函数极限与持续本章重点（importantpoints）：理解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N与ε的有关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。无穷小理论及其运用（重要是等价无穷小代换，在求极限以及某些证明题中会常常用到，soitisalsoimportant!）。函数的持续（这是后来诸多公式定理运用的条件，因此必须掌握地verygood！）。分段函数的持续性，可导性，及其极限值的求法。
知识点
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分析
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（analysis）：常用不等式绝对值不等式：x-y≤x±y≤x+y三角不等式：x-z=x-y+y-z≤xy+yzBernoulliInequality(贝努力不等式)：若x>-1,n∈z,且n>=2则1+xn≥1+nx4)CauchyInequality（柯西不等式）：(i=1nxiyi）2≤i=1nxi2∙i=1nyi25)e x≥1+x6)ln(1+n)≤x7)1+1nn<1+1n+1n+1&&1+1nn+1>1+1nn+2即：数列{1+1nn}单调递增，数列{1+1nn+1}单调递减。8）设x∈z+,则1x+1
0,则有鉴别式∆≤0故4（i=1nxiyi）2≤4i=1nxi2∙i=1nyi2≤0→(i=1nxiyi）2≤i=1nxi2∙i=1nyi2三．求极限的措施：1.运用极限的基本性质与法则。2.运用数列求和。3.运用两个重要极限。4.运用对数恒等式（重要是解有关幂指型函数的题）。5.运用函数的持续性。6.运用无穷大与无穷小的关系（无穷小乘以一种有界函数成果是无穷小；无穷大加无穷大不一定等于无穷大；）四．数列的极限：若对（不管多么小），总自然数，使得当时均有成立，这是就称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，或（）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。注：1：是衡量与的接近限度的，除
规定
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为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（此外，具有任意性，那么等也具有任意性，它们也可替代）2：是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一种，使得当时，有就行了，而不必求最小的。Eg2.证明。证明：对，由于,由于（此处不妨设，若，显然有）因此要使得，只须就行了。即有.因此取，当时，由于有，因此。注：有时找比较困难，这时我们可把合适地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后不不小于，那么必有。Eg3.设，证明的极限为0，即。证明：若，结论是显然的，现设，对，（由于越小越好，不妨设），要使得，即，只须两边放对数后，成立就行了。由于，因此，因此。取，因此当时，有成立。定理1：（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。证明：设和为的任意两个极限，下证。由极限的定义，对，必分别自然数，当时，有…(1)当时，有…(2)令，当时，（1），（2）同步成立。现考虑：由于均为常数，因此的极限只能有一种。注：本定理的证明措施诸多，书上的证明自己看。若，，则若，则定理2.（有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：对于数列，若正数，对一切，有。证明：设，由定义对自然数当时，，因此当时，，令，显然对一切，。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列是有界的（），但函数收敛。此点但愿注意！（=1\*romani）若，则使得对恒有（=2\*romanii）若，则当时，有（=3\*romaniii）若，则当时，有（3）局部保号性（=1\*romani）若且则，当时，恒有（=2\*romanii）若，且，则当时，有五．函数的极限：定义1：如果对（不管它多么小），总，使得对于适合不等式的一切所相应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为，或（当时）注1：“与充足接近”在定义中体现为：，有，即。显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是同样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小某些。2：定义中
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达，这阐明当时，有无限与在点（与否有）的定义无关（可以无定义，虽然有定义，与值也无关）。3：几何解释：对，作两条平行直线。由定义，对此。当，且时，有。即函数的图形夹在直线之间（也许除外）。换言之：当时，。从图中也可见不唯一！定理1：（保号性）设，若，则，当时，。若，必有。证明：（i）先证的情形。取，由定义，对此，当时，，即。当时，取，同理得证。（ii）(反证法)若，由(i)矛盾，因此。当时，类似可证。注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“”。在(ii)中，若，未必有。定义2：对，，当时，[当时]，有.这时就称为当时的左[右]极限，记为或。[或]。定理2：。定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）。注：1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当））。2：。3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）。六．无穷大与无穷小定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，若，就说是比高阶的无穷小，记为；若，，就说是比低阶的无穷小；若，，就说是比同阶的无穷小；若，就说与是等价无穷小，记为。当时，是的高阶无穷小，即在目前，常用当时，等价无穷小有：；注1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，由于不是一种量，而是高阶无穷小的记号；2.等价无穷小具有传递性：即3.未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高下阶可比较，由于不存在；4.用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么。注：用等价无穷小代换合用于乘、除，对于加、减须谨慎！【但，并不是不能用！！】代换后的成果如果没有在加减运算中消掉的话，就可以用！例如：limx→0x+sinxx，若是将sinx换成x，x不会在加减运算中被消去，因此这个是可以用的。再例如：limx→0x-sinxx3这个极限如果将sinx换成x就不行了，由于这个x会在加减运算中被消去，这个就不能。【虽然这个措施成立，但是教师在改题的时候就不会想这样多，只要跟课上她讲的不同样就是错的，因此这个措施还是下来自己用好了】while的条件是while(scanf("%d",&n)==1)，意思是成功输入一种n就进入循环定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。定理1：当自变量在同一变化过程（或）中时：（i）具有极限的函数等于其极限与一种无穷小之和，即：为的极限为无穷小。（ii）若一函数可表达为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。6、无穷小量与无穷大量的概念若，即对当（或）时有，则称当无穷小量若即对当（或）时有则称当无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）（2）（3）（4）当（或）时有，则（5）当（或）时有，则（6）则8、无穷小量的比较若（1），则称当时，与是同阶无穷小。（2），则称当时，与是等价无穷小，记作（）。（3），则称当时，是是高阶无穷小，记作（）。（4）（或），有，则记（）（5），则称当时，是是k阶无穷小，定理6：如果，且，则。【例10】证明为的整数部分。证明：先考虑，由于是有界函数，且当时，，因此。例9】求。解：当时，这是无穷多项相加，故不能用§1.6定理3，先变形：原式。准则I：如果数列满足下列条件：（i）对;（ii）那么，数列的极限存在，且。证明：由于，因此对，当时，有，即，对，当时，有，即，又由于，因此当时，有，即有：，即，因此。第一种重要极限：证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，（由于，因此上不等式不变化方向）当变化符号时，及1的值均不变，故对满足的一切，有。又由于，因此而，【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。准则Ⅱ：单调有界数列必有极限作为准则Ⅱ的一种应用，下面来证明极限是存在的。先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即：（i）现令，显然，由于将其代入，因此，所觉得单调数列。（ii）又令，因此，即对，又对因此{}是有界的。由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表达，即Cauchy极限存在准则：数列收敛对，当时，有。七．极限存在的准则（=1\*romani）夹逼准则给定数列若=1\*GB3①当时有=2\*GB3②，则给定函数，若=1\*GB3①当（或）时，有=2\*GB3②，则（=2\*romanii）单调有界准则给定数列，若=1\*GB3①对有=2\*GB3②使对有则存在若在点的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则（或）存在八．极限的运算法则（1）若，则(i)(ii)(iii)（）（2）设（=1\*romani）（=2\*romanii）当时（=3\*romaniii）则九．两个重要极限（1），，（2）十．函数的持续性与间断点定义1：设在的某邻域内有定义，若，就称函数在点处持续。注1：在点持续，不仅规定在点故意义，存在，并且要，即极限值等于函数值。2：若，就称在点左持续。若，就称在点右持续。3：如果在区间上的每一点处都持续，就称在上持续；并称为上的持续函数；若涉及端点，那么在左端点持续是指右持续，在右端点持续是指左持续。定义1ˊ：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点持续。下面再给出持续性定义的另一种形式：先简介增量：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的增量，记为，即；可正、可负、也可为零，这些取决于与的大小。我们称为自变量在点的增量，记为，即或；相应函数值差，称为函数在点的增量，记为，即，即或，。定义1″：设在的某邻域内有定义，若当时，有，即，或，就称在点持续。定理：在点持续在点既左持续，又右持续。归纳：(1)，为无穷间断点；(2)震荡不存在，为震荡间断点；(3)，为可去间断点；(4)，为跳跃间断点。如果在间断点处的左右极限都存在，就称为的第一类间断点，显然它涉及(3)、(4)两种状况；否则就称为第二类间断点。十一．持续函数的运算与初等函数的持续性：函数持续的定义设在点及其邻域内有定义，若（=1\*romani）或（=2\*romanii）或（=3\*romaniii）当时，有则称函数在点处持续设在点内有定义，若，则称函数在点处左持续，设在点内有定义，若，则称函数在点处右持续若函数在内每点都持续，则称函数在内持续若函数在内每点都持续，且，，则称函数在上持续，记作函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义若函数：（=1\*romani）在点处没有定义（=2\*romanii）虽然在有定义,但f(x)不存在;(3)虽然在有定义且f(x)存在,但f(x)¹f();则函数f(x)在点为不持续,而点称为函数f(x)的不持续点或间断点。设点为的间断点，（1），则称点为的可去间断点，若（2），则称点为的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3）则称点为的无穷型间断点，（4）若不存在且都不是无穷大，则称点为的振荡型间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、持续函数的运算持续函数的四则运算若函数在点处持续则在点处也持续反函数的持续性，若函数在区间上单调增长（或单调减少）且持续，则其反函数在其相应的区间上也单调增长（或单调减少）且持续。复合函数的持续性设函数由函数复合而成，，若（1）（2）则（或）初等函数的持续性一切初等函数在其定义区间内都是持续的闭区间上持续函数的性质（=1\*romani）有界性若，则在上有界（=2\*romanii）最大值、最小值定理，若，则在上一定有最大值和最小值（=3\*romaniii）零点性若，且则至少存在一点使得（=4\*romaniv）介值性若，且，是介于之间的任一值，则至少存在一点使得
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