立体几何截图和作图

立体几何专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (1)☆多面体的截面多面体的截面在课本P59─例3、P63─B─1处体现。一、定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．二、作多面体截面1． 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (交线法)．该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．2．作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件．(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．三、作图题型1°截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有两点在同一个面的棱上．作图题1．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面．作法：(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线交于L、M．(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K．(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H．(4)连结KE、FH．则五边形EFHFK即为所求的截面．作图题2．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．作法：(1)连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．(3)连接RS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。作图题3．已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。作法：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。作图题4．如图，五棱锥P―ABCDE中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面．作法：(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P―BST．(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K．(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L．(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N．(5)连结FN、MH．则五边形FGHMN即为所求的截面．2°截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上，其余点在棱上．作图题5．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F在两条棱上，G在底面A1C1内，求过E、F、G的截面．作法：(1)过E、F作辅助面。在面BC1内，过F作FF1∥BB1，交B1C1于点F1，则面AFF1A1为所作的辅助面．(2)在面AFF1A1内，延长F1A1交FE的延长线于P．(3)在面A1B1C1D1内，连接PG交A1B1于M．并延长交B1C1于M。(4)连结ME并延长与BA延长线交于Q，连接QF交AD于H．(5)连结EH，FN．则五边形EHFNM为所求的截面．作图题6．已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1内，Q在面A1ADD1内，R在棱BB1上，画出过P、Q、R三点的截面。作法：(1)过P作PP⊥CD于点P，过Q作QQ⊥AD于Q。(2)在底面ABCD内连接AP、BQ，并交于H。(3)由平行线QQ、RB作平面QQBR，连接QR。(4)在平面QQBR内过H作KH⊥面ABCD交QR于K。(5)由平行线PP、AA1作平面PPAA1，则K必落在面PPAA1内。(6)在面PPAA1内，连接PK，并延长交AA1于M。(7)在面A1ADD1内，连接MQ，并延长交DD1于S。(8)在面D1DCC1内，连接SP，并延长交CC1于T。(9)连接RT、RM。则多边形SMRT即为所求。3°截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在多面体内．作图题7．试画出过正三棱柱ABC―A1B1C1的底边BC及两底中心连线OO1中点的截面。作法：(1)过A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，则D、D1分别为BC、B1C1的中点。(2)在平面A1AM内，作直线DM交上底面A1B1C1于点G。(3)在平面A1B1C1内，过G作EF∥B1C1交A1B1于E，交A1C1于F。(4)连接BE，CF。则多边形BCFE为所求。作图题8．在侧棱和高的夹角为α的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(α＜45°)。作法：(1)在平面SAC中，作AE⊥SC于点E。(2)在底面ABCD内过A作a∥BD。(3)延长CB、CD分别交a于点M、N。(4)连接EM、EN，分别交SB、SD于点G、H。(5)连接AG、AH。则多边形AGEH即为所求。4°截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱上．作图题9．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，试画出过P、Q、R三点的截面．作法：(1)先过R、P两点作辅助平面。过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1，则面CRR1C1为所作的辅助平面。(2)在面CRR1C1内延长R1C1，交RP的延长线于M。(3)在面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1的延长线于点T。(4)连接TR，交AA1于点N，延长TR交B1B于点K，再连接KP交BC于点L。(5)连接RL、PS、QN。则多边形QNRLPS为所求。注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。④若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。立体几何专题(2)☆空间图形的作图空间图形的作图在课本P51─A─1、P62─A─4、P78─A─1&2处体现。一、空间几何作图的规则：1°通过不共线的三点作一平面．2°求两个可作相交平面的交线．3°在一个可作平面内，支持用直尺和圆规按照平面几何解决一切作图题．4°任意取一点，在或不在已知直线上，在或不在已知平面上；任意取一直线，通过或不通过一已知点，在或不在已知平面内；任意取一平面，通过或不通过一已知点，通过或不通过一已知直线．5°求已知球心及半径的球面．二、解作图问题的步骤：1°分析：假设求作的图形已经作出了．研究已知条件和未知条件间有何可以沟通的关系或中间条件，从而发现如何从已知条件通过中间条件的媒介达到未知条件．2°作法：从分析的结果，写(说)出每一个作图过程．3°证明：证明所作图形确实满足所设条件．4°讨论：研究在怎样的条件下，解答存在或不存在，以及当解答存在时解的个数有多少．三、简单作图题作图题1．求作一平面使其满足下列条件之一：1°通过一已知直线及其外一已知点；2°通过两已知相交直线；3°通过两已知平行直线．作图题2．求已知直线和已知平面的交点．作图题3．求三已知平面的交点．作图题4．通过已知直线外一已知点，求作一直线使与该直线平行.作图题5(P62―4)．给定两条异面直线，求作一平面通过其中一线而平行于另一线．命题：过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行。证明：证明存在性。设直线a、b异面。在a上任选取一点A，过A作b∥b。相交直线a和b确定一平面α，则b∥α。证明唯一性。设点A和直线b确定平面β，则α∩β＝b，A∈b。假设过a还存在平面γ∥b，则必有γ与β相交。设γ∩β＝b，则b∥b，A∈b。∴b∥b与A∈b且A∈b相矛盾。故α是唯一的。∴作图题5解答唯一存在。作法：在直线a上任取一点A，过直线b与线外一点A作平面M，在平面M内作直线c∥b，过相交直线a与c作平面N．则平面N即为所求．作图题6．给定两条异面直线，过其一直线各作一平面使两平面互相平行．命题(P63―2)：a、b是异面直线，aα，a∥β，bβ，b∥α存在唯一一对α、β使α∥β。证明：∵a、b异面，aα，b∥α，由作图题5的命题知，这样的面α有且只有一个。要确定它，只需在a上任取一点A作直线b∥b，则a和b就确定了α。同理，满足条件的β也有且只有一个。要确定它，只需在b上任取一点B作直线a∥a，则b和a就确定了β。综上知α、β存在且唯一。又∵a∥a，b∥b，a、bα，b、aβ，∴α∥β。∴作图题6解答唯一存在。作图题7．过给定平面外一点求作一平面，使平行于该平面．命题：过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行。证明：设A是面α外一点。在α内任取两相交直线a、b，过A作a∥a，b∥b，两相交直线a、b确定面α。∴α∥α。存在性证明了。假设过A还存在γ∥α，则a∥γ，b∥γ。设过A和a的平面为β，则β与γ必相交。设γ∩β＝a，则a∥a，∴a∥a，这与A∈a且A∈a矛盾。故α是唯一的。唯一性也证明了。∴作图题7解答唯一存在。作图题8．给定两直线a、b及一点A，求作一平面使通过A并平行于a和b．解：1°若a、b异面，且A不在通过其中过一线而平行于另一线的平面内，则问题有唯一解答。2°若a、b相交，且A不在a、b所确定的平面内，则问题有唯一解答。3°若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，则问题不定，即有无穷多个解答。4°其它情形下，问题无解。作法：在a和A确定的平面内过A作a∥a，在b和A确定的平面内过A作b∥b。由a和b确定的平面α即为所求。作图题9．求作一直线l使与两直线a、b相交，并通过此两直线以外的一已知点M．解：Ⅰ．若a、b共面于α．1°当M∈α时，有无穷多个解答．2°当Mα且a、b相交时，有唯一解答。3°当Mα且a∥b时，没有解答。Ⅱ．若a、b异面．1°当M在过a而平行于b的平面β内或在过b而平行于a的平面γ内时，没有解答。2°当M既不在过a而平行于b的平面β内又不在过b而平行于a的平面γ内时，有唯一解答。作图题10．给定两条异面直线a和b，求作一直线l使与a、b相交，并与第三直线c平行．解：Ⅰ．若c、a相交且确定平面α．1°当α∥b时，无解。2°当α与b相交时，有一解。解为过b与α的交点A作c的平行线。Ⅱ．若c、a异面。设过a且平行于c的平面为β。1°当β∥b时，无解。2°当β与b相交时，有一解。解为过b与β的交点B作c的平行线。综上知，当a、b、c平行于同一平面时，无解；其它情况下，只有一解。作图题11．给定一平面及一斜线，求作在平面上通过斜足作一直线，使与斜线成已知锐角．解：设OA为给定平面π的给定斜线，已知锐角为ψ。在斜线OA上任意取一点A，并作AH⊥π于H，连接OH。设∠AOH＝φ，则由最小角 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 (斜线与它在平面内的射影所成的锐角是斜线与这平面内其它直线所成锐角中最小一个)知，1°当ψ＜φ时，无解。2°当ψ＝φ时，有一解。解为直线OH。2°当ψ＞φ时，有两解。由cosψ＝cosφcosθ，得cosθ＝。记R＝OH•sinθ，在π内以H为圆心，R为半径作圆。过O作圆的切线l1和l2即为解。 作图题12．通过一定直线求作一平面，使与平面成定角．解：设给定直线为a，给定平面为π。Ⅰ．若a∥π或aπ，1°当ψ＝时，有一解。解为过a与π垂直的平面。2°当ψ≠时，有两解。①当a∥π时，在a上任取一点A，过A作AH⊥π于H，记R＝AH•|cotψ|。在π内以H为圆心，R为半径作圆。作平行于a的圆的切线l1和l2，过a分别与切线l1和l2的平面即为解。②当aπ时，在a上任取一点H，过H作a的垂面α交π于b，在α内作HA⊥b，过A作c∥b，记R＝AH•|cotψ|。在c上取AB＝AC＝R，则过a分别与B和C的平面即为解。 Ⅱ．若a⊥π，1°当ψ≠时，无解。2°当ψ＝时，有无穷多解。Ⅲ．若a是π的斜线，斜足为O，所成角为φ。在a上任取一点A，过A作AH⊥π于H，连接OH。1°当ψ＜φ时，无解。2°当ψ＝φ时，有一解。在π内过O作OH的垂线b，由a、b确定的平面即为解。3°当ψ＞φ时，记R＝AH•|cotψ|。在π内以H为圆心，R为半径作圆。过O作圆的切线l1和l2，过a分别与切线l1和l2的平面即为解。 作图题13．给定两条异面直线，求作一直线和它们垂直相交。解：过b任意一点M作a∥a，作过b和a的平面β。过a作面γ⊥β交β于a0，则a0与b必相交(反证法)。设a0∩b＝B。在γ内过B作BA⊥a0交a于A。故直线AB即为所求。立体几何专题☆求空间角的基本方法1．异面直线上两点间的距离公式．已知夹角为θ的两异面直线a、b的公垂线段为AA(A∈a，A∈b)，E、F分别为a、b上的点，且|AA|＝d，|AE|＝m，|AF|＝n，则________________________________________．|EF|＝(0＜θ≤) 几个常用公式解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA的平面为β，α∩β＝c，则c∥a．因而b、c所成角等于θ，且AA⊥c．又AA⊥b，∴AA⊥α．又AAβ，∴α⊥β．在β内作EG⊥c于G，则EG＝AA，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．在ΔAFG中，AG＝AE＝m，AF＝n，∠FAG＝θ，∴FG2＝m2＋n2－2mncosθ．在RtΔEFG中，EG＝AA＝d，∴EF2＝EG2＋FG2EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ．当F在A的另一侧或E在A的另一侧时，有EF2＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ．∴|EF|＝． 注：还可用向量法．正方形ABCD的边长为6cm，点E在AD上，且AE＝AD，点F在BC上，且BF＝BC，把正方形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C后，则EF等于(　　)A．2cmB．2cmC．2mD．6cm 解析：设AC∩BD＝O，作EE⊥BD于E，作FF⊥BD于F，则DE＝AO＝×AC＝××AB＝2．BF＝FF＝EE＝．∴EF＝BD－DE－BF＝3． 应用示例正方形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C后，EE、FF成了互相垂直的异面直线，且EF为EE、FF的公垂线段．∴由公式得EF＝＝＝2． 选A变式：将题中“正方形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C”改为“正方形沿对角线BD折成60°二面角A－BD－C”，其它不变，又如何？2．三余弦公式．已知AO是平面α的斜线，Ａ为斜足，OB⊥α于B，则AB是AO在α内的射影．设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC于C．设AO与AB所成角为θ1，AB与AC所成角为θ2，AO与AC所成角为θ．则__________________．cosθ＝cosθ1cosθ2解：∵OB⊥α，∴OB⊥AB，OB⊥AC，又BC⊥AC，∴AC⊥面BOCAC⊥BC在RtΔAOB中，cosθ1＝．在RtΔABC中，cosθ2＝，∴cosθ1cosθ2＝．在RtΔAOC中，cosθ＝．∴cosθ＝cosθ1cosθ2。 设C是∠AOB所在平面外的一点，若∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，其中θ是锐角，而OC与平面AOB所成角的余弦值等于，则θ的值为(　　)A．30°B．45°C．60°D．75° 应用示例解析：作CC1⊥面AOB于点C1，CA1⊥OA于点A1，CB1⊥OB于点B1，连接C1A1、C1B1、OC1(如图)，则∠COC1为直线OC与平面AOB所成的角，即cos∠COC1＝． 由三垂线定理的逆定理知C1A1⊥OA，C1B1⊥OB．∵∠BOC＝∠AOC，OC＝OC，∴RtΔA1OC≌RtΔB1OCCA1＝CB1．∴RtΔA1C1C≌RtΔB1C1CC1A1＝C1B1，则OC1是∠AOB的平分线，∴∠COC1＝．由三余弦公式知cosθ＝cos∠COC1•coscos＝，cos＝－(舍去)．∴＝30°θ＝60°． 选C3．射影面积公式．已知二面角─l─的面内的平面图形Γ的面积为S，Γ在面内的射影图形Γ的面积为S，二面角─l─的大小为，则_________。cos＝ 如图，二面角─l─的面内的ΔABC在面内的射影为ΔABC．作AH⊥l于Ｈ，AH、AA，则由AA⊥，得AA⊥l，∴∠AHA是二面角─l─的平面角．且cos∠AHA＝．又SΔABC＝BC•AH，SΔABC＝BC•AH，∴＝．即cos∠AHA＝． 下面以Δ进行说明。一、基本方法1．直接法：先作出平面角，再求其大小．2．间接法(公式法)：①异面直线上两点间的距离公式．已知夹角为θ的两异面直线a、b的公垂线段为AA(A∈a，A∈b)，E、F分别为a、b上的点，且|AA|＝d，|AE|＝m，|AF|＝n，则________________________________________．②射影面积法．已知二面角─l─的面内的平面图形Γ的面积为S，Γ在面内的射影图形Γ的面积为S，二面角─l─的大小为，则_________。③向量法．|EF|＝(0＜θ≤) cos＝ ☆求二面角的基本方法示例．如图，在三棱锥A─BCD中，AB⊥面BCD，BD⊥CD。(1)求证：面ABD⊥面ACD；(2)若AB＝BC＝2BD，求二面角B─AC─D的正切值。(1)证明：∵AB⊥面BCD，∴AB⊥CD。又BD⊥CD，AB∩BD＝D，∴CD⊥面ABD。又CD面ACD，∴面ABD⊥面ACD。解法一：作BE⊥AD于E，由(1)知，面ABD⊥面ACD，∴BE⊥面ACD，∴BE⊥AC。取AC中点F，连接BF、EF，∵AB＝BC，∴BF⊥AC。∴AC⊥面BEF，∴AC⊥EF，则∠BFE是二面角B─AC─D的平面角。∵AB⊥面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD。∵BE⊥面ACD，∴BE⊥EF。取BD＝1，则AB＝BC＝2。在RtΔABC中，AC＝2，BF＝。在RtΔABD中，AD＝，BE＝。在RtΔBEF中，sin∠BFE＝＝，tan∠BFE＝。故二面角B─AC─D的正切值为。 二面角的平面角作法二：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接EF．∵AB⊥面BCD，∴面ABC⊥面BCD，∴DE⊥面ABCDE⊥AC．∴AC⊥面ＤEFAC⊥EF．则∠DFE是二面角B─AC─D的平面角。说明：若在讨论二面角大小时，存在与二面角的一个面垂直而与二面角的另一个面相交的平面，常先该平面内作出两垂面交线的垂线，然后构造出二面角的平面角。解法二：取AC中点F，连接BF，∵AB＝BC，∴BF⊥AC。作DE⊥AC于E。这样，所求二面角B─AC─D的平面角就转化为求异面直线BE、DF所成角。∵AB⊥面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD。∵CD⊥面ABD，∴CD⊥AD。取BD＝1，则AB＝BC＝2。在RtΔBCD中，CD＝。在RtΔABC中，AC＝2，BF＝CF＝。在RtΔABD中，AD＝。在RtΔACD中，AC＝2，AD＝，CD＝，∴DE＝，CE＝，EF＝。设异面直线BE、DF所成角为θ，则由EF2＋BF2＋DE2－2BF•DE•cosθ＝BD2，得＋2＋－2×××cosθ＝1，cosθ＝，tanθ＝。故二面角B─AC─D的正切值为。 解法三：作BE⊥AD于E，连接CE，由(1)知，面ABD⊥面ACD，∴BE⊥面ACD，∴ΔABC在面ADC内的射影为ΔAEC。∵AB⊥面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD。∵CD⊥面ABD，∴CD⊥AD。取BD＝1，则AB＝BC＝2。在RtΔBCD中，CD＝。在RtΔABC中，AC＝2，SΔABC＝2。在RtΔABD中，AD＝，AE＝。在RtΔACD中，AE＝，CD＝，∴SΔAEC＝。设二面角B─AC─D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴tanθ＝。故二面角B─AC─D的正切值为。 射影作法二：作DE⊥BC于E，连接AE．∵AB⊥面BCD，∴面ABC⊥面BCD，∴DE⊥面ABC．∴ΔADC在面ABC内的射影为ΔAEC．二、作(找)二面角的平面角的基本方法1．定义法2．三垂线法3．垂面法4．转化法1．定义法示例1．在60°的二面角α―a―β的两个面内，分别有A和B两点．已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段AB＝10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面α所构成的角的正弦值．解析：在平面β内作AD⊥a；在平面α内作BE⊥a，CDEB，连结BC、AC．则BCDE，CD⊥a，∴∠ABC是AB与a所成角，则由二面角的平面角的定义，可知∠ADC为二面角α―a―β的平面角，即∠ADC＝60°．在ΔACD中，过A作AH⊥CD于H，AD＝2，CD＝4，∠ADC＝60°，∴AH＝，AC2＝AD2＋CD2－2AD•CDcos60°＝12，∴AC＝2。∵AD⊥DE，CD⊥DE，∴DE⊥面ACD，又BCDE，∴BC⊥面ACD，∴BC⊥AC，BC⊥AH，又AH⊥CD，∴AH⊥α，连接BH，则∠ABH是AB与平面α所成角。 (1)在RtΔABC中，AC＝2，AB＝10，∴sin∠ABC＝。∴AB与a所成角的正弦值为。 (2)在RtΔABH中，AH＝，AB＝10，∴sin∠ABC＝。∴AB与α所成角的正弦值为。 示例2．如图，四棱锥A―BCED中，DB和EC与面ABC垂直，ΔABC为正三角形．(1)若BC＝EC＝BD时，求面ADE与面ABC的夹角；(2)若BC＝EC＝2BD时，求面ADE与面ABC的夹角．分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：(1)交线为一点；(2)一条交线；(3)三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线．如图2，DE与BC不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．解：∵CE⊥面ABC，BD⊥面ABC，∴CE∥BD。(1)∵CE＝BD，∴BCDE。过A作AM∥DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM．过A作AN⊥DE于N，过A作AF⊥BC于F．∴AN⊥AM，AF⊥AM，则∠NAF为面ADE与面ABC的夹角的平面角．设ΔABC的边长为a，则AF＝a，∵AD＝AE＝a，∴N为DE的中点，NFBD，∵BD⊥面ABC，∴NF⊥面ABC，NF⊥AF。在RtΔANF中，AF＝a，NF＝a，∴tan∠NAF＝。 (2)∵EC＝2BD，延长ED、CB相交于G点，连结AG．AG即为平面ADE与平面ABC的交线，点B为GC的中点。在ΔAGC中，AB＝AC＝BC＝BG，∴AC⊥AG。又CE⊥面ABC，∴CE⊥AC，CE⊥AG，即证∠CAE为平面ADE与平面ABC的夹角的平面角．在RtΔANF中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°。示例3．如图，空间四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝4，BD＝2，AC＝5．试求A―BD―C二面角的余弦值．解析：如图，AB＝AD，BC＝CD，则ΔABD和ΔBCD为等腰三角形．取BD中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∴∠AEC为二面角A―BD―C的平面角．在ΔACE中，AC＝5，AE＝＝2，CE＝＝，∴cos∠AEC＝－。故A―BD―C二面角的余弦值为－． 说明：利用正Δ和等腰Δ中的三线合一找垂直关系。示例4.如图，已知空间四边形ABCD，AB＝BC＝6，AD＝CD＝4，BD＝8，AC＝5．试求A―BD―C的余弦值．解析：过A作AE⊥BD于E，连接CE．由条件知，ΔAED≌ΔCED，可证CE⊥BD，则∠AEC为二面角A―BD―C的平面角．在ΔABD中，AB＝6，AD＝4，BD＝6，∴cos∠BAD＝－，sin∠BAD＝，由BD•AE＝AB•ADsin∠BAD，得AE＝。在ΔAEC中，AE＝CE＝，AC＝5，∴cos∠AEC＝－。故A―BD―C的余弦值为－。 说明：利用Δ全等找垂直关系。2．三垂线法作(找)出二面角的平面角示例1．如图，在平面β内有一条直线AC与平面α成30°，AC与棱BD成45°，求平面α与平面β的二面角的大小．解：过A作AF⊥BD于F，AE⊥平面α于E，连结CE、EF，则∠ACE是AC与α所成角，AE⊥BD，∴BD⊥面AEF，BD⊥EF，则∠AFE为二面角的平面角．在RtΔACE中，∠ACE＝30°，令AE＝a，则AC＝2a。在RtΔACF中，∠ACF＝45°，AC＝2a，∴AF＝a。在RtΔAEF中，AE＝a,AF＝a,∴sin∠AFE＝,∠AFE＝45°.故平面α与平面β的二面角的大小为45°。 说明：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．(2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”．示例2．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，M为棱AD的中点，求平面B1C1CB和平面BC1M所构成的锐二面角的正切．解析：平面AC与二面角M―BC1―C的一个面B1C垂直，与另一个平面MBC1相交，过M点作MP⊥BC于P，∵面AC⊥面B1C，∴MP⊥面B1C，∴MP⊥BC1，过P作PN⊥BC1于N，连结MN，∴BC1⊥面MNP，∴MN⊥BC1，则∠MNP为二面角M―BC1―C的平面角．设棱长为a，在RtΔMNP中，MP＝a，NP＝a，∴tan∠MNP＝2．故平面B1C1CB和平面BC1M所构成的锐二面角的正切为2． 说明：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．3．垂面法作(找)出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。示例．如图，已知P为α―CD―β内的一点，PA⊥α于A点，PB⊥β于B点，如果∠APB＝n°，试求二面角α―CD―β的平面角大小．解：设过PA、PB的平面γ与CD交于点E，连接EA、EB，又PA⊥αPA⊥CD，PB⊥βPA⊥CD，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥EA，CD⊥EB，∴∠AEB为α―CD―β的平面角，在四边形PAEB中，∠AEB＝180°－n°．∴二面角α―CD―β的平面角大小180°－n°．4．平移平面转化法：根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．示例．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E为AA1的中点，H为CC1上的点，且CH﹕C1H＝1﹕2．设正方体的棱长为a，求平面D1EH与底面A1B1C1D1构成的锐二面角的正切．解析：取D1D中点M，连接EM，则EM∥A1D1，在面D1C中，过M点作MN⊥DD1交D1H于N，则MN∥C1D1．连接EN，可证平面EMN∥平面A1B1C1D1．这样，求平面D1EH与平面A1B1C1D1的二面角的平面角就转化为求平面D1EH与平面EMN的二面角的平面角．过点M作MF⊥EN于F，连结D1F。∵D1M⊥面EMN，∴D1M⊥EN，∴EN⊥面D1MF，∴D1F⊥EN．则∠D1FM为寻找的二面角的平面角．在RtΔEMN中，EM＝a，MN＝a，∴EN＝a，MF＝a。在RtΔD1MF中，D1M＝a，MF＝a，∴tan∠D1FM＝。故平面D1EH与底面A1B1C1D1构成的锐二面角的正切为。 法二：∵EA1⊥面A1C1，HC1⊥面A1C1，∴ΔD1EH在面A1C1内的射影为ΔD1A1C1。思考题：如图，已知直角三角形ABC的两直角边AC＝2，BC＝3，P为斜边AB上一点．沿CP将此直角三角形折成直二面角A―CP―B．此时AB＝，求二面角P―AC―B的平面角的余弦值． 解：过棱AC上一点A作棱AC的垂面，交CP的延长线于H，交CB的延长线于K，则∠HAK就是二面角的平面角．〖或描述成：在平面ACP上作AH⊥AC交CP的延长线于H，在平面BCP上作HK⊥CH交CB的延长线于K，连结AK，则∠HAK就是二面角的平面角．〗由AC⊥面AHK知，AC⊥AK，AC⊥HK．在面ACH上作AD⊥CH，由面ACP⊥面BCP知，AD⊥面CHK，AD⊥HK．故HK⊥面ACH，HK⊥CH，HK⊥AH．