一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.注意:幂函数中α的可以为任意实数.一、幂函数定义:判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2判一判 在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象:二、常见幂函数图象(-∞,0)减(-∞,0]减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(0,+∞)减增增[0,+∞)增增奇非奇非偶奇偶奇{y|y≠0}[0,+∞)R[0,+∞)R{x|x≠0}[0,+∞)RRR三、常见幂函数的性质定点单调性奇偶性值域定义域y=x-1y=x3y=x2y=x函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); (2)如果α>0,则幂函数图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数; (3)如果α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象在y轴上方无限地逼近x轴;(4)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.四、幂函数的性质如何画幂函数的图象【即时练】1.(2014·三明高一检测)函数y=的图象大致是( )B【训练】已知函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则f(3)= .【解析】已知函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则lg(m2+6)=1,即lg(m2+6)=lg10,解得m=±2,又函数的定义域为R,故m=2,则f(x)=x2,得f(3)=9.答案:9例1 比较下列各组数的大小;利用幂函数的增减性比较两个数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个数中间插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小类型一比较大小类型二幂函数的图象、性质及应用【典例2】(1)(2014·聊城高一检测)如图是函数y=(m,n∈N*,m,n互质)的图象,则( )A.m,n是奇数,且<1B.m是偶数,n是奇数,且>1C.m是偶数,n是奇数,且<1D.m是奇数,n是偶数,且>1C【易错误区】对幂函数的定义域考虑不全面致误【典例】若则实数a的取值范围为()【解析】选C.考查幂函数类比y=x-1的单调性,可得:若则有x<0
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
小结(1)幂函数的定义;(2)幂函数的图像与性质;(3)利用幂函数的单调性判别大小