解决平面向量问题“五技巧”

学习必备欢迎下载解决平面向量问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 "五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范?准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形”中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题?在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握?一、巧用向量中点公式在平面内，设点C为线段AB的中点,O为任意一点，则0^=-1(07OB)?例1(2011年高考上海卷?文18)设A,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点，则使—>—H—IMA2MA3MA4二0成立的点M的个数为(A)0B)1_____C,2■D?-4-l分析：.........MA「MA?二-(MA34),联想向量中点公式进行简化得T分析T由条件得MAMCMD(其中C为线段A,A2的中点，D为线段A3A4的中点)，进而得到M为CD的中点，问题即可获解?解：设C为线段A^的中点，D为线段A3A4的中点，由条件得—I——I——HMAMA2二「(MA3MA)4即MC=-MD，所以向量MC与MD是相反向量，且共用起点M，所以M为CD的中点，所以点M的个数是唯一的，选B?点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解?【牛刀小试】(赣州市2011届高三摸底考试)在长方形ABCD中，AB二红6,3AD3,O为AB的中点，若P是线段DO上动点，则(PAPB)PD的最小值是3(解：由题意得|ODI—、|OA|2?|AD|2=1?因为O为AB的中点，所以FTTTTTTTTTPA十PB=2PO,设|PD|=x(0兰x^1),则|PO|=1—x,(PA+PB)PD=2POPD12111-2|PO||PD|cos180=2x(1-x)二2(x),故所求最小值为?二、巧用a_bab=0222)2例2(2011护高考上海卷?理11)在正三角形ABCDBC上的一点,BD=1，AB=3，中，是贝UAB_AD二_|?分析：欲求ABAD，而|AD|、cosBAD虽然可以利用条件求出，但是显得繁琐；注意到?匹_.=：60,_BD=1,AB=3，作DE_AB垂足为E，则可将ABAD转化为ABAE，可快速获解?T解t虬!图T过申X仁DEqA%垂当生E，—则ABA*B(AEED)二ABAEABABA詣AE115=3(3|BD|)：22点评：利用a_bab=0结合问题的特征(数量、图形)，数形结合，目标进行转化，将要求解的利于沟通条件而快捷获解?【牛刀小试打(201占年高考湖南卷?理14)在边长为1的正三AABC中，设BC=2BD,CA=3CE，贝UADB^__________?(解：依题意D为BC的中点_AD导CjyD?BEAD(BCCE)ADBCADCE二ADCE学习必备欢迎下载AD||CE|cos15031（3）=一丄.）2324三、巧用平面内三点共线的充要条件T平面内：代孚三点共线二（丸ER）=对平面内任意一点O，使得OP=:OA'OB（其中：，I■：=R，::=1）.A,B,C是平面上不共线的三点，0例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知10P[（2-2'）0D（12'）0C]为AABC的外心，D为AB的中点，动点P满足3（⋯R），则点P的轨迹一定过UABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心11分析：审视条件向量等式，有（2_2■）（1?2■）=1，问题即可获解.131311解：因为0P（2-2?）0D—（12,）0C,—（2-2,）—（12,）=1,所以ABC的重心，选C.点评：利用平面P,C,D三点共线.又D为AB的中点，所以点P的轨迹一定过33的“包装”露出3P,C,D3内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式三点共线这个“内核”，问题迎刃而解.【牛刀小试】（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，ABC^,_AH_B（于H,M为AH的中点，AM=hABPA（则人+卩=.在.j（解：因为M为AH的中点，B,H,C三点共线，所以2AM=AH=:::=11一1.所以AMABAC，所以2222（二'■■■■）^四、巧用常用结论（1）三角形四心的向量表示：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，①0为222外心壬OAOB0C肓G为重心=GAGBGC=0；TTHBHC二HCHA；④I为内心二-ABAC（简化为AD）所在的直线一定通过|AB||AC|_HAHBH为垂心二=aIAbIBcIC0.(2)ABC的内心（即AD为.BAC的角平LLABAC分线）;（3）AB?AC所在的直线一定通过ABC的重心；（4）ABAC-T——|AB|cosB|AC|cosC（简化为AP，可证得AP-BC=0）所在直线一定通过ABC的垂心.例4（上海市浦东新区2011届高三质量抽测）点O在ABC所在平面内，空出下列关系式：(1)OAOBOC=0;(2)OAOB=OBOC=OCOA;(3)OA‘(-^C—AOA+OB+OC=o；）OAOB=OBOC=OCOA；（）OA|-^C—系式：（1）（23恳（竺一竺）=0；（4）|BC||BA|为ABC的（）A.内心、外心、重心、垂心C.重心、垂心、内心、外心分析：根据熟知的结论可排除选项TTTTTTO依次(OAOB)AB=(0BOC)BC=0?则点.重心、外心、内心、垂心D.外心、内心、垂心、重心A、B、D，选C.学习必备欢迎下载解：(1)显然0为二ABC的重心；(2)显然0为二ABC的垂心;⑶设=AM,IAC|-ABAN，则AM、AN都为单位向量且分别与AC、AB同向共线.由|AB|OA(ACAB)=0得OANM0,所以OA_MN，所以OA是.BAC的平分线；IAC|LABi」同理由OB(-BCBA)=0得到OB是.ABC的平分线，所以O为ABC的内心.(4)|BC||设D为AB的中点，OB)AB=0得2ODAB=0,所以OD_AB,所以OD是AB的垂直平分线?同理由(OBOC)?BC=0得到点O在线段BC的垂直平分线上，所以O为.ABC的外心.点评：熟记一些重要而常用的 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 论，对解决 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 问题是很有益的，或者可以开启解题思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间.【牛刀小试】(安徽蚌埠二中2011届高三第四次质量检测题)已知ABC所在平面上的动点M满足2AMB^AC-AB，则M点的轨迹过.：ABC的()A.内心B.垂心||C..重心|)D.外心(解：由已知得2AMBC=(AC?AB)(AC—AB)，即2AMBC=(ACAB)BC，所以BC［2AM-(ABAC)］=0,设BC的中点为rTTt—*D，则ABAC=2AD，所以BC2DM=0,所以MD_BC，所以动点垂直平分线上，所以M点的轨迹过ABC的外心，选D.)M在BC的五、巧构图形1.构图求向量夹角的取值范围例5(2011年高考课标全国卷?理2二10)已知a与b均为单位向量，其夹角为二，有下列命题：p1:|a?b|1=二[0,*2兀3P2:|a■b|^(，二］313P3：|a-b|1=r[0,—)3JIP4:|a其中真命题是—b|?1=二(一，二］3A.P1,P4B.P1,P3C.P2,P3D?P2,P4分析：利用向量的三角形法则分别表示何变化结合条件即可确a而让b旋转,观察角二如ab、a-b，固定定相应的取值范围「解：如图(1)』B片a,|BC冃bI,|AC|=|a+b|,TCBD-v,当BC绕着点B逆时针旋转时，二增大，2二|AC|=|ab|减小，当3时ABC为正三角形，易知|a+b|[0,).如图(2)|AB|=|a|,|AC|=|b|,二=3|CBF|a-b|,CAB-v,当AC绕着点A逆时针旋转时，增大，|CBF|a-b|增大,易知，1a-b|?-u71-(，二］，故选A.3U用向量的三角形法则和运动思想，研究点评：向量具有“数”和“形”的双重特征，禾相应条件下二的取值范围，解法新颖独特，直观快捷(只画图让图在大脑中运动并抓临界值即可获解).学习必备欢迎下载【牛刀小试】（2011年高考浙江卷?理14）若平面向量：?、，满足||=1,\-\<1,1且以向量:->:为邻边的平面四边形的面积为一，则向量「与：的夹角r的取值范围为2（解：如图，在单位圆U0中，取半径OA，设0A=,作OB_0A交圆于点BJ0B的中点D，过点D作0A的平行线交单位圆于点E,F?0C设一：，当点C在线段EF（含两个端点）上时满足「却，且以向量：?、一：为邻边的平面四边形的面积为丄，25■:5二易知.E0A,.F0A，所以^■[-,]）6666求向量的模的最值例6（2011年高考天津卷?理14）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,.ADC二90：,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，贝的最小值为__________.分析：构图时自然是从直角梯形ABCD内的向量图形出发，扣住_PA_3PB的特点设法用一个向量三角形来描述转化为GPPF即，点P在DC上运动时，动点G在直线AD上的投影点E到点D的距离为2，动点F在直线AD上的投影点N到点D的距离为3,于是获得构图思路.解：作出直角梯形ABCD,延长AD至点E使得AD二DE,过点E作HE_AD?延长CB至点M,使得MB二2BC,过点M作MN_AD，交DA的延长线于点N，如图.由AD=JBy1二知目=5?延长AP交EH于点G，延长PB交MN于点F，则GE=2PD=2(CD-PC),FN=2PCCD,3当GE二FN即PCCD时PA3PB=GPPF=GF.当点P向点C靠近时，点G向上运动，点F向下运4GFIIAD，此怛取得最小值5，所以的最小值为5.点评：依据PA-gPB^的特点及已知条件进行，充分利用平面几何知识巧妙构图，数形结合在运动中探索的最小值.【牛刀小试】（2011年高考辽宁卷?理10）若a,b,c均为单位向量，且=0,（a-c）（b-c）乞0，则\a?b-c的最大值为（）A..2-1B.1C.2D.2（解：因为a,R,c均为单位向量，且mab=0,所以构造单位圆，如图，使得0A=a,0B=b,0C=c,0B_0A?又a-c）（b-c）乞0,所以.BCA一押,所以0C只能在.B0A内或者与0A（或0B）重合?作0D=ab，则\0D.2,a?b-c\=\CD\?所以当点C在线段0D上时a，b-c取得最小值.2-1，当点C远离0D与单位圆的交点而向点B（或点A）靠近的过程中增大，特别的当点C与点B或点A重合时（满足（a—c）（b—c）=0）,\CD\取得最大值1，故选B?）充分挖掘向量的代数运算和几何意义（性质）之间的关系是掌握向量数学本质的关键，相关的平面几何知识是解决平面向量问题的重要辅助工具，数形结合、转化与化归、动静结学习必备欢迎下载合（包含简化）等数学思想则为解决平面向量的指路明灯.