高等数学教案-不定积分

高等数学教学 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第4章不定积分授课序号01教学基本指标教学课题第4章第1节不定积分的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点原函数与不定积分的概念教学难点原函数的概念参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求1．理解原函数概念，理解不定积分的概念。2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质教学基本内容一．原函数1.定义：设F(x),f(x)是定义在区间I上的函数，若对任意的xI，都有F(x)f(x)，或dF(x)f(x)dx，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续，则在该区间上一定存在可导函数F(x)，使得对任意xI都有F(x)f(x)，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则F(x)C也是f(x)在区间I上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在区间I上的任意一个原函数可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为F(x)C，其中C是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在区间I上带有任意常数的原函数F(x)C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx=F(x)C，其中，称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，任意常数C称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数C，F(x)C表示坐标平面上一条确定的曲线；当C取不同的值时，F(x)C表示一簇12曲线．由f(x)dxF(x)C可知，f(x)的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1.(1)[f(x)dx]=f(x)，或d[f(x)dx]=f(x)dx；(2)F(x)dxF(x)C，或dF(x)F(x)C.性质2.kf(x)dxkf(x)dx（k为非零常数）.性质3.[f(x)f(x)]dxf(x)dxf(x)dx.1212五．基本积分公式表11．kdxkxC（k为常数）；2．xdxx1C（1）；11ax3．dxln|x|C；4．axdxC；xlna5．exdxexC；6．sinxdxcosxC；7．cosxdxsinxC；8．sec2xdxtanxC；9．csc2xdxcotxC；10．secxtanxdxsecxC；111．cscxcotxdxcscxC；12．dxarctanxCarccotxC；1x2113．dxarcsinxCarccosxC.1x2六．例题讲解1例1.求不定积分(1)x2dx；（2）dx．xdy例2.若池塘结冰的速度由kt给出，其中y是自结冰起到时刻t冰的厚度，k是正常数，求结冰厚度dty关于时间t的函数．例3.已知某曲线经过点(0,1)，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面x处，一质点以初速度v铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．00例5.求ex5xdx．1例6.求dx．xx例7.求x(x23)dx．12(1x)2例8.求dx．x1xx2例9.求dx．x(1x2)x2例10.求dx．1x2x4例11.求dx.1x2例12.求tan2xdx．x例13.求sin2dx．2dx例14.求．sin2xcos2x1例15.求dx.xxsin2cos222例16.设f(x)2|x|3，且f(2)15，求f(x).12授课序号02教学基本指标教学课题第4章第2节换元积分法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点第一换元积分法与第二换元积分法教学难点第二换元积分法参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求掌握换元积分法教学基本内容一．第一换元积分法1.定理：（第一换元积分法）设f(u)有原函数F(u)，且u(x)是可导函数，则f[(x)](x)dxF[(x)]C，该公式称为第一换元公式．2.几种常用的凑微分求解的积分形式：1（1）f(aub)duf(aub)d(aub),(a0);a1（2）f(aunb)un1duf(aunb)d(aunb),(a0,n0);na1（3）f(aub)auduf(aub)d(aub),(a0,a1);lna1（4）f(u)du2f(u)d(u);u1111（5）f()duf()d();uu2uu1（6）f(lnu)duf(lnu)d(lnu);u（7）f(sinu)cosuduf(sinu)d(sinu);（8）f(cosu)sinuduf(cosu)d(cosu);（9）f(tanu)sec2uduf(tanu)d(tanu);1（10）f(arcsinu)duf(arcsinu)d(arcsinu);1u212u11uu（11）f(arctan)duf(arctan)d(arctan),(a0);aa2x2aaaf(u)（12）dulnf(u)C.f(u)二．第二换元积分法1.定理：（第二换元积分法）设x(t)是单调的可导函数，且(t)0，又设f[(t)](t)的一个原函数为(t)，则f(x)dx=[1(x)]C,该公式称为第二换元公式．2.常用的第二换元积分法：（1）含有根式naxb时，令naxbt；mmm（2）同时含有根式1x和根式2x（m,mZ）时，令xt，其中m是m,m的最小公倍数；1212（3）含有根式a2x2(a0)时，令xasint；（4）含有根式a2x2(a0)时，令xatant；（5）含有根式x2a2(a0)时，令xasect；（6）当被积函数的分母次幂较高时，还有经常用倒代换.三．例题讲解例1.求sin2xdx．例2.求(23x)2dx．例3.求x4x2dx．cosx例4.求dx．x例5.求tanxdx，cotxdx．4x6例6.求dx．x23x411例7.求dx，dx(a0)．a2x2a2x211例8.求dx，dx(a0)．a2x2x2a212例9.求cscxdx，secxdx．例10.求cos2xdx．例11.求sin3xdx．例12.求cos3xsin5xdx．例13.求sinxsin3xdx．例14.求tan3xsecxdx.f(lnx)例15．求（1）xf(x2)f(x2)dx；（2）dx．x1例16．求dx．1x1例17．求dx．x4xx例18．求dx．x3例19．求a2x2dx(a0)．1例20．求dx(a0)．a2x21例21．求dx(a0).x2a2a2x2例22．求dx(x0).x4四．基本积分公式表1x14.dxarcsinC；a2x2a11x15.dxarctanC；a2x2aa11ax16.dxlnC；a2x22aax17.tanxdxln|cosx|C；18.cotxdxlnsinxC；1219.secxdxlnsecxtanxC；20.cscxdxlncsccotxC；121.dxlnxx2a2C;x2a2a2xxa2x2dxarcsina2x2C22.2a2.12授课序号03教学基本指标教学课题第4章第3节分部积分法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点教学难点参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求掌握分部积分法教学基本内容一．分部积分法1．定理：设uu(x),vv(x)在区间I上都有连续的导数，则有u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx，简记为uvdxuvuvdx，或udvuvvdu，称为分部积分公式．2．分部积分法应用的基本步骤可归纳为：f(x)dx=uvdxudvuvvduuvuvdx．3．分部积分法的关键是合理选取u(x)与v(x)，一般来说有下列结论：（1）形如xneaxdx，取u(x)xn，v(x)eax．（2）形如xnsinaxdx或xncosaxdx，取u(x)xn，v(x)sinax或cosax．（3）形如xnlnmxdx，取u(x)lnmx，v(x)xn．（4）形如xnarctanxdx，xnarccotxdx，xnarcsinxdx或xnarccosxdx，取u(x)为反三角函数，v(x)xn．（5）形如eaxsinbxdx，eaxcosbxdx，取u(x)sinbx或cosbx，v(x)eax；也可以取u(x)eax，v(x)sinbx或cosbx．二．例题讲解例1.求xcosxdx.例2.求xexdx．例3.求x2cosxdx．12例4.求xlnxdx．例5.求xarctanxdx．例6.求arcsinxdx．例7.求excosxdx．例8求sinxdx．1例9.建立递推公式Idt(n1,2,).n(t2a2)n12授课序号04教学基本指标教学课题第4章第4节有理函数的积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积教学难点有理函数、三角函数有理式和简分单无理函数的积分参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.教学基本内容一．有理函数的积分1.有理函数的相关概念P(x)（1）两个多项式函数的商称为有理函数，也称为有理分式.有理分式的一般表达式为Q(x)P(x)axnaxn1axa01n1n，Q(x)bxmbxm1bxb01m1m其中m,n为自然数；a，a，，,a及b，b，，b都是实数，并且a0,b0.01n01n00（2）在有理分式中，当nm时，称之为真分式；当nm时，称之为假分式．根据多项式的除法，任意一个假分式都可以化为一个多项式和一个真分式的和，因此有理函数的积分可以转化为多项式或真分式的积分，多项式的积分比较简单，所以只需要讨论真分式的积分.2.真分式的积分（1）任一多项式在实数范围内都可分解为一次因式和二次质因式的乘积；（2）分解原理：分母Q(x)在实数范围内能分解成如下形式Q(x)bxaxbx2pxqx2rxs,0P(x)其中p24q0,,r24s0，则真分式可以被分解为如下最简分式的和，Q(x)P(x)AAABBB1212Q(x)xaxa2（xa）xbxb2xbMxNMxNMxN112222xpxqx2pxqx2pxqRxSRxSRxS1122,(*)22xrxsx2rxsx2rxs12其中A,,A,,B,,B,M,,M,N,,N,,R,,R,S,,S等为待定常数，利用待定系数111111法可以将所有的系数确定.若不计求和次序时，分解式(4.3)是唯一的.3.假设真分式能够分解成如式(*)的分解式，则真分式的积分最终归结为如下面两种部分分式的积分：AMxN（1）dx；（2）dx,(nN,p24q0).(xa)n(x2pxq)n二．三角有理函数的积分1.所谓三角有理函数，是指由sinx、cosx与常数经过有限次的四则运算构成的函数，记作R(sinx,cosx).2.三角函数有理式的积分Rsinx,cosxdx（1）若Rsinx,cosx满足条件Rsinx,cosxRsinx,cosx，则令cosxt.（2）若Rsinx,cosx满足条件Rsinx,cosxRsinx,cosx，则令sinxt.（3）若Rsinx,cosx满足条件Rsinx,cosxRsinx,cosx，则令tanxt.（4）利用积化和差公式1sinxcosysinxysinxy，21sinxsinycosxycosxy，21cosxcosycosxycosxy．21cos2x1cos2x（5）利用降幂公式：sin2x，cos2x．22x2t1t22（6）利用万能代换：令tant，则Rsinx,cosxdxR,dt．21t21t21t2三．例题讲解x3例1.求dx.x25x61例2.求dx.(x21)(x1)22x1例3.求dx.x32x2xx4例4.求dx.x32x312x3例5.求dx.(x1)10dx例6.求.x8(1x2)1例7.求dx.2cosx1sinx例8.求dx.sinx(1cosx)1例9.求dx.sin4x最后指出，虽然理论上可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，初等函数在其定义区间内都有原函数，但是其原函数不一定都是初等函数，有些函数的不定积分不能用初等函数表示.例如，1exsinx11ex2dx，exdx,dx,dx,sindx,sinx2dx,dx.xxxlnx对这些积分，形式上很简单的积分，已经证明是积不出来的.12