奥数因式分解

精心整理页脚 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 、常用公式:序号公式记忆特征12x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(十字相乘法)常数项两数积一次项系数两数和二次项系数为12~22a-b=(a-b)(a+b)(平方差公式)3222a+2ab+b=(a+b)222a-2ab+b=(a-b)(完全平方公式)42222a+b+c+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)(完全平方公式扩展)三数平方和两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)332233a-3ab-3ab+b=(a-b)(元全立方公式)对照完全平方公式相互加强记忆63322a+b=(a+b)(a-ab+b)3322a-b=(a-b)(a..+ab+.b..)近似完全平方公式缺项之完全立方公式23(a+b)[.(a+b).-3ab]=(a+b)-3ab(a+b)23(a-b)[(a+b)+3ab]=(a-b)+3ab(a+b)73.33小・z.x,2.22.a+b+c-3abc=(a+b+c)(a.±b.+c.-ab-.ac-b.c)对照公式4相互加强记忆8n■n/.x/n-1n-2.n-32.n-2.n-1、击忌冶件a-b=(a-b)(a+ab+ab+・・+ab+b)n=整数(平方差公式扩展)短差长和；a指数逐项递减1;b指数逐项递增1;长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-••+abn-2-bn-1)n=偶数(立方差公式扩展)短式变加长式加减相间；a指数逐项递减1;b指数逐项递增1;母项付号b扌曰数决疋偶加奇减。10a+b=(a+b)(a-ab+ab-・・+ab-b)n=奇数(立方和公式扩展)对比公式9的异同公式1练习：第一组第二组第三组第四组第五组2cLx+6x+52x2+8x-1032x-8x+15xc2c2x-x-322x+2xy-15y2x-x+4223x+3x-3632x+20x+51x2-3x+11x-6322x+2xy-15xy2cCLx+2x-355x2-10x-1532x-12x+32x-4x2-8x-3222x-xy+3yx2+4x-4527x-35x+42x3-11x2+30x6x2-2x-8224x--2xy+2y二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法页脚内容精心整理三、例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 讲解1、提取公因式法例1x(a-b)n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n,(b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解：原式=(a-b)2n[x-y(a-b)]=(a-b)2n(x-ay+by)例2(ax+byf+(ay-bxf+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项解：原式=a2x2+2abxy+6y2+a2y2-2abxy+k2x2+c2y2+c2x2(原式展开)=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c)y2(合并同类项)=(a2+b2+c2)(x2+y2)(提取公因式)2、运用公式例1x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低(2或3最佳)解：原式=xy(x6-y6)(提取公因式)=xy[(x3)2-(y3)2](公式2：平方差公式)=xy(x-y3)(x3+y3)(公式6:立方和/差公式)=xy(x-y)(x+xy+$)(x+y)(«-xy+y2)例2(a+2b+cf-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和(添括号形成立方和的形式)(应用立方和公式展开)(提取公因式a+2b+c形成平方差公式)(提取公因式b+c)(合并化简)原式=(a+2b+cf-[(a+b)3+(b+c)3]=(a+2b+cj-(a+2b+c)[(a+bf-(a+b)(b+c)+(b+c2]=(a+2b+c){[(a+2b+c2-(a+b¥]+(a+b)(b+c)-(b+c)}2=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)-(b+c=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)-(b+c)]=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例3若X=.£*訣，y=..；.一..：'..•:，则x6+y6的值是:解：x6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2](应用立方和公式)=(x2+y2)[(x2+y2)2-3x2y2](应用完全平方公式)/+y2=(,)2+(,；：■)2=4,3x2y2=3X(■.£亠,)2X(■.£_.)2=6x6+y6=4X(42—6)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感1)按系数分组例2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)按字母分组例x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y(b+1)(去括号)(适当分组)(去括号化简)(提取公因式及应用立方和公式)(分组)=ax+x_axy(x_y)+bxy(x_y)+by+y=[ax3-axy(x-y)]+[bxy(x-y)+b^+[x3+y3]=(af-a点y+ax『)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3)=ax(«-xy+『)+by(x2-xy+『)+(x+y)(x-xy+『)22=(x-xy+y)(ax+by+x+y)按次数分组例(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+[(x+y)-2)][(x+y)-2xy]精心整理(多项式相乘)(提取公因式整理)(再次分组)(完全平方公式展开)(合并后得到新的完全平方)(再次应用完全平方公式)=(xy-1)2+(x+yf-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy=(xy-1『+(x+y)-2(x+y)(xy+1)+4xy=[(xy-1)2+4xy]+[(x+y)^-2(x+y)(xy+1)]=[(xy)2-2(xy)+1+4(xy)]+[(x+y2-2(x+y)(xy+1)]=(xy+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y2=[(xy+1)-(x+y)]=(xy_x_y+l)5、添拆项法例1x5+x+1提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x2+x2后分组应用公式原式=(f-x2)+(«+x+1)(添加-x2+x2后分组)232=x(x-1)+(x+x+1)(提取公因式)=x2(x-1)(x+x+1)+(?+x+1)(应用立方差公式)=(x2+x+1)[x2(x-1)+1](提取公因式)=(x2+x+1)(x-x2+1)例22x4-15x3+38x^39x+14提示：把-15x3拆成-13x3和-2x3,把38x2拆成13x2和25x2，把-39x拆成-25x和-14x，分组提取公因式原式=2x4-2x3-13x3+13>^+25(-25x-14x+14(拆项分组)=2x3(x-1)-13#(x-1)+25x(x-1)-14(x-1)(各自提取公因式)=(x-1)(2x3-13x2+25x-14)322=(x-1)(2x3-7x2-6x2+21x+4x-14)=(x-1)[«(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)]=(x-1)(2x-7)(£-3x+2)=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2)2=(x-1)2(x-2)(2x-7) 真题 北京中考数学真题pdf四级真题及答案下载历年四级真题下载证券交易真题下载资料分析真题下载 精解：(提取公因式x-1)(再次拆项)(分组各自提取公因式)(提取公因式2x-7)(对进行x2-3x+2十字相乘分解)1)已知多项式ax3+b«+cx+d除以x-1时的余数是1,除以x-2时的余数是3,那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？(第12届“希望杯”试题)解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3,即2m+n=3,解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1,故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12)k为何值时，多项式x2-2xy+k『+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？(天津市竞赛试题)解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为？(x+1)(x+2)故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by,将其展开得：x2+(a+b)xy+ab了+3x+(2a+b)y+2与原式对比系数得：a+b=-2,ab=k,2a+b=-5解之得a=-3,b=1,k=-33)如果x3+ax+bx+8有两个因式x+1和x+2,求a+b的值。(美国犹他州中学竞赛试题)解法1:设原式=(x+1)(x+2)(x+k)展开后得：x3+(3+k)#+(3k+2)x+2K对比原式系数得a=3+k,b=3k+2,8=2k所以a+b=4k+5=16+5=21解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0,分别代入后得a-b+8=0,4a-2b+8=0解得a=7,b=14,故a+b=14真题实练：下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是()2A.(x+1)(x-1)=xB.(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)D.m2-2m-3=m(m-2-3/m)(第8届“希望杯”试题)(提示：本题简单，因式分解的概念)下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有()①a2b2-a2-b2-1②x3-9ax2+27a2x-27a3③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b④3m(m-n)+6n(n-m)⑤(x-2)2+4x精心整理A.①②③B.②③④C③④⑤D.①②④（第10届“希望杯”试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）Kla-b3•设bMc,且满足（「•i）（a-b）+t（b-c）=a-c,贝U的值（）A.大于零B.等于零C小于零D.正负号不确定（第12届“希望杯”试题）（提示：按（a-b）和（b-c）重新整理分组合并）已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，贝U符合条件的整数a的个数是（）A.3个B.4个C.6个D.8个（第7届“希望杯”试题）（提示：对-12以十字相乘法拆分穷举）y-2x+1是4xy-4乙『-k的一个因式，贝Uk的值是（）A.0B.-1C.2D.4（第14届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）.将多项式x2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是（）A.（x+2y-3z）（x-2y-3z）B.（x-2y-3z）（x-2y+3z）C.（x+2y+3z）（x+2y-3z）D.（x+2y+3z）（x-2y-3z）（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）.分解因式：x2-4y2-9z2-12yz=o（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）分解因式：x5+x-1=o（第9届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，则k=o（第10届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）分解因式：xy-1-x+y=o（第10届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）