相似三角形的判定讲义

来源于网络相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定定理2:两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF丄AE于点F。（1）求证：△ABEDFA;（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF的长。变式练习：TOC\o"1-5"\h\z1、如图，DE//BC,EF//AB则图中相似的三角形一共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对—..■■'J2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）A、有一个角是40°两个等腰三角形B、两个等腰直角三角形C、有一个角为100°的两个等腰三角形D、两个等边三角形-'1例2已知：如图，在四边形ABCD中，/B=ZACDAB=6,BC=4,AC=5,CD=7—，求AD的长。2变式练习：1、如图，在△ABC中，点D、E分别在ABAC上，下列条件中不能判定厶AB3AAED的是（）ADACADAEA、/AED=/BB、/ADENCC、D、AEABABAC2、已知，P是正方形ABCD勺边BC上的点，且BP=3PCM是CD的中点，求证：△ADMMCPIr-—__:（第2题）例3如图，小正方形的边长为1,贝U下列选项中的三角形（阴影部分）与厶ABC相似的是（）变式练习：1、在厶ABC和厶A/BzC中，AB=3cm,BC=6cm,CA=5cm,A/B/=3cm,B/C=2.5cm,A/C=1.5cm,贝U下列说法中，错误的是()A、△ABC与厶A/B/C相似B、AB与A'B/是对应边C、相似比为2:1D、AB与AzCC是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABCDEF。（二）判定定理的运用例4如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC,过点与CE满足什么条件时，△AEF与厶DCE相似？并说明理由变式练习：如图，在△ABC中，/ADE=/C,则下列等式成立的是（ADABAC第1题E作直线EF交AB于点F。当EF1、AEADBCBDDE_AEBC一AB第2题C、D、)DE_ADBC一AB第3题2、女口图，/ABD=/C,AB=5,AD=3.5，贝UAC=3、如图，D是AC上一点，BE//AC,BE=AD,FD2=FG•FE.反馈练习AE分别交BD、基础夯实BC于点F、G,Z仁/2。求证:1、如图,是（）A、1个如图，2、占八、、AD丄BC于点D,CE丄AB于点E交AD于点F,则图中与厶AEF相似的三角形的个数B、2个在RtAABCE,则CE的长为（C、3个中，/ACB=90324个,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于,725B、一C、—66,BD平分/ABC，则下列结论：①△ABCBCD:②）A、/ABD=/ACBB、/ADB=/ABCC、AB2=AD•ACADABABBCAC2=AD•AB，贝U(CADCCDB5、如图，在△ABC中，D是AB上一点，且A、△ADCACBB、△BDCBCA&满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是(),AB=5cm,AC=10cm；ZAC=60°,ACBC=3cm,AC,AB=4cm,BC=6cm；ZD=45°,DE=2cm,DF=3cm无相似三角形A、/A=60°B、/A=45°CC=10cm3、如图，△ABC中，AB=AC，/A=36AB:BC=BC:CD;@BC2=AC•CD;④AD:DC=AB:BC,其中正确的结论有（A、1个B、2个C、3个D、4个4、如下图，下列条件不能判定△ADBABC的是（）C>ZC=ZE=30°,AB=8cm,BC=4cm；DF=6cm,FE=3cmD、/A=/AC，且AB•ACCC=AC•ACBC7、如图，已知AB丄BD,ED丄BD,C是线段BD的中点，且AC丄CE,ED=1,BD=4，那么AB=—8、如图，在口ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E,BP/DF，且TOC\o"1-5"\h\z与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形。第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，/ADE=60。，则AE的长为。10、如图，在△ABC中，D是ABA边上一点，连接CD，要使△ADC与厶ACB相似，应添加的条件是。(写出一个即可)11、如图，在△ABC中，CD丄AB，垂足为D，下列条件中，能证明厶ABC是直角三角形的有。ACCD①/A+/B=90°;②AB2=AC2+BC2;@；®CD2=AD•BD。ABBD12、如图，已知，/ACB=ZABD=90，BC=6AC=8当BD时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，/仁/2，/B=ZD,AB=DE=5BC=4(1)求证：△ABBAADE(2)求AD的长。14、如图，△ABC中，CD是边AB上的高,ADCDCD_而求证：△ACDCBD;(2)求/ACB的大小。15、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm,AB=130cm。球目前在点E的位置，AE=60cm,如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置。(1)求证：△BEFsACDF;(2)求CF的长。16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。能力提升17、如图，在直角梯形ABCD中,AB//CD，/C=90°，/BDA=90°,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,TOC\o"1-5"\h\zAD=c，则下列等式成立的是()A、b2=acB、b2=ceC、be=acD、bd=ae第17题第18题第19题18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A出发到点B为止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()■:-I1A、3秒或4.8秒B、3秒C、4.5秒D、4.5秒或4.8秒19、如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上，则CE:CF=()1y=1的图像上，若xC、-2D、2C、20、如图，△AOB是直角三角形，/AOB=90°,OB=2OA，点A在反比例函数11I\k点B在反比例函数y=—的图像上，贝Uk的值为()A、-4B、4x第20题第21题第22题21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(点C与点A不重合)，当点C的坐标为时，使得以点B、0、C为顶点的三角形与厶AOB相似。22、已知，如图，□ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC上延长线上，且OE=OB,连接DE<求证：(1)DE丄BE;(2)如果OE丄CD,求证：△CEDDEB。23、如图，在□ABCD中，过点A作AE丄BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且/AFE=/Bo(1)求证：△ADFs\DEC;(2)若AB=8,AD=6.3,AF=4、、3，求AE的长。来源于网络24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足，或两个直角三角形相似”；“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。已知：如图，。求证：RtAABCsRt△A/B/Cz025、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF丄AE，EF分别交AC、CD于点M、F,BG丄AC，垂足为G，BG交AE于点Ho求证：△ABEECF;找出与△ABH相似的三角形，并证明；若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。思维拓展I(II:26、如图1,直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B(0，8)，点C的坐标为(2，0)。求直线AB的解析式；在线段AB上有一动点Po如图2,过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标；连接CP,是否存在点卩，使厶ACP与厶AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm,AB=acm(a>3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿；’羔烹U'■■-'|1运动，速度是1cm^so过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q,当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。若a=4cm,t=1s,则PM=cm；连接PD、PB,若a=5cm,求运动时间t,命名△PNBs^PAD，并求出它们的相似比；若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围。参考答案反馈练习基础夯实1、C2、B3、D4、D5、A6、D7、48、ADCFs^EBF9、710、ADAC11、①②④12、15十或40ACAB2313、(1)略(2)25414、(1)略(2)90°15、(1)略(2)16916、或55能力提咼17、A18、A来源于网络19、20、A21、(-4,0)(1,0)(-1,0)