5 3向量的乘法运算10级25页

第二节向量的乘法运算一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、向量的混合积四、小结一物体在常力F?作用下沿直线从点1M移动到点2M，以s? 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示位移，则力F?所作的功为?cos||||sFW???(其中?为F?与s?的夹角)启示向量a?与b?的数量积为ba????cos||||baba??????(其中?为a?与b?的夹角)实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积a?b???cos||||baba??????,Prcos||bjba?????,Prcos||ajab????ajbbab????Pr||???.Pr||bjaa???数量积也称为“点积”、“内积”.关于数量积的说明：.||)1(2aaa?????0)2(??ba????.ba???,kajaiaazyx???????kbjbibbzyx???????设zzyyxxbabababa??????数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa????????由此可知两向量垂直的充要条件为ab??0???zzyyxxbababa0ab???数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba???????（2）分配律：;)(cbcacba?????????????（3）若为数：?)()()(bababa??????????????若、为数：??)()()(baba???????????例1已知)4,1,1(??a?，)2,2,1(??b?，求（1）ba???；（2）a?与b?的夹角；（3）a?在b?上的投影.2(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2)AMBMAB?例：已知为空间三点，求。例3证明向量c?与向量acbbca??????)()(???垂直.向量a?与b?的向量积为bac??????sin||||||bac????(其中?为a?与b?的夹角)定义c?的方向既垂直于a?，又垂直于b?，指向符合右手系.关于向量积的说明：.0)1(?????aa)0sin0(??????ba??)2(//??.0?????ba)0,0(??????ba向量积也称为“叉积”、“外积”.二、两向量的向量积向量积符合下列运算规律：（1）.abba????????（2）分配律：.)(cbcacba?????????????（3）若为数：?)()()(bababa??????????????向量积的坐标表达式设,kajaiaazyx???????kbjbibbzyx?????????ba??kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy???)()()(??????向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba???????kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy???)()()(??????向量积的几何意义||ba???表示以a?和b?为邻边的平行四边形的面积.a?b?bac?????（1）2.abab?（）的方向垂直于平行于与所确定的平面的平面例4求与kjia????423???，kjib????2???都垂直的单位向量.5:ABC(1,2,3),(3,4,5),(2,4,7),ABC;(2)ABC.ABC??例已知的顶点(1)求的面积求到过和的直线的距离7.||2,||3,(,),35?6abababab??????例设计算以与.为邻边的平行四边形面积(1,0,0),(3,1,1),(2,1,2),ABC????例6设平面过空间三点求一个平行于平面的向量n.定义设已知三个向量a?、b?、c?，数量cba?????)(称为这三个向量的混合积，记为][cba???.][cba???cba??????)(zyxzyxzyxcccbbbaaa?,kajaiaazyx???????,kbjbibbzyx???????设,kcjcicczyx???????混合积的坐标表达式三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：向量的混合积][cba???cba??????)(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a?、b?、c?为棱的平行六面体的体积.a?c?b?ba???关于混合积的说明：][)2(cba???cba??????)(acb??????)(.)(bac??????（3）三向量a?、b?、c?共面??.0][?cba???已知2][?cba???，计算)()]()[(accbba???????????..4?例7例8已知空间内不在一平面上的四点),,(111zyxA、),,(222zyxB、),,(333zyxC、),,(444zyxD,求四面体的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.][61ADACABV?14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV????????????式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.向量的数量积（结果是一个数量）四、小结(1)求向量模||aaa??(2)求两向量夹角0(3)babab.?a求向量在上的投影:Prj=(4).判断两向量垂直向量的向量积（结果是一个向量）(1),,b求与非共线向量a同时垂直的向量(2)求以两向量为邻边的平行四边形面积;(3),,,ABC求以为顶点的三角形面积(4),,,ABCABC给出不共线三点求到过直线距离.(5)//.ababo???向量的混合积（结果是一个数量）(1),,,,abcabc?共面[]=0;,,|,,|;abcVabc?(2)以为棱的六面体体积[](3),,1|[,,]|.6ABCVABACAD?以为顶点的四面体体积第二节思考题1,ao?、设试问：1abacbc??（）若＝，能否推出＝？2abacbc??（）若＝，能否推出＝？3abacabacbc????（）若＝，且＝，能否推出＝？2bc,||||||abbcca.aoabc???、设＋＋＝=3,=2,=5,求＋＋23||2,||5,(,),23B3ababAabab??????、设且向量＝＋与＝－垂直，求的值。第一节思考题：1.||||,(3,5,8),(1,1,),.(1)2.cc|342,ccabababxxxabab???????????设且求已知=(2,-3,6),=(-1,2,-2),且在与的角平分线上，且|求的坐标。((-3,15,12))一、填空题：1、已知a?=3，b?=26，ba???=72,则ba???=_________；2、已知（ba??,）=32?，且a?=1，b?=2，则2)(ba???=______________；3、ba?的几何意义是以ba??,为其邻边的_________；4、三向量cba???,,的混合积[cba???]的几何意义是______；5、两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为________，或它们互相________；6、两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为____________，或它们互相______；练习题7、设kjia????23???，kjib???????2,则ba???=____，ba???=_______,ba??3)2(??=_______,ba??2?=_________，),cos(ba??=__________；8、设a?=kji?????32,kjib????3???和,2jic??则bcacba)()(???=_____________,????)()(cbba_____________,cba?????)(=_________________.二、已知cba???,,为单位向量，且满足0???cba???，计算accbba???????????.三、设质量为100千克的物体从点)8,1,3(1M沿直线移动到点)2,4,1(2M计算重力所作的功（长度单位为米，重力方向为Z轴负方向）.四、设????4,1,2,2,5,3???ba??，问??与怎样的关系能使行zba与???轴垂直.五、应用向量证明：1、三角形的余弦定理；2、直径所对的圆周角是直角.六、已知cba,,两两垂直，且cbascba?????????????求,3,2,1的长度与它和cba???,,的夹角.七、计算以向量212eep?????和212eeq?????为边的三角形的面积，其中1e?和2e?是相互垂直的单位向量.练习题答案一、1、30?；2、3；3、平行四边形的面积；4、以cba???,,为邻边的平行六面体的体积；5、零向量,垂直；6、零向量,平行；7、3,2123,14210,18,75kjikji???????????；8、2,,248kjkj???????.二、23?.三、5880焦耳.四、??2?.六、141arccos),(,14??ass???,141arccos),(?bs??,?),(cs??143arccos.七、25.谢谢你的阅读?知识就是财富?丰富你的人生