傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明ThismanuscriptwasrevisedbytheofficeonDecember22,2012傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号咧和训的傅里叶变换分别为创和珥讪F[f1(t)]=F1(cy)?F[f2(t)]=F2(CW)则对于任意的常数a和b,有F[af1(t)+f2(t)]=aF1(cy)+bF2(cw)将其推广,若珂i=lA3……也则其中这为常数，n为正整数。由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即恤)W(f)]叠加性表明，儿个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和妣②+触)卜呗)]+屯⑵]2.&2反褶与共轨性设f(t)的傅里叶变换为砒⑹工了""滋=弘)，下面我们来讨论信号反褶、共轨以及既反褶乂共辄后，新信号的傅里叶变换。反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为共轨既反褶又共轨本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(~t),h(t)=g*(t),则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即(2-33)显然|尸3)|=亦心)+尸何?qXcd)=arctan根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。(1)f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得()f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X@)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X(3)二0，于是^)=2f；/®coS^可见，若f("是实偶函数，则F()也是实偶函数，即F(-ro)=F(co)=F*(©)左边反褶,右边共轨Of(t)是实的奇函数,B|J-f(t)=f(-t)R@)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R@)二0,于是可见，若f(t)是实奇函数，则F@)是虚奇函数,即()^-8'Cflo了CI'floCI左边反褶，右边共轨有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知则有证明：因为于杲f(-t)=^-£F如叫a上式右边是傅里将变量t与互换，再将2乘过来，得叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以F[F(t)]=2Jif(-w)若f(t)为偶信号,即f(t)=f(-t),则有F[F(t)]=2f(®)从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立一一即f(t)的频谱是F@),F(t)的频谱为f@)。若f(t)为奇信号,即f(t)=-f(-t),则有利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。例2.2试根据FT的对称性，利用沖戲信号的傅里叶变鉄来我直流信号的傅里叶变换。解：己知冲激信号的俾里叶变换为玖药⑴皿，将E视为常数函数，它是偶函数，根据FT的对称性，得F[E]吃咂运@)。例2冷试根据FT的对称性，利用矩形脉冲信号的傅里叶变换来求解S遍数的磚里叶变换.解：己知矩形脉冲信号的傅里叶变换为/、^[SG^i)]=Er:Sa—I2丿根据FT的对称性>可猖2nEG^(a))若令弋二2、E=1■则F[诚)]=加2(劲即S趣数的FT星脉宽为2、脉高为p的矩形脉沖.矩形脉沖信号波形与频谙、S邇数的波形与频谙如下因所示.2.6.5尺度变换若F[f(t)]=F(3)这里a是非零的实常数。下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。证明:因为at二x,1严1®刃才（加）1二心一F（_）当a>0时cz心aa当a<0时a"aa上述两种情况可综合成如下表达式:由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的l/a°尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于a二-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。2・&6时间平移（延时）下面进行证明证明:上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,于是可以得到F[f(t-tJ]=FS)/S同理可以得到F[f(t+tJ]=F(劲/讥2・&7时域微分若F[f(t)]=F(«),则证明：因为昭石匸％0%,两边对t求导,可得所以j应(少)同理，可以推出寸谓SE由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F@)乘以(j)n.下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求岀(t)的FT2.6.8频域微分若F[f(t)]=F(w),则(fCD证明：因为石恥"「曲浪叫两边分别对3求导，可得所以严件©卜(-丿必)2.6.9时域积分可见，这与利用符号函数求得的结果一致。频域积分若F[f(t)]二F@),则有证明：弘）卫住7）矶尹滤」〔卷积和FT的定文）咬鉄积分次序〕^（ov2（o］=£［£二匸齐⑴［匸『2建-町厂叫dx=匚兀（伍）［列花（纵如血血定义及其时移特性］=F［f2（t）］［°久（硏八3念庆于积分变量的常函数提岀来）=巩加］•恢）］=巩齐⑹•”［£（◎］皿）由上可见，两个时间函数卷积的频谙等于各个时间函数频谙的乘积』也就是说，两信号时域卷积等效于频谙相乘Q频域卷积定理与时域卷积定理类似，F/e-^（f）］=⑹证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说,两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2o显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。若F[f（t）]=F（«）,则这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求匸阻）（「1sT=I了⑵尸9）严為dt■■03ZJfj(IV匸1-^1-^（IFT定兴）（交换积分秋序）式中L『（圳是信号f（t）的总能量,IF的|2为信号f（t）的能量谱密度。（FT定义）帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f（t）|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量IF⑷）上/2在整个频率范围内积分來得到。此定理也可以如下证明。由相关性定理可得取t二0,即得帕斯瓦尔定理。