习题191.求函数f(x)=匚旦一口的连续区间，并求极限limf(x),limf(x)及limf(x).x2+x—6xT。xt-3xt2解x3+3x2—x—3(x+3)(x-1)(x+1)f(x)==x2+x—6(x+3)(x—2)函数在()内除点x2和x3外是连续的，所以函数f(x)的连续区间为(，3)、(3,2)、(2,).TOC\o"1-5"\h\z在函数的连续点x0处，limf(x)=f(0)=-.xtO2在函数的间断点x2和x3处，、!•(x+3)(x一l)(x+1)i.r()[.(x一l)(x+1)8limf(x)=lim=g,limf(x)=lim=-xt2xt2(x+3)(x—2)xt-3xt-3x—25设函数f(x)与g(x)在点xo连续，
证明
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函数(x)max{f(x),g(x)},(x)min{f(x),g(x)}在点x0也连续.证明已知limf(x)=f(x0),limg(x)=g(xj.xTx°xTx°可以验证申(x)=£[f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)l],屮(x)=2[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)l].因此申(x0)=|[f(x0)+g(x0)+1f(x0)-g(x0)l],屮(x0)=2[f(x0)+g(x0)-|f(x0)-g(x0)|]-因为limp(x)=lim|[f(x)+g(x)+lf(x)-g(x)l]TOC\o"1-5"\h\zxTx。xTx。2=—[limf(x)+limg(x)+1limf(x)-limg(x)l]2xTx。xTx。xTx。xTx。=—[f(x0)+g(x。)+1f(x0)-g(x。)1](x0),所以(x)在点X也连续.0同理可证明(X)在点x0也连续.求下列极限：(1)limx2—2x+5;xT。(4)lim(sin2x)3;x—4limln(2cos2x)x-6_⑷lim"x+1-1x—0⑸lim壬—x—1x-1sinx一sina(6)lim;x—ax一a(7)limx2+x一x2一x).xT+8解(1)因为函数f(x)=¥x2-2x+5是初等函数，f(x)在点x0有定义，所以limx2一2x+5=f(0)=02一2・0+5=\:5x—0⑵因为函数f(x)(sin2x)3是初等函数，f(x)在点xJ有定义，所以兀兀lim(sin2x)3=f()=(sin2•—)3=1.」44x-4(3)因为函数f(x)ln(2cos2x)是初等函数，f(x)在点x有定义，所以67171limln(2cos2x)=f()=ln(2cos2•—)=0.xJ66x-6⑷lim^1一1=lim"x+1一兰=limx—0xx—0x(
1+sin2x一xxT°x(U1+sin2x一1)(\：1+tanx+*1+sinx)十(tanx一sinx)(H1+sin2x+1)十=lim=limxtoxsin2x(*1+tanx+J1+sinx)x—otanx-2sin2—2x•(—)22=lim2_xsin2xx—ox35.设函数f(x)=]e"x<0应当如何选择数a,使得f(x)成为在(,[a+xx>0连续函数？解要使函数f(x)在(，)内连续，只须f(x)在乂0处连续，即只须limf(x)=limf(x)=f(0)=a.xt—0xt+0因为limf(x)=limex=1,limf(x)=lim(a+x)=a,所以只须取a1.x——0x——0x—+0x—+0）内的
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