等边三角形内的旋转

------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx等边三角形内的旋转【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】中考专题——玩转等边三角形类型一：抓住等边三角形的边进行旋转1．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置，则旋转中心是　_________　，旋转角等于　_________　°，△ADP是　_________　三角形．　2．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是　_________　．3．已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．　跟踪练习：1.如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想∠QEP=°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．2、（海淀期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．图1图2（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到，连接，如图1所示．由≌可以证得是等边三角形，再由可得∠APC的大小为度，进而得到是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为；（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC满足的等量关系为．3．（13年中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。专题二、抓住其它等线段构造旋转类型全等三角形例题：、已知：等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60º至，连接.（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与MF的数量关系是__________；（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；图3（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.图1图2跟踪练习：（石景山期末）已知△是等边三角形，点，，分别是边，，的中点，点是射线上的一个动点，作等边△，使△与△在边同侧，连接.（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段与线段的数量关系；（2）当点在线段上（点与点，不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接，直线与直线相交于点，若△的面积是△面积的9倍，，请直接写出线段的长.图1图2备用图答：（1）.……………1分（2）补全图形，如图1所示.……………2分结论成立.证明：连接，，，如图2.图1∵△是等边三角形，∴.∵，，分别是边，，的中点，∴.∴.又∵△是等边三角形，∴，.图2∴.∴△≌△.………………………………4分∴.………………………………5分（3）的长为1或2.………………………………7分专题三、等边三角形内的其它类型例题：（16年中考）在等边△ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．【答案】（1）40°；（2）①作图见解析；②证明见解析．【解析】 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）①根据要求作出图形，如图2；∴∠BAP=∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．考点：三角形综合题．跟踪练习：（怀柔期末）．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分线于点M.(1)如图（1），当点E在BC边的中点位置时,通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是；(2)如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E在BC边的任意位置时，始终有AE=EM.小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：在BA上取一点H使AH=CE，连接EH，要证AE=EM，只需证△AHE≌△ECM.想法2：找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF.（易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M，C，F三点在同一直线上）要证AE=EM，只需证ΔMEF为等腰三角形.想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE=EM，只需证四边形MCFE为平行四边形.请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM.（一种方法即可）(1)相等；…………1分(2)想法一：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC,∠B=60°.…………2分∵AH=CE,∴BH=BE.∴∠BHE=60°.∴AC//HE.∴∠1=∠2.……………………………3分在△AOE和△COM中,∠ACM=∠AEM=60°,∠AOE=MOE,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.……………………………5分∵∠BHE=60°,∴∠AHE=120°.∵∠ECM=120°.∴∠AHE=∠ECM.……………………………6分∵AH=CE,∴△AHE≌△ECM（AAS）.∴AE=EM.……………………………7分（或根据一线三等角证△ABE∽△ECO,得∠BAE=∠CEM,再证∠AHE=∠ECM,得△AHE≌△ECM（ASA））想法二：∵在△AOE和△COM中,∠ACM=∠AEM=60°,∠AOE=∠COM,∴∠EAC=∠EMC.……………………………3分又∵对称△ACE≌△FCE,∴∠EAC=∠EFC,AE=EF.…………5分∴∠EMC=∠EFC.∴EF=EM.∴AE=EM.…………7分想法三：∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°,∴可证△ABE≌△CBF（SAS）.…………………2分∴∠1=∠2AE=CF.…………………3分∵∠AEM=∠CBA=60°,∴∠1=∠CEM.∴∠2=∠CEM.∴EM//CF.…………4分∵∠CBF=60°,BE=BF,∴∠BEF=60°,∴∠MCE=∠CEF=1200.∴CM//EF.…………………5分∴四边形MCFE为平行四边形.∴CF=EM.∴AE=EM.…………………7分