《对数的概念》教案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.3.1对数的概念》 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 【教材分析】对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.【教学目标与核心素养】课程目标1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化；数学学科素养1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.【教学重难点】重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；难点：推导对数性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景引入“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示对数．俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！二、新知导学1．对数的概念若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__，记作x＝__logaN__.[知识点拨]　对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．2．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN__.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__lnN__.3．对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝__logaN__.4．对数的基本性质(1)__零__和__负数__没有对数．(2)loga1＝__0__(a＞0，且a≠1)．(3)logaa＝__1__(a＞0，且a≠1)．5．对数恒等式alogaN＝__N__(a>0，且a≠1)．三、课前自测1．将ab＝N化为对数式是(　B　)A．logba＝N　　　　B．logaN＝bC．logNb＝aD．logNa＝b[解析]　根据对数定义知ab＝N⇔b＝logaN，故选B．2．若log8x＝－eq\f(2,3)，则x的值为(　A　)A．eq\f(1,4)B．4C．2D．eq\f(1,2)[解析]　∵log8x＝－eq\f(2,3)，∴x＝8－eq\s\up5(\f(2,3))＝2－2＝eq\f(1,4)，故选A．3．对数式loga8＝3改写成指数式为(　D　)A．a8＝3B．3a＝8C．83＝aD．a3＝8[解析]　根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D．4．若log2eq\f(x－1,2)＝1，则x＝__5__.[解析]　∵log2eq\f(x－1,2)＝1，∴eq\f(x－1,2)＝2，∴x＝5.四、互动探究命题方向1　⇨指数式与对数式的互化典例1　完成以下指数式、对数式的互化．(1)(eq\f(2,3))－2＝eq\f(9,4)；(2)8eq\s\up5(\f(1,2))＝2eq\r(2)；(3)logeq\s\do8(\f(1,4))16＝－2；(4)lnx＝eq\f(1,3).[思路分析]　先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解．[解析]　(1)∵(eq\f(2,3))－2＝eq\f(9,4)，∴logeq\s\do8(\f(2,3))eq\f(9,4)＝－2.(2)∵8eq\s\up5(\f(1,2))＝2eq\r(2)，∴log82eq\r(2)＝eq\f(1,2).(3)∵logeq\s\do8(\f(1,4))16＝－2，∴(eq\f(1,4))－2＝16.(4)∵lnx＝eq\f(1,3)，∴eeq\s\up5(\f(1,3))＝x.『规律方法』　对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.〔跟踪练习1〕将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)42＝16；(2)102＝100；(3)4eq\s\up5(\f(1,2))＝2；(4)logeq\s\do8(\f(1,2))32＝－5.[解析]　(1)log416＝2.(2)lg100＝2.(3)log42＝eq\f(1,2).(4)(eq\f(1,2))－5＝32.命题方向2　⇨对数定义与性质的应用典例2　求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1;(4)lg(lnx)＝0.[思路分析]　利用指数式与对数式的互化进行解答．[解析]　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2；(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343；(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10；(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.『规律方法』　对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．〔跟踪练习2〕求下列各式中x的值：(1)x＝logeq\s\do8(\f(1,2))16；　　　(2)log8x＝－eq\f(1,3)；(3)log2(log4x)＝0;(4)log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.[解析]　(1)∵x＝logeq\s\do8(\f(1,2))16，∴(eq\f(1,2))x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.(2)∵log8x＝－eq\f(1,3)，∴x＝8－eq\s\up5(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,8))＝eq\f(1,2).(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.(4)∵log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.命题方向3　⇨对数恒等式的应用典例3　计算：(1)71－log75；(2)4eq\s\up5(\f(1,2))(log29－log25)；(3)alogab·logbc(a、b均为不等于1的正数，c＞0)．[解析]　(1)原式＝eq\f(7,7log75)＝eq\f(7,5).(2)原式＝2(log29－log25)＝eq\f(2log29,2log25)＝eq\f(9,5).(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.『规律方法』　运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．〔跟踪练习3〕求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(eq\f(1,9))log34的值．[解析]　原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2＝3×6－16×3＋33＋4－2＝18－48＋27＋eq\f(1,16)＝－eq\f(47,16).因忽视对数式的底数的限制条件而致误　　典例4　已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．[错解]　由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3.[错因分析]　错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0，且底数不等于1这一隐含条件．[正解]　由对数的性质，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3x＝x＋3,x2＋3x>0,x＋3>0，且x＋3≠1))，解得x＝1，故实数x的值为1.[警示]　由对数的定义可知，对数logaN中a>0，且a≠1，N>0.因此我们在处理有关含有对数的方程或不等式等相关问题时，一定要充分考虑这些限定条件，否则会出现增解或使原表达式无意义等错误．再谈等价转化　　指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指数、对数方程与不等式及指数、对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数、对数转化的另一种表现形式．典例5　若logeq\s\do8(\f(1,2))x＝m，logeq\s\do8(\f(1,4))y＝m＋2，求eq\f(x2,y)的值．[思路分析]　eq\f(1,4)＝(eq\f(1,2))2，两个对数式可以通过指数对数的互化关系，将它们化为指数式，于是可以运用幂的运算法则求eq\f(x2,y).[解析]　∵logeq\s\do8(\f(1,2))x＝m，∴(eq\f(1,2))m＝x，x2＝(eq\f(1,2))2m.∵logeq\s\do8(\f(1,4))y＝m＋2，∴(eq\f(1,4))m＋2＝y，y＝(eq\f(1,2))2m＋4.∴eq\f(x2,y)＝eq\f(\f(1,2)2m,\f(1,2)2m＋4)＝(eq\f(1,2))2m－(2m＋4)＝(eq\f(1,2))－4＝16.五、课堂达标练习1．下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为(　C　)A．1　　　　　　　　　B．2C．3D．4[解析]　①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选C．2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　B　)A．a>5或a<2B．20,a－2≠1,5－a>0))，∴2