第五章-统计量及其分布

数理统计学：收集带有随机误差的数据对数据进行处理 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 得出信息用以研究问题作出统计推断数理统计学：研究大量随机现象的统计规律性的一门学科概率论是数理统计的根底，数理统计是概率论的应用第五章统计量及分布5.1数理统计的根本概念一总体和个体总体：所研究对象的全体构成的集合。个体：总体中的每一个元素。例：考察某灯泡厂生产的灯泡。总体:全部灯泡。个体:每一个灯泡例:考察某大学学生的身体状况.总体:全体学生.个体：每一个学生总体和个体具有两重性：一方面指所研究的实体，另一方面又指实体的数量指标。二、总体的分布总体既是集合，又是随机变量。常用X，Y，Z…… 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示例：考察某灯泡厂生产的灯泡。总体X:灯泡的寿命。例:考察某大学学生的身体状况.总体X:学生的体温.总体的分布：随机变量的分布总体也可以是二维随机变量，记为〔X，Y〕等例:考察某大学学生的身体状况.总体〔X，Y〕:学生的身高、体重.总体的分布要借助于随机抽样来研究。以后所研究的总体多是正态总体。简单随机样本：设总体为X，如果样本(X1,X2,…,Xn)满足:(1)代表性:每个Xi与总体X有相同的分布;(2)独立性:X1,X2,…,Xn相互独立;那么称样本(X1,X2,…,Xn)为简单随机样本，简称为简单样本。样本的二重性：容量为n的样本(X1,X2,…,Xn)是n次试验的结果，因试验是随机的，可把其看成是n个随机变量。但作了试验后，记录下来的是它们在试验中所取的数据(x1,x2,…,xn)，称为样本的观察值。因此，样本在做具体试验前可理解为一个随机向量，在具体试验后可理解为一组观测值，因此，样本一词具有二重性。注在有限总体中要得到简单样本,必须进行重复抽样。但当总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作简单样本.随机抽样：从总体X中抽取局部个体。简称抽样样本：抽取的局部个体(抽样的结果〕.记为(X1,X2,……,Xn)样本容量：样本所含个体的个数。三、样本统计推断:分析样本数据对总体的分布作出结论样本从总体带出的信息是分散的、零乱的小样本和大样本：当容量n时，研究的是大样本问题。其分布是极限分布。当容量n有限时，样本是小样本。其分布是随机向量的精确分布。在理论研究中小样本意味着固定样本容量，不能让它趋于无穷。统计量设总体X的分布函数为F(x)，(X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本，Xi的分布函数为F(xi)，那么(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn)假设总体X的密度函数为f(x)，(X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本，Xi的密度函数为f(xi)，那么(X1,X2,…,Xn)的密度函数为f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)四、样本的分布一、统计量：设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本，容量为n，设h(x1,x2,…,xn)为一不含未知参数的n元连续函数，那么T=h(X1,X2,…,Xn)是一个随机变量，称为统计量。5.2统计量注：〔1〕统计量完全由样本决定，不依赖于任何其它未知的量。〔2〕统计量用于估计时称为估计量，用于检验时称为检验统计量〔3〕把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值。例：当总体X~N(,2)，其中参数,2未知时不是统计量，因它们都包含了未知参数。例：统计量当参数,2未知时，结论如何？练习：178页第1题二、常用统计量定义5.2设样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，常用统计量：样本均值:样本方差：样本k阶原点矩：样本k阶中心矩：样本 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差:样本均值和样本方差的性质定理：设总体X的均值为EX=，方差为DX=2，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，那么证：由于(X1,X2,…,Xn)是简单样本，所以EXi=EX=，DXi=DX=2(i=1,2,…,n)，而且有注意到：有：定义5.3设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且同服从标准正态分布，那么它们的平方和2=X12+X22+…+Xn2服从的分布称为自由度为n的2分布。记为：2~2(n)。注：自由度表示独立随机变量的个数§5.3抽样分布可以证明，2的密度函数为：1、2分布一、数理统计学的三个重要分布抽样分布:统计量的分布2分布的性质定理5.3假设X~2(n)，Y~2(m)，且X与Y相互独立，那么X+Y~2(n+m)定理5.2假设X~2(n)，那么：EX=n，DX=2n(2)假设X1,X2,…,Xn相互独立，同服从于正态分布N(i,i2)，那么推论：〔1〕假设Xi~2(ni),i=1,2,…,n，且相互独立，那么：例：179页〔B〕第2题2分布的临界值〔分位点〕例：t分布t分布的临界值〔分位点〕例：1.397问题：假设X~N(,2)，Y/2~2(n)，且X与Y相互独立，那么证明：且与Y相互独立，那么F分布其中n1叫做第一自由度，n2叫做第二自由度。F分布的临界值〔分位点〕F分布的性质例：判断：如果X与Y相互独立，且X/2~2(n)，Y/2~2(m)，那么F=(X/Y)•(m/n)~证：如果X与Y相互独立，且X/2~2(n)，Y/2~2(m)，例：179页〔B〕第4题解：F(n,m)二、正态总体下的抽样分布1、样本线性函数的分布定理：设Y=a1X1+a2X2+…+anXn，那么以下假设样本〔X1，X2，…，Xn〕来自正态总体X~N(,2)其中a1,a2,…,an为常数，且不全为0。推论1：X~N(,2/n)其中X与总体X有相同的均值，但方差小得多。样本容量n越大，X向越集中。推论：推论2：假设样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X~N(1,12)，样本(Y1,Y2,…,Ym)来自总体Y~N(2,22)，且X与Y相互独立，那么定理：假设X1,X2,…,Xn相互独立,Xi~N(i,i2)(i=1,2,…,n)那么其中Y=a1X1+a2X2+…+anXn，a1,a2,…,an为常数，且不全为0。证明：X~N(1,12/n)Y~N(2,22/m)，相互独立X-Y~N(1-2,12/n+22/m)标准化得U~N〔0，1〕2、样本均值和样本方差的分布定理5.7：设总体X服从正态分布N(,2)，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，有(1)X与S2相互独立；(2)(n-1)S2/2服从自由度为n–1的2分布。定理：证明：X~N(,2/n)(n-1)S2/2~2(n–1),相互独立3、两正态总体的抽样分布设样本(X1,X2,…,Xn)来自正态总体X~N(1,12),(Y1,Y2,…,Ym)来自正态总体Y~N(2,22)，并假定X与Y相互独立。记定理：定理：证明：(1)(n-1)S12/12~2(n–1),(m-1)S22/22~2(m–1),相互独立，由F-分布定义得:证明：X~N(1,2/n)Y~N(2,2/m)，相互独立X-Y~N(1-2,2/m+2/n)(n+m-2)S2/2~2(n+m–2),相互独立，由t-分布定义得:T~t(n+m-2)证明：且相互独立例1：若X~N(,2)，样本(X1,X2,…,Xn+1)来自总体X。Xn与Sn2为样本均值和样本方差。求统计量的分布且相互独立，那么证明：且相互独立例2：假设X~N(2)，样本(X1,X2,…,X10)来自总体X。求根本要求:1理解总体、个体、样本、统计量和简单样本的概念。2掌握样本均值和样本方差的计算。3掌握正态总体某些常用统计量的分布。4了解三大分布的定义，熟练掌握它们的临界值的查表计算。重点：正态总体某些常用统计量的分布。根本要求与重点、难点