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理论力学教程周衍柏第三版课件

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理论力学教程周衍柏第三版课件理论力学教程(第三版)周衍柏编高等教育出版社1§0.1力学的研究对象力学(mechanics)的研究对象是机械运动(mechanicalmotion)经典力学研究在弱引力场中宏观物体的低速运动力学:运动学、(静力学)、动力学•••Natureandnature’slawlayhidinnight:Godsaid:letNewtonbe!Andallwaslight!2理论力学与普物力学的关系•••理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样理论力学用高等数学方法处理物理问题分析力学•3理论力学的任务研究物体机械运...

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理论力学教程(第三版)周衍柏编高等教育出版社1§0.1力学的研究对象力学(mechanics)的研究对象是机械运动(mechanicalmotion)经典力学研究在弱引力场中宏观物体的低速运动力学:运动学、(静力学)、动力学•••Natureandnature’slawlayhidinnight:Godsaid:letNewtonbe!Andallwaslight!2理论力学与普物力学的关系•••理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样理论力学用高等数学方法处理物理问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 力学•3理论力学的任务研究物体机械运动的一般规律理论力学的研究对象有限个自由度的力学体系质点刚体两个模型4理论力学研究的条件宏观低速下①质量不变②绝对时间③绝对空间5*vc*物体的尺度原子,分子尺度理论力学的学习••预备知识:普通力学+高等数学以公理、定律为依据,应用数学推演的方法导出其他定理和结论偏重于问题的提出、求解严格基础训练、强化现代技术应用注重问题的延拓分析培养科学精神••••6科学是一种方法,它教导人们:一些事物是怎样被了解的,什么事情是已知的,现在了解到什么程度(因为没有事情是绝对已知的),如何对待疑问和不确定性,证据服从什么法则,如何去思考事物,做出判断,如何区别真伪和表面——理查德.费曼现象。参考书梁昆淼.梁昆淼.赵凯华.卢德馨.力学.力学.力学.( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf )第四版,高等教育出版社,2009(下册)第四版,高等教育出版社,2010第二版,高等教育出版社,2004大学物理学.第二版,高等教育出版社,20037§0.2理论力学的内容结构矢量力学(即牛顿力学)+分析力学矢量力学是以牛顿运动定律为基础,从分析质量和物体受•力情况,由此探讨物体的机械运动规律.在矢量力学中,涉及的量多数是矢量,如力、动量、动量矩、力矩、冲量等.力是分析力学中最关键的量.分析力学以达朗贝尔原理为基础,从分析质量和质量系能量情•况,由此探讨物体机械运动规律.分析力学中涉及的量多数是标量,如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和势能是最关键的量.8§0.3力学简史牛顿力学的建立:在哥白尼(日心说)推翻了托勒密的地心说,和在第谷布拉赫积累的天文观察 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 基础上,开普勒发现了行星三定律——总结万有引力定律,牛顿总结了三定律(《自然哲学的数学原理》,1687).分析力学:(1788)拉格朗日力学建立(至此认为力学天衣无缝).近代力学:19世纪末、20世纪初出现了经典力学无法解释的矛盾.1)高速(与c比):相对论(爱因斯坦);2)微观粒子:量子力学(薛定谔);3)纳米技术:0.1~100nm尺度起关键作用(原子直径10-10m;人头发10-4m;人100m).9•••§0.4力学单位制物理理论组成:概念、概念的数学表示假定、方程组(物理量的关系)单位制通过以下步骤建立:••选出几个相互独立的物理量作为基本量;选取可以直接测量的物理量.通常基本量都是1.由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量(导出量)的关系式(称为导出关系式).确定出基本量的单位(基本单位);力学常用基本量为长度:米(m)、质量:千克(kg)、时间:秒(s)102.3.由导出关系式确定出导出量的单位(导出单位);基本量的量纲为其本身,并 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 用基本量的符号的正体大写字母作为基本量的量纲的符号.导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示.单位制:按照上述方法制定的一套单位.常用单位制:MKS、CGS、自然单位制.单位制制订要考虑不易变化以及测量的方便程度.4.5.6.•••1112时间(time)的计量以前定义:1秒为地球绕自身轴线转动一周(1天)的1/86400.目前时间标准:1秒的长度等于与铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9192631770倍.未来定义:原子氢微波激射器?因为它比铯原子钟稳定度高100倍.•••13时钟的改进14长度(length)的计量空间反映物质运动的广延量,在三维空间里位置可由三个相互独立的坐标来确定.空间中两点间的距离为长度.1889年,第一届国际计量大会:法国国际计量局铂铱合金棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米.1960年,第十一届国际计量大会:采用氪86原子橙黄光波长的1650763.73倍定义为1米,实现了自然基准.1983年,第十七届国际计量大会:1米定义为光在真空中传播(1/299792458)秒的时间间隔内所经路程的长度.••••15质量(mass)的计量物体所含物质的多少.惯性质量引力质量1889年,第一届国际计量大会:1千克质量的实物基准是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的、直径和高均为39mm的铂钇合金圆柱体,称为国际千克原器.未来标准:是否采用自然基准?•••••16物质世界的层次和数量级17物质世界的层次和数量级micronsecond,usnanosecond,ns18目前已知质量范围已知宇宙银河系地球人灰尘烟草花叶病毒质子电子1053kg2.21041kg6.01024kg6.0101kg10-10kg10-13kg10-27kg10-31kg6.72.31.79.119力学量的单位20力学量MKS制CGS制工程制长度质量时间速度加速度力动量冲量功,能m(米)kg(千克)s(秒)m/s(米/秒)m/s2(米/秒2)N(牛顿)kgm/sNsNmcm(厘米)g(克)s(秒)cm/s(厘米/秒)cm/s2(厘米/秒2)dyn(达因)dynsdynserg(尔格)m(米)kgf/(ms2)s(秒)m/s(米/秒)m/s2(米/秒2)kgf(千克力)kgfskgfskgfmgcm/s§0.5量纲(dimension)在不考虑数字因子时,表示一个物理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子,称为这个物理量的量纲.在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和时间,它们的量纲分别为L、M和T.••任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ,式中,为量纲指数.,•21量纲分析——定理设我们在选定单位制中的基本量数目为m,它们的量纲为X1,X2,…,Xm.用[P]代表导出量P的量纲,则XamXa1Xa2[P]12m上式取对数ln[P]a1lnX1a2lnX2amlnXm把lnX1,lnX2,…,lnXm看做m维空间的“正交基矢”,则(a1,a2,…,am)相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.22定理P1,P2,,Pn设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量),而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m个无量纲的量函数关系式.在物理量之间存在的P,P,,PΠ1,Π2,,Πnm12nf(P1,P2,,Pn)0可表达成相应的无量纲形式F(Π1,Π2,,Πnm)0Π1ΦΠ2,,Πnm或者从上式把Π1解出来:n=m的情况下,有两种可能.若P1,P2,,Pm的量纲彼此独立,则不能由它们组成无量纲的量;如不独立,则还可能组成无量纲的量.23例1虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲,但大量粒子撞击的平均效果就是均匀而持久的压力.如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁,并大小一样,皆为v.粒子质量为m,单位体积内的粒子数为n.试导出墙壁受到的压强与上述三个物理量之间的关系.这是一个力学问题,有三个基本量,质量、长度和时间,即m=3.本题涉及的物理量:n,m,v,P(m=4)的量纲分别为:解:ln[n]0lnM(3)lnL0lnT0lnTln[m]1lnMln[v]0lnM0lnL1lnL(1)lnT(1)ln[P]1lnM(1)lnL(2)lnT由于只有3个基本量,相当于3维基矢空间,所以上述4个量只有3个是线性无关的.设前3个是无关量,则有24ln[P]x1ln[n]x2ln[m]x3ln[v]将(1)式代入,则有1lnM(1)lnL(2)lnTx1[0lnM(3)lnL0lnT]0lnT]x2[1lnMx3[0lnM0lnL1lnL(1)lnT]由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,0x11x2(3)x10x20x10x201x31x31(1)x32x11,x21,x32求解上述方程组,得到25于是我们得到ln[P]1ln[n]1ln[m]2ln[v]从而得到Pknmv2k是一个无量纲的数学常数,根据具体情况不同,k可能变化,而压强与这三个物理量的关系是不变的.总结:利用量纲分析,虽然不能完全定量的给出物理问题的答案,但是能够对物理问题提供一个简便的分析思路,甚至不需要知道定律和物理机制的细节.26例2解:用量纲分析法证明勾股定理直角三角形的面积A可由它的一边(例如斜边c)和一个锐角(如)所决定.是无量纲的,所以Ac2Φ()如图,作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形,它们各有一个同样的锐角,故它们的面积应分别为Aa2Φ(),Ab2Φ()1由A=A1+A2得2cac2Φ()a2Φ()b2Φ()c2a2b2消去(),即得b这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.27§0.6微积分预备知识常见函数的导数1ndydxxnynxn1y'dxdydxdsinxysinxy'cosxdxdydxdcosxycosxy'sinxdxdxdlnxdxdydx1xylnxy'xdydeexyexy'dxdx28导数运算定理2ddudvu(x)v(x)dxddxdxdudvu(x)v(x)v(x)u(x)dxdxdxdudvu(x)v(x)du(x)dxdxv(x)2dxv(x)ddudvuv(x)dxdvdx293常见函数的幂级数展开式函数展开式收敛范围x)1/2x)3/2x)5/2x)1/2x)3/2x)5/2x)1x)2x2x2x2x3x3x3x4x4x4(1(1(1(1(1(1(1(1111x111131135111111111xxxxx24312463112468311323xx252453246531246853112424613524682x2x2x2x2x3x3x3x4x4x4111x131357124246246823xx353573579224246246857579579115x2424624682x3x41xxx12x3x24x35x430x31x51sinxcosxx1x4171x3!5!x2x61x31x2!4!6!x5x2x7x9tanxx1262x3153152835exln(1x3x411xx1111x1!2!3!4!x2x3x4111x1x)234xx2x3x4ln(11111x1x)234314基本不定积分公式函数不定积分f(x)f(x)dxn1xxn(n1)Cn1cosxCsinxCsinxcos1xln|x|CxexexC325积分运算定理(i)如果f(x)(a是常量),则au(x)dx=au(x)f(x)dx(ii)如果f(x)=u(x)v(x),则f(x)dxu(x)dxv(x)dxu(v)v′(x),则u(v)v'(x)dx如果f(x)=(iii)u(v)dvf(x)dx33§0.7矢量基本知识•标量(scalar):物理学中像质量、密度、能量、温度、压强等,在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小的物理量.•矢量(vector):像位移、速度、加速度、动量、力等,除数量大小外还有一定的方向,并遵从一定的合成法则与随坐标变换的法则的物理量.zAAxiAyjAzkAxAcos,cos2cos2AyAcos,AcosAzAcos2k1Axyy342222AAxAyAzjxiAzA1矢量的加减法A1,A2,,AnB1,B2,,Bn,则考虑n维矢量ABA1,A2,,AnB1,B2,,BnA1B1,A2B2,,AnBnBA(交换律)ABBAABCABC矢量的标积(结合律)2A和B是两个任意矢量,它们的标积定义为AxBxAyByAzBzABABcosBAABAB(交换律)(分配律)ABCABAC35矢量的矢积3A和B是两个任意矢量,它们的矢积定义为AB(AyBzAzBy)i(AzBxAxBz)j(AxByAyBx)kiAxBxjAyBykAzBzCABsinCABBABBA(反交换律)AABCABAC36矢量的三重积物理学中经常遇到矢量的三重积,常见的两种4ABC(i)三重标积AxAyAzABCBCACABABCBBBxyzCxCyCzABC(ii)三重矢积ABCACBABC显然这个矢积还是在矢量B和C平面内.37第一章质点力学§1.1运动的描述方式§1.2速度、加速度的分量形式§1.3平动参考系§1.4质点运动定律§1.5质点运动微分方程§1.6非惯性系动力学(一)§1.7功与能§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒定律§1.9有心力第一章部分作业解答第一章质点力学1质点运动学+质点动力学2运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括:1.建立物体的运动方程2.分析运动的速度、加速度、角速度、角加速度等3.研究运动的分解与合成规律3质点运动学导读参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度自然坐标系,切向、法向加速度•••••相对运动,绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度4§1.1运动的描述本节导读质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度•••51质点具有一定质量的几何点自由质点:可以在空间自由运动的质点.确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立变量.2参考系坐标系参考系:为描述物体的运动而选取的参考物体坐标系:用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统63位置矢量与运动方程z位置矢量(位矢)从坐标原点O出发,指向质点所在位置P的一有向线段位矢用坐标值表示为P(x,y,z)rOyxrxiyjzk位矢的大小为x2y2z2yrxzcos,cos,cos位矢的方向rrr7运动方程rx(t)iy(t)jz(t)k参数形式xyzx(t)y(t)z(t)轨道方程F(x,y,z)084位移zABr设质点作曲线运动rArBt时刻位于A点,位矢rAt+t时刻位于B点,位矢OrByx质点相对于某参考系运动时,位置连续变化.在给定时间内,联结质点初位置A和末位置B的直线,并从A指向B加上箭头,叫做质点在给定时间内的位移.9rrBrAAB5速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量定义:单位时间内质点所发生的位移zA(1)平均速度BrrArB(2)瞬时速度Oyrlimdrms1vtdtt0x速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向.10rvmstvvxivyjvzksB222vvvxvyvzArlim(3)速率tdt一般情况:因此rsv则rdrdsvv当t0时:11vvsdst0v1z6加速度加速度是反映速度变化的物理量v2O平均加速度y瞬时加速度xkijdvydvxdvdtdvzav1dtdtd2ydtvkijd2xd2zv2dt2dt2dt2222axayaaz12axiayjazkvms2ta运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括:1、建立物体的运动方程2、分析运动的速度、加速度、角速度、角加速度等3、研究运动的分解与合成规律质点运动学导读参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度自然坐标系,切向、法向加速度•••••相对运动,绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度.§1.2速度、加速度的分量表示式本节导读直角坐标系中位移、速度、加速度表示极坐标系中位移、速度、加速度表示切向加速度与法向加速度•••1直角坐标系位置矢量rxiyjzk速度表示dzkxiyjrvdt加速度表示dvxiyjzkadt运动学的两类问题(1)已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及加速度dd2drdvdrdrtvar2dtdtdt(2)已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程vtdvadt,vdvtadt00rtdrvdt,rdrtvdt00r2ti192tj2例1已知质点的运动方程求(1)轨道方程;(2)t=2s时质点的位置、速度以及加速度;(3)什么时候位矢恰好与速度矢垂直?y192t2解:(1)x2t,1x2y19消去时间参数222i19222j(2)4i11jm/srt2drv2i8jv2i4tjt2dt882arctan7558228.25vm/s22d4jdv2i4tjravdtdta4ms-2方向沿y轴的负方向rv2ti192t2j2i4tj(3)2)24t4t(192t4t(2t18)8t(t3)(t3)0t10(s)t23(s),两矢量垂直例2路灯距地面高度为h,身高为l的人以速度v0在路上匀速行走.求(1)人影头部的移动速度;(2)影长增长的速率.解:(1)x2x1x2l(hl)x2hhx1两边求导:(hl)dx2dx1hdtdtdx1dx2hv0其中:v,vv0dtdthllOx1x2xhbx2x1(2)令为影长ldbdtldx2bx2vhhdtdxhv20以代入hldtlv0v得hl设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑例3动,而B以匀速度c运动.求尺规上M点的轨道方程,速MB=b,角OBA为.度及加速度.其中MA=a,解:由图知,M点的坐标为yBxbsin,acosy消去,得轨道方程bx2y2M1ab2a2yxAO速度分量为bcos,asinxyxy1(ab)cosx10,因B点坐标为b)siny1vB(a1ccsinabbcacxcot,y故M点速度分量abab故M点加速度分量242bcbcbc123xcscbcsc--ab2ab2x3ay0例4当猴子从最高点自由下落时,射手瞄准射击,问能否击中目标?分析:猴子和子弹都有重力加速度.可以用二维空间描述位置.解:取枪口作参照点,猴子初始位置r0,子弹初速度为v0.则时刻t猴子和子弹的位置为r022rcr01gt,rbv0t1gth0v022dorcrb,r0v0t击中的条件r0rcrb,r0v0th0v0这说明只要开始瞄准就可以击中猴子。但是有没有限制条件?do分析击中需要的时间和击中时的竖直位置d2h2h2d2)g(00t,hh100cv2v2h000gh0d22v2显然只有时才可能击中02h0极坐标系2极坐标系:空间P的位置(r,)当P沿着曲线运动,速度沿轨道的切线.vjiPcrrri沿矢径方向O极轴drdriririvdtdti'diidjj'当d趋向0时,i,i',di组成的等腰jddQ三角形两个底角接近直角,所以jiPr2i,didjjcr1ddidjOd,d极轴idjdi从而iQdidijjdiPdddtdtddjdjOiddtdtrrivjrrij为径向速度,为横向速度dvdridrja加速度dtdtdtirijdrdridirrjdtdtdrdtdjjddrjjrrdtdtdtdt2rrjriarrr2i2r1drjrrij22rdt小结:rrivjrjri为径向速度,为横向速度dvdridrjadtdtdtr2rar1dr22rrardt3自然坐标中的速度和加速度在质点的运动轨迹上,任取一点O作为坐标的原点。从原点O到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P点的坐标。sPsOssQsP自然坐标之差路程:坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。enetPssQOenetet规定:切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正,单位矢量为en法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正,单位矢量为dsdr因为vdrdtdsdsdt速度:vetsPQ速率:vvdtvt加速度:vvtvnvvvvvnlimlimtnaattvt0t0v2dvdveaeattnndt全加速度:全加速度的大小:atan全加速度的方向:arctananat22aanat例5一质点沿半径为R的圆周运动,其路程s随时间sbtct2,2式中b,c为大于零的常t的变化规律为数,且b2Rc.求(1)质点的切向加速度和法向加速度;(2)经过多长时间,切向加速度等于法向加速度.ds解:(1)vbctdtdv22(bct)vcaatndtRR(2)bRanattcc运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括:1、建立物体的运动方程2、分析运动的速度、加速度、角速度、角加速度等3、研究运动的分解与合成规律质点运动学导读质点、参照系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度自然坐标系,切向、法向加速度•••••相对运动,绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度.§1.3平动参考系本节导读相对运动绝对(加)速度相对(加)速度牵连(加)速度••••yvy´S´PrSx´O´r0rxOrr0rvvvv车做匀速运动时车上车做匀速直线运动时,(a)(b)的人观察到石子做直线运动地面上的人观察到石子做抛物线运动ySrSrvxr0xrrr0drdrdtdr0两边求导dtdtydr绝对速度:vS物体相对于系的速度dtdr0牵连速度:vS系相对于S系的速度0dtdrv相对速度:物体相对于S系的速度dt小结:yvy´S´drdrdtdr0PrSx´dtdtO´r0rxOdvdvdtdudt0dtvxbvabvaxaaavuv例1某人骑自行车以速率v向东行驶.今有风以同样的速率由北偏西30°方向吹来.问:人感到风是从哪个方向吹来?解:vvv0v0北偏西30°vv例2求抛体轨道顶点的曲率半径v0cosg解:在抛物线的顶端处,速度只有水平分v0量v0cos,加速度g沿法向的.所以ang是vcos2vcos2x200m曲率半径为gan8ym式中xm和ym分别是射程和射高.例3已知:小船M看成质点,被水冲走,用绳拉回A点,设水流速度c1,拉回速度c2.求:小船的轨迹.分析:注意c1、c2都是绝对速度.解:采用极坐标c1Mcr1c2dr径向cA2dtdccos(900)r横向1dtdrc2cscd解微分方程:两式相除rc1积分c2lnrlntancc12c2k,令c12设初始条件:0,rr0,=0tkkcot0rr0tan得轨道方程:uv例4当人站在岸上以速度v匀速拉动何种小船时,求小船的运动速度和加速度.x2l2h2解:l2h2xXX1ixdxi1dlh2)2(l2xu2ldt2dtvilul2h2i22duvhax3dtLlhhuv质点运动学小结质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道位移、速度、加速度•••yj直角坐标系1rxizkdzkxiyjrvdtdzkxiyjvadt极坐标系2rrivj径向速度,横向速度dvdridrjadtdtdt1rdrr2,a2rr2radrrdtds3自然坐标系vetdtdtdvv2dvevaanenttdt相对运动4yvy´S´drdrdtdr0PrSx´dtdtO´r0rxOaaa0vuv运动学的两类问题(1)已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及加速度ddd2drdvrdrtvar2dtdtdt(2)已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程vtdvadt,vdvtadt00rtdrvdt,rdrtvdt00动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括:1.动力学第一类问题——已知系统的运动,求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力,求系统的运动.牛顿IssacNewton(1643-1727)杰出的英国物理学家,经典物理学的奠基人.他的不朽巨著《自然哲学的数学原理》总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果.他在光学、热学和天文学等学科都有重大发现.§1.4质点运动定律本节导读牛顿三定律、惯性、力惯性系、非惯性系、惯性力力学相对性原理、伽利略变换•••1牛顿运动定律牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用时,都将保持静止状态或匀速直线运动状态.——惯性定律惯性:物体保持其运动状态不变的性质力:物体间相互作用它不仅说明了物体具有惯性的性质,还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系——惯性参考系惯性系与非惯性系Tax´Fmg牛顿定律成立的参考系惯性系非惯性系相对于惯性系作加速运动的参考系y´dp牛顿第二定律FdtpmvFFi动量:i注意:质点惯性系瞬时性矢量性牛顿第三定律FbaFab注意:作用力和反作用力施加在两个不同的物体上,它们属同一性质的力,并互以对方的存在为自己存在的前提.它们同时产生,同时消灭,相互依存,形成对立的局面.例鸵鸟是当今世界上最大的鸟,有人说它不会飞是翅膀的退化.但是如果它长一副和身体成比例的翅膀,它能飞起来吗?解:飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重.空气CSv2上举力(与空气阻力一样的公式)为:f式中C为比例常数,S为翅膀的面积,飞翔的条件mgmgf,即vCS我们作简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为l,质量m~l3,S~l2,于是起飞的临界速度vlc燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍,这是飞机的起飞速度,鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.思考问题:•拔河比赛胜负的关键是什么?摩擦力的大小,大者赢•马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向拉开的,如果一端拴在固定物上,另一端需要几匹马,才能拉开半球?还是8匹•大人国是否能够存在,利用几何相似性分析之.不可能,重力就会压坏他.2力学相对性原理和伽利略变换(i)力学相对性原理力学定律的数学形式在一切惯性系中不变.对于描述力学规律而言,一切惯性系都是平权的、等价的.在一个惯性系中所做的任何力学实验,都不能判断该惯性系相对于其他惯性系的运动.舟行不觉《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》伽利略1632牛顿的绝对时空观(ii)绝对的空间,就其本性而言,是与任何外界事物无关而永远相同和不动的.绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着,而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无关地流逝着.——牛顿长度的量度和时间的量度都与参考系无关!?伽利略变换(iii)yyPS'Svt在两个惯性系中考察同一物理事件OzxxO'zss两个惯性系:一物理事件:质点到达P点(x,y,z,t)两个惯性系的描述分别为:(x,y,z,t)yy两个描述的关系称为变换PS'Svttt0,坐标原点重合OzxyzxxO'xyzzvtxyzxvtyz正变换逆变换tttt伽利略变换中默认了绝对时空dxdd(xvt)速度变换:(xvt)dtdtdtuxuyuzuxuyuzvuuvx轴方向有相对匀速运动空间有相对匀速运动aa加速度变换:经典力学规律具有伽利略变换不变性:S系:FmaS系Fma:小结牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用,都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律Fdp牛顿第二定律dtFipmvF动量:i注意:质点惯性系瞬时性矢量性牛顿第三定律注意:二力同性质,共存亡,分于两物,处于同一直线.FabFba力学相对性原理力学定律的数学形式在一切惯性系中不变。yy伽利略变换PS'SxxvtvtxyzxyzvtyztyzOzxxO'zttt正变换逆变换aauuv第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括:1.动力学第一类问题——已知系统的运动,求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力,求系统的运动.§1.5质点运动微分方程本节导读运动微分方程的建立运动微分方程的求解••建立运动微分方程Fr(t)1.自由质点2drdrmF(r,,t)dt2dt解微分方程:(1)受力分析万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.(2)化为标量方程mxF(x,y,z,x,y,z,t)直角坐标系•xFy(x,y,z,x,y,z,t)Fz(x,y,z,x,y,z,t)mymzm(rr)Fr(r,,r,,t)平面极坐标•m(r2r)F(r,,r,,t)mdvFtdtv2•自然坐标Fnm0Fb(3)初始条件t0,rr0,vv0(4)求解运动方程xx(t)y(t)r(t)ryzz(t)2.非自由质点解决方法:去掉约束,用约束反作用力代替•d2dRrr•运动微分方程F(r,m,t)dt2dt•解方程与自由质点一样•注意(1)R一般未知,加约束方程(2)用自然坐标系很方便R光滑约束,约束力在轨道的法平面内1)dvenmFt(1)Fdt2vm0FnR(2)netebFbRb(3)(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.非光滑约束2)dvmFtRt(1)22RtRNRnRb2dtv222RRRRmFnRn(2)tnb0FbRb(3)4个方程4个未知数,可解例1力仅是时间的函数.ExE0cos(t)自由电子在沿x轴的振荡电场中运动:eE0cos(teExFx)电子受力:d2xFxm由2dt2dxeEcos(t)m0dt2dveEcos(t)m0dtvt积分eEdv00cos(t)dtmv0得eE0eE0sinsin(t)vv0mmdxeE0eE0sinsin(t)v0mdtmxteE0eE0sinsin(t)]dtdx[v0mmxt00eE0eE0eE0cos(vsin)tcos(t)xx00m2m2m例2力是速度的函数.在具有阻力的介质中运动的抛射体mg,R••分析:受力运动微分方程mrmgR•用自然坐标系分解(运动方向为正)dsdvR(v)mgsinmddt2mvmgcosdvdvdsvdvdtdsdtdsdvR(v)mgsinmvdsv2mgcosmdsdR(v)mgsin1dv两式相比vdmgcosf()v可解出因此22()]dxdxdsv[fcosxx()ddsdgg22tan()]dydydsv[fsintanyy(ddsdggvvsecf()secdtdtdstt()ddsdgg消去参量可得运动方程例3力是坐标的函数.kxxikyyjF(x,y,z)kzzk原子在晶体点阵中的运动mrF(x,kxxkyykzzy,z)运动微分方程:mxmy直角坐标分解:mzkx2Axx0,0,txx初始条件:令xmxAxcos(xtx)Aycos(yty)Azcos(ztz)可解得yz受迫振动mxbxkxF(t)LRC电路1LqRqqE(t)C例4质量为m的质点,在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落,如阻力与速度成正比(mkv),试求运动方程.解:受力Amg、R运动微分方程xmkvmgmrRh建一维直角坐标系,分解mgmxmxdxmgmgRmkxgkxdtPO积分xtdx0xdt0(1ekt)gkxg速度kt0dxhg(1ekt)dt0kgg(1ekt)运动方程xhtk2kgx讨论:t增加,匀速直线运动k例5小环的质量为m,套在一条光滑的钢索上,钢索x2的方程式为4ay.试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力.解:受力:ymg、RRmrmgR运动微分方程dvmgsinmmmg自然坐标,运动方向为正dtOx2vmgcosRR2mg解微分方程组可得小结r(t)F自由质点、非自由质点受力分析写出运动微分方程矢量式建立适当的坐标系分解标量方程解微分方程•••••第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括:1.动力学第一类问题——已知系统的运动,求作用在系统上的力。2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力,求系统的运动。§1.6非惯性系动力学(一)本节导读在加速平动参考系中的运动惯性力••TaFmg惯性系牛顿运动定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿运动定律不成立。非惯性系TamaQmgmaFS系:静系S'系:动系aaFaomamao于是移项mF(m)aaomaF(mao)在非惯性系中,牛顿运动定律表示为FQma物理意义惯性力反映参照系不是惯性系.惯性力不是物体间的相互作用,没有施力者,也不存在反作用力.惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现.•••例1升降电梯相对于地面以加速度a沿铅直向上运动.电梯中有一轻滑轮绕一轻绳,绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物(m1>m2).求(1)物体相对于电梯的加速度;(2)绳子的张力.m1gm1aTm1ar解:aTm2gm2am2ar(m1m2)(ga)a消去aTTrm1m22m1m2T(ga)21m2gmgm1m21Trmm2mama1第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括:1.动力学第一类问题——已知系统的运动,求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力,求系统的运动.§1.7功与能本节导读功、能量定义势能、动能保守力系•••1什么是能量?什么是功?麦克斯韦定义:能量是一个物体具有的作功能力.一般功的定义:物体能量改变的度量.循环定义!!所以必须先给出其中一个物理量确切的定义!(本教材定义)功:凡是作用在物体上的力,使得物体沿力的方向上移动了位置,就说力对物体作了功.一般来说,功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移.FdAFcosdrFdrdr功的单位:质点沿曲线LdAFJ从运动到b力所做的功:aFdrbdrFAdrFaLL(FxiFyjFzk)(dxidyjdzk)LFxdxFydyFzdzydAGdr例1重力的功adyj)y1mgj(dximgdybmydr2xGy1F例2弹性力的功FkxixxObx1x2Fx2x2xxkxdxAdxkxidxi111222A1kx21kx2mmaAmgy2dymgymgyy12例3平方反比力cadr万有引力、电磁力等rbrdrFraMMmGr0r3rbMmrbrAG0rdrcosrdrrdrrdr3rarbbdr11AG0MmrGMmAGMmG0Mm2rrraaab合力的功:FFdrLLLAdrFF12nF1F2FnLLdrdrdr合力的功等于各分力的功的代数和.功率:dFrdWPFvdtdt2能物体处在某一状态所具有的能量能量是状态量,功是过程量,是能量变化的量度1mv2机械能T动能2势能物体相对位置发生变化V3保守力、非保守力与耗散力假如力仅是坐标x、y、z的单值的、有限的力场:和可微的函数,则在空间区域每一点上,都将有一定的力作用着,这个空间叫做力场.如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度,即FijVVVkxyzVxVyVz则dAdzdxdy为一个全微分.显然物体在空间沿一条闭合曲线运动,这个力作功为零.Fdr0保守力:使物体运动,但沿任一闭合路径作功等于零的力保守力作功与路径无关例(i)重力y11(ii)弹性力112222(iii)平方反比力rrarbraa非保守力:作功与经历的路径有关的力(又叫涡旋力)作功与经历的路径有关,的力.例如:摩擦力但总是做负功耗散力:rbbdr11AG0Mmr2G0Mmy22Amgydymgy1mgy2A1kx221kx224势能函数VaVbAab在物体从位置a移动到b时,保守力作功为显然知道了V和空间位置,我们就知道了物体运动做功的大小.所以我们用V可以完全替代保守力的作功概念.这时引入势能函数的概念.势能:由相互作用的物体的相对位置所确定的系统能量称为势能rbAabFdr[V(rb)V(ra)]定义式:ra保守力作功在数值上等于系统势能的减少例:重力势能、弹性势能、引力势能.关于势能的几点说明•势能属于系统势能的大小只有相对的意义势能零点存在人为因素••取r0点为势能零点,则任意一点r的势能为:r0rFdrV(r)空间某点的势能V等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功.重力势能:mghV(h=0为势能零点)弹性势能:1kx2V(弹簧自由端为势能零点)2引力势能:Mm(无限远处为势能零点)GV0rFxx2yz52xyzxyz6F例1设作用在质点上的力是yFzxcossin求此质点沿螺旋线y运行自02πz7时,力对质点所作的功.FyFz解:力是否保守力?110yzFzFx220zxFyFx110yx力是保守力,作功与路径无关BWFxdxFydyFzdzA222xyz1,0,14πd(2xyxz5x6z)yz2221,0,098π270π势函数222xyzV2xyxzyz5x6z222例2接上题条件,若Fx2x3y4z5zx8xyz12FyFzF0可以证明做功与路径有关BWFxdxFydy226πFzdzA98π2不存在势函数小结dAFcosdr功、能量定义Fdr•dFFrdWPvdtdt势能、动能动能•12Tmv2物体相对位置保守力系•势能VFijVVVFdr0kxyz第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括:1.动力学第一类问题——已知系统的运动,求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力,求系统的运动.§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒定律本节导读动量定理与动量守恒定律力矩与动量矩(角动量)动量矩定理与动量矩守恒定律动能定理与机械能守恒定律势能曲线•••••牛顿运动定律:FmaFd(mv)dpdtdtdpFdtt,质点动量从p0p如果力的作用时间从t0ptptdpFdt001质点动量定理:质点在运动过程中,所受合外力的冲量等于质点动量的增量tp0mvIFdtpmv0t0FFdt1t平均冲力:Ftt0t0F(t)冲量:ItFtFdtpp0t0FtO动量守恒定律质点所受合外力为零时,质点的动量保持不变Fi0条件:pmv常矢量F0若则意义:质点不受外力作用时,动量保持不变.Fx0F0px分量形式:若但mx常量则动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一,它不仅适合宏观物体,同样也适合微观领域.2力矩与动量矩(1)对定点的力矩MFrOd设作用力F作用于矢径为r的某一点上F作用力对参考原点O的力矩定义为:单位:N·mMFrMFMrFrOdFrsinM力矩的大小:r力矩的方向:位矢与作用力的矢积方向F力臂:作用力线到参考点O的垂直距离(d=rsin)(2)对定轴的力矩对转轴力矩的定义:zMF在垂直于转轴的平面内,外力F与力线到转轴的距离d的乘积定义为对转轴的力矩.MrF力矩逆时针方向力矩顺时针方向M为正.M为负.对于定轴转动,规定:F//FrdFz(L)求作用力对空间某轴的力矩,Fz考虑分量,力对原点的力矩为rFyFxkzFzixFxjyFyyOMrFyFzFizFjxFyFkxFzyxzyx上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量,也就是力分别对三坐标轴的力矩.所以求力对轴的力矩,可以先求对轴上一点的力矩,再投影到轴的方向.(3)力偶如果两个平行力F2=-F1=F,但不作用在同一直线上,此时二者合力为零,但是对空间任何一点的力矩不为零.F2O2P为力偶面内的任何一点,则二力对P的总力矩值为AO1rBF1F2PO2F1PO1FO1O2力偶的任一力和两力作用线间垂直距离的乘积,等于两力对垂直于力偶面的任意轴线的力矩的代数和.M-FFO1O2称为力偶臂.力与力偶臂乘积为力偶矩.力偶矩是力偶唯一的力学效果,是矢量.但这个矢量可以用垂直力偶面的任一直线表示,方向用右手螺旋法则确定.由于力偶矩可作用于力偶面上任何一点,这种矢量是自由矢量.像力等不能改变作用线的矢量叫滑移矢量.(4)质点的动量矩定义:动量对空间某点或某轴的矩,叫做动量矩,也叫角动量J质点对O点的动量矩OrJrpmvrmvJrpsinmvrsin单位:kgzyxzyx·m2·s-1myzmzxmxy质点对轴的动量矩JJJxyx质点的动量矩定理3rJdJmv按动量矩的定义:drd(mv)mvr两边对时间求导:dtdtdtdFrd(mv)drvmv0,又其中,所以dtdtdtdJMrF动量矩定理:质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率.dttMdtJ2J1合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。质点的动量矩守恒定律:若质点不受力的作用,或者虽然受力但是合外力矩为零,则质点的动量矩守恒.MJ常矢量.dJ0,0,dtt21例1一质点所受的力,如通过某一个定点,则质点必在一平面上运动,试证明之.解:力所通过的那个定点叫做力心.如取这个定点为坐则质点的位矢r与F共线,二者的矢量乘为一常矢量.所以标系的原点,积为零,故Jm(yzm(zxzy)C1xz)C2(1)(2)(3)m(xyyx)C3用x乘(1),y乘(2),z乘(3),并相加得C1xC2yC3z0由解析几何,知上式代表一个平面方程,故质点只能在这个平面上运动.4动能定理和机械能守恒定律(1)动能定理2Fdr经过数学运算得到m牛顿方程dt2d1mv2Fdr单位:J质点动能定理微分形式21mv2T动能2质点动能定理:1122AmvbmvaTbTa22(2)机械能守恒定律如果一个系统只有保守内力内作功,非保守内力和一切外力都不作功,那么系统的总机械能保持不变.这个系统也常称为保守系.FV力是保守力11220VmvmvV(x,y,z)(x,y,z)0002211220V(x,y,z)V(x)mv,y,zmv00022第一积分或初积分Gx(x,y,z,x,y,z,t)常量如果方程•对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程,就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分.数学上:二阶微分方程降为一阶物理上:力学量G是一个守恒量物理意义明显的初积分:动量守恒、动量矩守恒、能量守恒由初
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