空间向量的应用求空间角与距离一、考点梳理1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：1）求直线和直线所成的角若直线AB、CD所成的角是a.cosa=lCOS
1=IAB•CDIIABIICDI夹角,则有P=I或申冷®计算公式为：2）.利用法向量求线面角设0为直线l与平面a所成的角，p为直线l的方向向量v与平面a的法向量n之间的兀兀特别地p=0时，0=，l丄a；p=—时，0=0，lua或lPa^2^2rrIvgnIsin0=cosp=-ri或IvIgnIrrrrsin0=sin(p-—)=-cosp=-rgr=『睥(vgn<0)2IvIgnIIvIgnIrr3）.r利用法向量求二面角设ni、n2分别为平面a、0的法向量，二面角a-l—卩的大小为0,夹角为p，则有0+p=—或0=p。向量n、n2的ngncos0—一cosQ=-unurn-InIgnI12ngncos0一cosp=-tunau-InIgnI124）.利用法向量求点面距离如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平计算公式为：uuruuruuruur面a的垂线P0,记Z0PA二0，则点P到平面的距离d二IPOI=IPAIcos0ruuuruuurIn•PAI=IPAIruur®InIIPAIruuurIn•PAI=urInI5）.法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点為B，AB在呂上的射影长即为所求。n为异面直线AD、BC公共垂直的方向向量，可由n-aD=0及n-BC=0求得，其计算公式为：d=r。其本质与求点面距离一致。InI向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。二、范例分析例1已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为、°3的等腰梯形，将它沿对称轴OO]折成直二面角，如图所示，（1）证明：AC丄BO；（2）求二面角O-AC-O的大小。OO丄OA，故用坐标法求解，可分析：题干给出一个直二面角和一条对称轴OO，易知OO丄OB,有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面OAC的法向量，再用公式计算便可。第(1)问的作用在于证明OB丄面OAC，也就找到了一个法向量；而面OAC的法ruuurruuuur11向量可用由n-AC=0及n-OC=0求得，只是解出x、y、z关系后，对z的取值要慎重,1可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。解：(1)证明：由题设知OO丄OA、OO丄OB，11所以ZAOB是所折成的直二面角的平面角，即OA丄OB。故可以0为原点，OA、OB、OO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标第，如图，则相关各点的坐标是：A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,1,J3)，O(0,0八.3)，从而，uuuuuuu-1AC=(―3,1,J3)BO=(0,—3八；3)，uuruuuu-1-AC-BO=—3+P3=0，即AC丄BO。1uuruuuu_-1(2)解：因为0C-BO=—3+^3x\.'3=0，1OC丄BO。1由(1)AC丄BO，所以BO丄平面OACx、y、z所以r设n=(x,y,z)是平面OAC的一个法向量，由.r_取z=P3，得n=(1,0八⑶。r设二面角O—AC—O的大小为9，由n、1ruuuu_ruuuungBO<3所以cos9=cos=-ruuuu=-a"uuuurBO是平面OAC的一个法向量。rr1uur_n•AC=0|-3x+y+\/3z=0vruuuunSn-OC=0Iy=0l11uuuurruuuurBO的方向可知0=,iiIn忖BOI4'即二面角O-AC-°】的大小是1感悟：(1)用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎淡化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。(2)利用坐标法求解和距离，关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的空间直角坐标系——尽可能多地使空间的点在坐标轴上或坐标平面内，正确表达已知点的坐标。在立体几何数量关系的解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和应用法向量解决空间解和距离求法的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化和思想方法。例2.如图，平面ABCD丄平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形,设平面AGC的法向量为ni=(xry1,1)uuuruurAG-n=0=uuuuu=BACD:.异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.4r(Ill)解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则ruuurn.AD=(x,y,z).(-1,0,-1)=0,fx+z=0,=.=——,所以异面直线BE与AC所成的角arccos—.5•、；555rruurruur⑶设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),则由n丄AB知：n•AB=2x—z=0;ruuurruuurr由n丄EB知：n•EB=2x—y=0.取n=(1,2,2).ur由(1)知平面ABC的法向量为n=(1,1,2).rur1lrurn•n1+2+477J6扇•、币3j618■则cos=.==nn西•石3品187品结合图形可知，二面角E—AB—C的大小为：arccos—18例5、在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP:PB=1:2(如图1)。将“EF沿EF折起到AAEF的位置，使二面角A-EF-B成直二11面角，连结AB、AP(如图2)11(丨)求证：AE丄平面BEP;1求直线AE与平面ABP所成角的大小；11求二面角B-AP-F的大小(用反三角
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数表示)1图2图1解法：⑴作AH丄面BCD于H，连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形，且AH二1,以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).uuruurBC=(—1,1,0),DA=(1,1,1),uuruur:.BC-DA=0,贝UBC丄AD.ururuur(2)设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则由n丄BCuruur11知：n-BC=—x+y=0；1uruuururuuurur同理由n丄CA知：n-CA=x+z=0.可取n=(1,1,—1).11uur1同理，可求得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,—1).2uruur由图可以看出，三面角B—AC—D的大小应等于uruu12n•n1+0+166=，即所求二面角的大小是arccos——3弋233uruur贝qcos二12-ur nuun12(3)设E(x,y,z)是线段AC上一点，则x=z>0,y=1,ruuur平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),DE=(x,1,x),uuurr所以cos=要使ED与面BCD成°角，由图可知DE与n的夹角为60。，uuuurDE-nx“cluurrDEn—=cos60°=—.\1+2x22则2x=\：'1+2x2，解得，x—，则CE=\-2x—1.故线段AC上存在E点，且CE—1，时ED与面BCD成30°角.【解后
反思
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】在立体几何学习中，我们要多培养空间想象能力，对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后的不变量，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作，证，解，是我们求二面角的三步骤.作：作出所要求的二面角，证：证明这是我们所求二面角，并将这个二面角进行平面化，置于一个三角形中，最好是直角三角形，利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度，不过在向量运用过程中，要首先要建系，建系要建得合理，最好依托题目的图形，坐标才会容易求得.以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量将在数学解题中起到越来越大的作用。
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