类型二线动第PAGE页题型五几何图形动态变化型问题类型二线动〔拓展〕 针对演练1.(2021广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．第1题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？假设存在，请求出此时刻t的值；假设不存在，请
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理由． 第2题图
答案
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1.解：(1)四边形APQD为平行四边形；【解法提示】由平移的性质知，PQ＝BC＝AD，又∵PQ∥AD，∴四边形APQD为平行四边形．(2)OA＝OP，OA⊥OP.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，在△AOB和△POQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝PQ,∠ABO＝∠PQO,BO＝QO))，∴△AOB≌△POQ(SAS)，∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOB＋∠BOP＝∠POQ＋∠BOP，即∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；(3)过点O作OE⊥BC于点E.①如解图①，当P点在B点的右侧时，那么BQ＝x＋2，OE＝BE＝eq\f(1,2)BQ＝eq\f(x＋2,2)，∴y＝eq\f(1,2)··x＝eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＝eq\f(1,4)(x＋1)2－eq\f(1,4)，又∵0≤x≤2，∴y随x的增大而增大，∴当x＝2时，y的最大值为2；第1题解图②如解图②，当P点在B点的左侧时，那么BQ＝2－x，OE＝，∴y＝eq\f(1,2)×·x＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＝－eq\f(1,4)(x－1)2＋eq\f(1,4)，又∵0≤x≤2，－eq\f(1,4)<0，函数开口向下，∴当x＝1时，y的最大值为eq\f(1,4)；综上所述，y与x的函数关系式为：当P点在B点右侧时，y＝eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x(0≤x≤2)，当P点在B点左侧时，y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x(0≤x≤2)，当P点在B点右侧且x＝2时，y的最大值为2.2．(1)证明：如解图①，当t＝2时，HD＝2t＝4.第2题解图①∵AD＝8，∴HD＝eq\f(1,2)AD，∵EF⊥AD，AD⊥BC，∴EF∥BC，∴E，F分别是AB，AC的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．又∵AD⊥EF，∴四边形AEDF是菱形；(2)解：如解图②，连接PE，PF，第2题解图②∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AH,AD)，∴eq\f(EF,10)＝eq\f(8－2t,8)，∴EF＝10－eq\f(5,2)t，∴S△PEF＝eq\f(1,2)EF·DH＝eq\f(1,2)(10－eq\f(5,2)t)·2t＝－eq\f(5,2)t2＋10t＝－eq\f(5,2)(t－2)2＋10.∴当S△PEF取最大值时，t＝2.此时，BP＝3t＝3×2＝6cm；(3)解：存在．①如解图③，连接PE，PF，假设∠PEF＝90°，那么PE∥AD.第2题解图③∴△BEP∽△BAD，∴eq\f(PE,AD)＝eq\f(BP,BD)，∴eq\f(2t,8)＝eq\f(3t,5)，∴t＝0.∵当t＝0时，△EPF不存在，∴t＝0不符合题意，舍去；②如解图④，连接PE，PF，PH，假设∠EPF＝90°，在Rt△EPF中，H是EF的中点，第2题解图④∴PH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)(10－eq\f(5,2)t)＝5－eq\f(5,4)t，在Rt△HDP中，∵HP2＝HD2＋DP2，∴(5－eq\f(5,4)t)2＝(2t)2＋(5－3t)2.解得t＝0(舍去)或t＝eq\f(280,183).∴t＝eq\f(280,183)；③如解图⑤，连接PE，PF，假设∠EFP＝90°，第2题解图⑤那么PF∥AD，∴△CPF∽△CDA，∴eq\f(PF,DA)＝eq\f(CP,CD)，解得t＝eq\f(40,17).综上所述，当t＝eq\f(40,17)或t＝eq\f(280,183)时，△PEF是直角三角形．
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