（）．3A．（x-1）2=8B．（x-239321281210）=0C．（x-）=9D．（x-）=933二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式x2x2的值为0，则x的值为________．x212，那么x与y的关系是________．3．如果16（x-y）+40（x-y）+25=0三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0（2）x2+3=23x2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求x2y的值．x2y23．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．4、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数（三） 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 法由上例4可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式22ax+bx+c=0，当b-4ac≥0时，?将a、b、c代入式子x=bb24ac就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、2a除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x2-x-1=0（2）x2+1.5=-3x(3)x2-2x+1=02例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm22+（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。练习：一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=36B．x=36C．x=323D．x=3232222．方程23x+62=0的根是（）．22x+4A．1=2，x2=3B．1，22C．1=22，2D．126xx=6x=xx=2x=x=-3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-b，x1·x2=c；（2）?求aa代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．四、根与判别式的关系根与系数的关系一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．一元二次方程的根与系数的关系2bc(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个根是x，x，那么，xxx1x21212aa如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．例1、如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是例2的两根，求222、设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0x1＋x2的值已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，x1－x2）2＝若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝例3、以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是例4、已知x1,x2是关于x的方程4kx24kxk10的两实根。(1)是否存在实数k，使2x1x2x12x23k的值；若不存在，请说明理成立？若存在，求出2由；（2）求使x1x22的值为整数的实数k的整数值x2x1练习1、m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根2、已知、是方程2x25x10的二根，求的值。2的两个实数根223、已知m、n是方程x－4x+1=0,求代数式2m+4n－8n+1的值.4、已知关于x的方程k3x2kx10。（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根；2（2）当k=4时，设该方程的两个实数根为α、β，求作以2和122为根的一元二次方程。1龙文教育课后作业1、当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程2m+12、关于x的方程（2m+m）x+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3、下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（12x-a）2=a4、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-25、已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，?所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．26、如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：7、如果x2-4x+y2+6y+z2+13=0，求（xy）z的值．222没有实数根8、求证：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=09、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x22(2)111x+xx2x1－x22110、已知：关于x的方程x2bx4b0有两个相等的实根，y1,y2是关于y的方程y22by40的两实根，求以y1,y2为根的一元二次方程。11、已知实数a、b满足a222a,b222b，且a≠b，求ab的值。ba12、已知：p2p50,5q2q10，其中pq这实数，求p21的值。22、q213、已知：关于x的方程x22m1xm230。（1）当m取何值时，方程有两个相等的实数根？（2）设方程的两实根分别为x1,x2，当x1x22x1x2120时，求m的值。