电磁场理论习题7

习题：1.在z3m的平面内，长度l0.5m的导线沿x轴方向摆列。当该导线以速度ruuruururuur2zuururvex2ey4m在磁感觉强度Bex3xey6ez3xz2T的磁场中挪动时，求s感觉电动势。解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感觉电动势只好是导线在恒定磁场中挪动时由洛仑兹力产生的。有(rur)rinvBdl依据已知条件，得ruruuruuruur2zuurur(vB)|z3(ex2ey4)(ex3xey6ez3xz2)|z3uuruurur36x2)ex108xey54xez(12uurdlexdx故感觉电动势为0.5uuruururuurin0[ex108xey54xez(1236x2)]exdx13.5V长度为l的细导体棒位于xy平面内，其一端固定在座标原点。当其在恒定磁场rezB0中以角速度旋转时，求导体棒中的感觉电动势。解：导体中的感觉电动势是由洛仑兹力产生的，即in(vb)dl依据已知条件，导体棒上任意半径r处的速度为uurverurdlerdr故感觉电动势为llin0(vb)dl0uurururB0L12(erezB0)erdrrdrB0lV02试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。解：观察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度ururE和磁感觉强度B的uurururururur,,是关系，将HB,DE,JE代入即可，注意在非均匀媒质中空间坐标的函数。观察麦克斯韦第一方程，有uururururB(1H1)BB1ur1urBB2ururururDEJtJt所以ururururEBBJt而ururururD(E)EE，于是，微分形式的麦克斯韦方程urur用E和B表示为ururururEBBJtururBEtur0BururEE对于无耗媒质，ur0。0，所以有J4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程ur。JurtuururD两边取散度，得解：对麦克斯韦第一方程HJtuurururD(H)J0tur又由于D，所以urJt5.设真空中电荷量为q的点电荷以速度v(v=c)向正z方向匀速运动，在t0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。解：采纳圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的地址为(0,0,vt)，且产生的场强与角度没关，如习题所示。设P(r,,z)为空间任一点，则点电荷在P点产生的电场强度为ururqRE340Rur此中R为点电荷到P点的地址矢量，即urururRerrez(zvt)uurururDE，得那么，由Jd0ttuurur3qrv(zvt)urqv[2(zvt)2r2]Jder5ez54[r2(zvt)2]24[r2(zvt)2]2zrP(r,,z)dzvdturRx0已知自由空间的磁场为uuruurHeyH0cos(tkz)A/m式中的H0、、k为常数，试求位移电流密度和电场强度。解：随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的互相联系和限制由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度ur0，故由麦克斯韦第一方程得uuruuruuruuuruuruuurHyJdHexzexz[H0cos(tkz)]uuruuurtkz)A/m2exkH0sin(uururD，故而JdtururuuruuuruuruuurkH0cos(tkz)C/m2DJdtexkH0sin(tkz)dtex则ururuuruuurDkH0cos(tkz)V/mEex00由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有E0,D即DdVDdSdVqVSV依据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷q有E4r2q，所以距离该点电荷r处的电场强度为qEer4r2静电场为无旋场，所以有E，则2DE所以有2即泊松方程。由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。解：由麦克斯韦方程组，有uurururHJB0由于矢量的旋度取散度为零，故可令ururBAur在库仑 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 下，A0，因此ururur(A)(A)2AuruururBHJ即2ururAJ由2的解为1d4可得ururJAd4r对于线电流urrIdlA4?cr于是uurururrB1IHA?(1)dl4rcrrI(er)Idlerdl4蜒cr24cr2以下列图，同轴电缆的内导体半径a1mm，外导体内半径b4mm，内、外导体间为空气介质，且电场强度为ur1008Eerrcos(10t0.5z)V/muur1）求磁场强度H的表达式2）求内导体表面的电流密度；3）计算0Z1m中的位移电流。zaabrur解：（1）将E表示为复数形式，有ur100ej0.5zE(r,z)err由复数形式的麦克斯韦方程，得uur1ur1uurEruur0.398ej0.5zA/MHEjezerj00uur磁场H的瞬时表达式为uurH(r,z,t)（2）内导体表面的电流密度e0.398cos(108t0.5)A/mrruuruuruurJsnHraerHraez397.9cos(108t0.5)A/m2(3)位移电流密度ur102Jd0E8.85482errsin(10t0.5)A/mt所以0Z1m中的位移电流iduurur1uurer2rdzJddSJdS00.55sin(108t0.25)A试由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。解：本题的结果表示麦克斯韦方程组的相容性，而导出此结果的要点在于灵巧应用矢量解析的基本关系式。对方程HJD两边取散度，得t(H)(JD)J(D)tt而电流连续性方程0t矢量恒等式(H)0故得(D)0tt即(D)0t可见，(D)是一个与时间没关的常量。若取t0的任何时刻，D0皆满足需要。故得t0时，该常量为零，则D相同，对方程EB两边取散度，得t(B(B)0E)tt故得0以下列图，两种理想介质，介电常数分别为1和2，分界面上没有自由电荷。在分界面上，静电场电力线在介质1,2中与分界面法线的夹角分别为1和2。求1和2之间的关系。D1,E11122D2,E2解：利用D和E的关系以及理想介质分界面的界限条件求解。设D1和D2分别为介质1,2中电通量密度。E1，E2分别为介质1,2中电场强度。在各向同性介质中，D和E拥有相同的方向。由界限条件D1nD2n和E1tE2t，得E1tE2tD1nD2n而依据图可知D1nD1cos1E1tE1sin1D2nD2cos2E2tE2sin2则得tantan11r10r122r20r212.写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的界限条件。解：空气和理想导体分界面的界限条件为nE0nHJs依据电磁对偶原理，采纳以下对偶形式EH,HE,JsJms即可获取空气和理想磁介质分界面上的界限条件nH0nEJsm式中，Jsm为表面磁流密度。13.在由理想导电壁(r)限制的地域0xa内存在一个由以下各式表示的电磁场：EyH0(a)sin(x)sin(kzt)aHxH0k(axt))sin()sin(kzaHzH0cos(x)cos(kzt)a这个电磁场满足的界限条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解：应用理想导体的界限条件可以得出在x0处，Ey0，Hx0HzH0cos(kzt)在xa处，Ey0，Hx0HzH0cos(kzt)上述结果表示，在理想导体的表面，不存在电场的切向重量Ey和磁场的法向重量Hx。别的，在x0的表面上，电流密度为JsnH|x0ex(exHxezHz)|x0exezHz|x0eyH0cos(kzt)在xa的表面上，电流密度则为JsnH|xaex(exHxezHz)|xaexezHz|xaeyH0cos(kzt)14.设电场强度和磁场强度分别为EE0cos(te)HH0cos(tm)证明其坡印廷矢量的均匀值为Sav1E0H0cos(em)2证明：坡印廷矢量的瞬时价为SEHE0cos(te)H0cos(tm)1E0H0[cos(tetm)cos(tetm)]21E0H0[cos(2tem)cos(em)]2故均匀坡印廷矢量为Sav1T1T1H0[cos(2tem)cos(em)]dtTSdtE00T021E0H0cos(em)2一个真空中存在的电磁场为uruuruurEexjE0sinkzuuruur0uurHeyE0coskz0此中k2//c是波长。求z0，/8，/4各点的坡印廷矢量的瞬时价和均匀值。解：uruuruuruuruurt)E(z,t)Re[eXjE0sin(kz)ejt]eXE0sin(kz)cos(2uuruuruuruuruurH(z,t)Re[ey0E0cos(kz)ejt]ey0E0cos(kz)cos(t)00坡印廷矢量的瞬时价为ururuurur10uuur2S(z,t)E(z,t)H(z,t)ez4E0sin2kzsin2t0故当Z0时，有ur0S(0,t)当Z0时，有8uuurur0,t)uurE200sin2tS(8eX40当Z0时，有4ur0S(,t)0任一点的坡印廷矢量的均匀值为ur1Tur10uuur1TE2sin2tdt0SSVT0Sdtez0sin2kz40T016.写出存在电荷和电流密度J的无耗媒质中的E和H的颠簸方程的瞬时价形式解：由麦克斯韦方程的微分形式HJE（1）tHE（2）tH0（3）1（4）E由式（1）两边取旋度，得(H)J(E)t利用矢量恒等式，(H)2H(H)所以2H(H)J(E)将式（2）和式（3）代入上2HJ(H)tt故得2H2HJ（5）t2同理可得22EJ1（6）Et2t式（5）式（6）则为所求的有源空间中E和H所满足的颠簸方程，是非齐次波动方程。17．在应用电磁位时，假如不采纳洛仑兹规范条件，而是采纳库仑规范条件，即令A0，导出A和所满足的微分方程。解：将电磁位定义代入麦克斯韦方程，利用算子的二阶运算恒等式将所得式子简化，而后引入库仑规范条件即可获取A和所满足的方程即BAAEt代入麦克斯韦方程，DHJt得H1(A)JEJ(A)ttt由恒等式A(A)2A于是有(A)2AJ()2A2（1）tt2又将电磁矢量位和标量位代入D得E(A)t即2A（2）t令A0代入（1）和（2）得2A2A2J（3）t2t2（4）（3）和（4）式即为在库仑规范条件下的电磁位所满足的微分方程。18．海水的电导率4Sm，在频率f1GHz时的相对介电常数r81。假如把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，比方铜，r1,5.7107Sm，比较在f1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽视的。写出H的微分方程。解：对于海水，写出H的微分方程为HJjDEjEj(j)E即把海水视为等效介电常数为c的电介质。代入给定的参数得Hj2109(81109j249)E3610j(4.5j4)E(4j4.5)E对于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度E。故位移电流与传导电流的幅度之比为2f2f1109r0361079.751013f5.7可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽视不计的。故对于铜，的微分方程为HE5.7107E19．给定标量位xct及矢量位Aex(xt)，式中c1。c00（1）试证明：A00；t2）求B、H、E和D；3）证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。解：（1）Ax(x1At)c00xxc(xct)c1tt00故00t00(1)0000则A00t（2）BAeyAxezAx0zyBH00而EAexxex(xt)ttcext(xct)ex0D0E0（3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。无源、无消耗媒质中的电场矢量为VE(x,z,t)eyEmcos(tkxxkzz)1）求与E相伴的磁场矢量H(x,z,t)；2）谈论E、H存在的必需条件。解：维系电场和磁场是麦克斯韦方程，求解就从麦克斯韦方程下手。在无源（J0,0）、无消耗媒质（0）中，麦克斯韦方程为HEtEHt0E0（1）由EH得tH11exEyezEy)tE(zx1[ex(Emcos(tkxxkzz))ez(Emcos(tkxxkzz))]zx1[exkzEmsin(tkxxkzz)ezkxEmsin(tkxxkzz)]将上式对时间t积分，得H(x,z,t)1[exkzEmcos(tkxxkzz)ezkxEmcos(tkxxkzz)]（2）要使H、E作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在，表示式中的相关参数、kx、kz和媒质参数、一定满足必定的关系。将求出的H代入HE得tE1H1HxHz)tey(xzeyEm2sin(tkxx2sin(tkxxkzz)][kzkzz)kx将上式对时间t积分得Em122)cos(tkxxkzz)Eey(kxkz可见，欲使得出的H、E矢量作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在的必需条件为2(k2xk2z)k2