2021年人教版高中数学必修第二册(精讲)6.3.2《平面向量数量积的坐标表示》（解析版）

6.3.2平面向量数量积的坐标表示（精讲）思维导图常见考法考法一数量积的坐标运算【例1】（1）（2020·全国高一）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．SKIPIF1<0C．7D．0（2）（2020·全国高一）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（3）（2020·全国）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的数量为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0的取值范围______.【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5）SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.（2）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是SKIPIF1<0.故选：C（3）由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的数量为SKIPIF1<0，故选：B.（4）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：D（5）因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，SKIPIF1<0SKIPIF1<0且不反向，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0当两向量反向时，存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．6【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故选：D2．（2020·广东高一期末）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为60°D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B.3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为（）A．3B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为向量SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0故选：A4．（2020·北京高一期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，那么m的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A.7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角互补，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．2【答案】A【解析】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角互补，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A．8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______；【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．考法二巧建坐标解数量积【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则SKIPIF1<0的取值范围是（　　）A．[﹣SKIPIF1<0，0]B．[0，SKIPIF1<0]C．[﹣SKIPIF1<0，+∞）D．[﹣SKIPIF1<0，0]【答案】A【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：故可得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，故可得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，取得最小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，取得最大值SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A.【一隅三反】1．（2021·湖南）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<02．（2020·山东济南市·）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1B．SKIPIF1<0C．－1D．-2【答案】C【解析】如图，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故选：C．3．（2021·山西）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.考法三数量积与三角函数综合运用【例3】（2020·广东揭阳市·高一期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）记SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值和最小值以及对应的SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值2，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0于是，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值2；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0.【一隅三反】1.向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（　　）A．1B．2C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，故选A．2．（2020·北京二十中高一期末）已知SKIPIF1<0是锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是锐角，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．（2021·新疆）已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值;(2)若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求角SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.代入SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.4．（2021·江苏）已知向量SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0;(2)若向量SKIPIF1<0共线，求SKIPIF1<0.【答案】(1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 见解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）因为向量SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0矛盾，故舍去；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0另解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0考法四数量积与几何的综合运用【例4】（2020·陕西渭南市·高一期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能够成三角形，求实数SKIPIF1<0应满足的条件；（2）若SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0为直角，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能构成三角形，则这三点不共线，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故知SKIPIF1<0，∴实数SKIPIF1<0时，满足条件.（2）若SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0为直角，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2020·唐山市第十一中学高一期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（）．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】根据已知，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0为直角三角形故选：A2．（2020·全国高一课时练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（1）证明：SKIPIF1<0是等腰直角三角形（2）求SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）证明：由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是直角三角形又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形（2）解：设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2020·全国高一课时练习）平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系式；（2）若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）16.【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以与SKIPIF1<0之间的关系式为：SKIPIF1<0①（2）由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②由①②得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以，四边形SKIPIF1<0的面积为16.