中考数学专题圆的切线精华习题精编版

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯中考数学专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 圆的地点关系第一部分真题精讲【例1】已知：如，AB⊙O的直径，⊙OAC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求：DE⊙O的切；2）若DE=2，tanC=1，求⊙O的直径．2DACOEB【思路剖析】本和大的那道如出一，只不两个的三角形一个是躺着一个是立着，人疑他是不是串联好了⋯近年来此特将中点放去一并考察，考生一定要中点以及中位所引的平行等关系特别敏感，尤其不要忘心也是直径的中点一性。于此来，自然接OD，在△ABC中OD就是中位，平行于BC。所以利用垂直关系可OD⊥DE。至于第二重点考察直径所周角是90°一知点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，进而将求AB化求BD，进而将化成解直角三角形的就能够松得解。【解析】（1）明：OD．∵DAC中点，OAB中点，DACOEB∴OD△ABC的中位．∴OD∥BC．DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于点D.∴DE⊙O的切．2）解：DB．∵AB⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵DAC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=1，∴EC=DE4.（三角函数的意要牢）2tanC由勾股定理得：DC=25.在Rt△DCB中，BD=DCtanC5．由勾股定理得：BC=5.∴AB=BC=5.∴⊙O的直径5.【例2】已知：如，⊙OABC的外接，BC⊙O的直径，作射BF，使得BA平分CBF，点A作ADBF于点D.（1）求：DA⊙O的切；（2）若BD1，tan1BAD，求⊙O的半径.21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯AAFF34DCD12CBBOO【思路剖析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应当经过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB组成一个等腰三角形进而∠ABO=∠BAO，自然想到传达这几个角之间的关系，进而得证。第二问依旧是要用角的传达，将已知角∠BAD经过等量关系放在△ABC中，进而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明：连结AO.∵AOBO，∴23.∵BA平分CBF，∴12.∴31.∴DB∥AO.（得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）∵ADDB,∴BDA90.∴DAO90.∵AO是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线.（2）∵ADDB,BD1，tanBAD1，∴AD由勾股定理，得AB5.22.∴sin45.（经过三角函数的变换来扩大已知条件）5∵BC是⊙O直径，∴BAC90.∴C290.又∵4190,21,∴4C.（这一步也能够用三角形相像直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）ABAB5在Rt△ABC中，BC==5.∴⊙O的半径为.sinCsin42【例3】已知：如图，点D是⊙O的直径CA延伸线上一点，点B在⊙O上，且OAABAD.（1）求证：BD是⊙O的切线；B（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE8，tanBFA5，E2F求⊙O的半径长.DACO【思路剖析】本题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上能够反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连结OB此后像例2那样用角度传达也是能够做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了相关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相像，进而将未知条件用比率关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，所以更多的都是利用相像三角形中借助比率来计算，希望大家仔细掌握。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解析】（1）明：接OB.B∵OAAB,OAOB，E213∴OAABOB.F∴ABO是等三角形.4CDAO∴BAO160.ABAD，D230.1290.DBBO.（不用斜中逆定理的就解，麻一点而已）又∵点B在⊙O上，DB是⊙O的切.2）解：∵CA是⊙O的直径，ABC90.在Rt△ABF中，tanBFAAB5BF,2∴AB5x,BF2x，∴AF223x.ABBFBF2.（元的思想很重要）AF3∵CE,34,∴BFE∽AFC.BEACBEACAOBF2.AF38,12.6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分【例4】如，等腰三角形ABC中，ACBC6，AB8．以BC直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足F，交CB的延于点E．1）求：直EF是⊙O的切；2）求sinE的．AFDGEBOC【思路剖析】本和前面略有不同的地方就是通段的详细度来算和明。欲EF是切，需OD垂直于EF，可是本中并未OD和其他角之的关系，所以就需要多做一条助接CD，利用直径的周角是90°，并且△ABC是以AC,CB腰的等腰三角形，进而得出D是中点。成功化前面的中点，而求解。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相像的RT三角形中间结构代数关系，经过解方程的形式求解，也考察了考生关于解三角形的功夫。【解析】AFDGEBOC（1）证明：如图，连结CD，则BDC90．∴CDAB．∵ACBC，∴ADBD．D是AB的中点．∵O是BC的中点，DO∥AC．∵EFAC于F．EFDO．EF是⊙O的切线．(2)连结BG，∵BC是直径,∴BGC90CFE．（直径的圆周角都是90°）BG∥EF．sinEFCCG．ECBC设CGx，则AG6x．在Rt△BGA中，BG2BC2CG2．在Rt△BGC中，BG2AB2AG2．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边建立等式，事实上也能够直接用直角三角形斜边高分比率的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ）2．即CG2．∴6x86x．解得x222233CG21在Rt△BGC中．∴sinE3BC6．9【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延伸BA交圆于E.（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的地点关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.EAFDBGC4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【思路剖析】本题虽然是圆和平行四边形的地点关系问题，可是依旧考察的是怎样将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于怎样证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重假如利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相像。第二问则不难，重点在于怎样利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，进而求解。【解析】E1FAD26534BGC（1）结论：GD与O相切证明：连结AG∵点G、E在圆上，AGAE∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC∴B1，23ABAG∴B3∴12（做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）在AED和AGDAEAG2ADADAED≌AGDAEDAGDED与A相切∴AED90AGD90AGDGGD与A相切（2）∵GCCD5，四边形ABCD是平行四边形∴ABDC，45，ABAG5∵AD∥BC∴46∴561B2∴226（好多同学感觉题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯630∴AD10.【总结】经过以上五道一模真题，我们能够得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做协助线连结圆心与切点自不必说，接下来就要考虑怎样将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只需求了这一种证明切线的思路，可是事实上证明切线有三种方式。为以防碰到，仍是希望考生能有所认识。第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。比如圆外接三角形，或许圆与线段交点这样的。把握好各样圆的性质关系就能够了。第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能冒然连结，于是能够先做垂线，然后经过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。比如大家看这样一道题，如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能经过O做AC的垂线，然后证明这个距离恰好就是圆半径。如果考生想自然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。比如看下面一道题：如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三平分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就特别麻烦。可是换个角度想，如果连结AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就特别严实了。（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，经过数量关系将AO，BO都用AB 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理能够证出直角。）至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所组成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△中间就能够特别方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，正确率高，为后边的代几综合体留出空间。6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二部分发散思考【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；C（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.OBAD【思路剖析】本题为去年海淀一模题，虽然较为简单,可是统计下来得分率却很低.因为题目中没有给出相关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去结构。同一段弧的圆周角相等这一性质是特别重要的，延伸DB就会获得一个和C同样的圆周角，利用角度关系，就很容易证了然。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角成立相等的比率关系，进而求解。（解法见后）【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交O于点C，直线OC上一点D知足∠D=∠ACB.1）判断直线BD与⊙O的地点关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径等于4，tanACB4，求CD的长.3【思路剖析】本题也是特别典型的经过角度变换来证明90°的题目。重点在于怎样利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分红两个角去证明和为90°。（解法见后）【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2）当BC=4,cosC=1时，求⊙O的半径.3【思路剖析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点仍是切线判断，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感觉一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为BC上一点，CE⊥AD于E.求证：AE=BD+DE．【思路剖析】前面的题目大多是相关切线问题，可是未必所有的圆问题都和切线相关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。本题的重点在于怎样在图形中找到和BD相等的量来达到转变的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相像或许全等三角形中的线段关系。E【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延伸线的一C点，AE⊥CD交DC的延伸线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；AOFBD（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．【思路剖析】又是一道特别典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，可是经过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依旧要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转变。第三部分思考题解析【思考1解析】EC1）证明:如图,连结AO并延伸交⊙O于点E,连结BE,则∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°.∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，∴∠EAB+∠BAD=90°.AD是⊙O的切线.2）解：由（1）可知∠ABE=90°.OBAD8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯AE=2AO=6,AB=4,∴BEAE2AB225.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,cosBADcosE.ABBE.ADAE即425AD.6AD125.5【思考2解析】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图3，连结OB．-∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，∴∠2=∠CBD．AB∥OC，∴∠2=∠A．∴∠A=∠CBD．OB=OC，BOC23180，BOC2A，A390．CBD390．∠OBD=90°．直线BD与⊙O相切．（2）解：∵∠D=∠ACB，tanACB4，3BA31D2CO∴tanD4．3在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，tanD4，3∴sinD4，ODOB5．sinDCDODOC1．【思考3解析】1）证明：连结OM，则OMOB．∴12．C∵BM平分ABC．∴13．ME∴23．2G31∴OM∥BC．ABFO9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯AMOAEB．在△ABC中，ABAC，AE是角平分线，AE⊥BC．AEB90°．AMO90°．OM⊥AE．AE与⊙O相切．（2）解：在△ABC中，ABAC，AE是角平分线，∴BE1BC，ABCC．21∵BC，4，cosC3∴BE1，cosABC1．△ABEAEB3在中，90°，∴ABBE6．cosABC设⊙O的半径为r，则AO6r．OM∥BC，∴△AOM∽△ABE．∴OMAO．BEABr6r．26解得r3．2∴⊙O的半径为3．2【思考4解析】证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．在△ACF和△BCD中，ACBC,CAFCBD,AFBD,∴△ACF≌△BCD．CF=CD.CE⊥AD于E，∴EF=DE.AEAFEFBDDE.CODFEAB【思考5解析】证明：（1）连结OC,10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯AECD,CFAB,又CECF,2.OAOC,3.3.OC//AE.OCCD.DE是O的切线.(2)解：AB6,OBOC1AB3.2在RtOCD中，OC3,ODOBBD6,D300.COD600.在RtADE中，ADABBD9,AE1AD9220在OBC中，OCCOD=60,OBBCOB3.11