4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2
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差§4 数据的数字特征【课标要求】1．掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点．2．要重视数据的计算，体会统计思想． 【核心扫描】1．各种数字特征的意义以及计算．(重点)2．学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义和作用，会由方差求标准差．(重点、难点)(2)中位数：将一组数据按____顺序排列，处_________________(或___________________)叫做这组数据的中位数；(3)众数：在一组数据中，______________的数据叫做这组数据的众数；(4)极差：一组数据中________________的差称为极差．自学导引1．在中间位置的数中间两个数的平均数出现次数最多最大值与最小值大小试一试：已知一组数据从大到小为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数为5，求这组数据的众数．方差与标准差(1)方差：一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据方差，表示为(2)标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即：2．想一想：一组数据的众数可以是一个或几个，也可以没有，那么中位数是否也具有相同的结论？提示 中位数在一组数据中一定存在且是唯一的．平均数、中位数、众数的异同(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量；(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动；(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势；名师点睛1．(4)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题；(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．方差与标准差的区别与联系(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．2．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．极差与方差、标准差的关系数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．其中极差是数据组的最大值与最小值的差，它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．方差与标准差则反映一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常采用标准差．3．题型一 求一组数据的平均数、中位数和众数在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分是：4∶18，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中位数．【例1】解 甲选手各局的得分分别是：4，8，11，4，11，11，11；按照从小到大的顺序排列是：4，4，8，11，11，11，11；乙选手各局的得分分别是：11，11，5，11，9，8，6；按照从小到大的顺序排列是：5，6，8，9，11，11，11；(2)两者的众数都是11；(3)甲的中位数是11；乙的中位数是9.规律方法理解并掌握平均数、众数、中位数的概念，平均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，注意某几个数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应按照实际要求进行计算．2010年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩，已知6位评委给某位歌手的打分是：9．2 9.5 9.4 9.6 9.8 9.5求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数．【训练1】2009年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )．A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4[思路探索]利用茎叶图列出数据，根据平均数、方差的公式求解．【例2】题型二 方差、标准差的计算7984446793答案 C一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )．A．3B．4C．5D．6答案 C【训练2】(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，
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如下：甲：82，91，79，78，95，88，83，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度看，你认为应派哪位学生参加数学竞赛，请说明理由．审题指导平均数与方差都是重要的数学特征数，是对总体的一种简明的描述．它们所反映的情况有着重要的实际意义，所以，不仅需要掌握其
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和方法，还要学会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据．【例3】题型三 平均数、方差的应用[
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解答](1)茎叶图如下图所示 甲乙98758432800355190254分【题后反思】用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【训练3】某单位员工的月工资情况如下(单位：元)：(1)计算该单位员工月工资的平均数、中位数和众数；(2)假如你去这家单位应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？误区警示 对样本特征理解不透，造成应用错误【示例】月工资/元25002000150012001000800员工/人35720105(2)用该单位的最高工资与同类单位工资待遇比较即可．在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知识求出有关量．[正解](1)同错解．(2)由于该单位员工月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以考虑把月工资的平均数1320元作为月工资的代表，这样以该单位月平均工资1320元与同类单位的工资待遇作比较即可．平均数是将所有的数据都考虑进去得到的特征数，它是反映数据集中趋势最常用的量．中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示数据的集中趋势．而众数求法较简便，也经常被用到．考查一组数据的特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑，不明确各概念的特点就会产生应用错误．
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