江苏省13市2015年中考数学试题分类汇编解析：二次函数

江苏省13市2015年中考数学试题分类汇编二次函数（解析版）1．（2015江苏苏州3分）若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为A．B．C．D．【答案】D【分析】二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是，∵对称轴过点（2，0），∴，即，将b值代入方程，得，，∴，故选D。【考点】二次函数对称轴；二元一次方程的解。2．（2015江苏常州2分）已知二次函数y＝＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是A．m＝－1　　B．m＝3　　C．m≤－1　　D．m≥－1【答案】D【分析】∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴对称轴在直线左侧，即，解得m≥－1【考点】二次函数增减性，二次函数对称轴【点评】对二次函数的增减性一定要结合图像来记忆，请根据本题自己出类似的题目，争取把所有可能情况都列清楚，要做到举一反三，做一道题目会一类题目。3．（2015江苏常州2分）二次函数y＝－＋2x－3图像的顶点坐标是____________．【答案】（1，）【分析】方法一：根据二次函数顶点公式，（，），代入可得（1，）；方法二：，∴顶点坐标为（1，）。【考点】二次函数顶点公式；配方法解二次函数【点评】这两种方法是中考常用方法，一定要熟记。4.（2015江苏连云港3分）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式　　(写出一个即可）．【答案】【分析】此题是开放性题目，可写的函数关系式很多，比如一次函数，只要都行，值随便写；二次函数，只要都行，c值随便写；反比例函数，都行。做题要举一反三，做一道会一类。【考点】二次函数；一次函数；反比例函数5.二次函数的图像是顶点坐标是。【答案】（1,2）【分析】方法一（公式法）：顶点为（，），将、、代入，可得顶点坐标为（1,2）方法二（配方法）：，∴顶点坐标为（1,2）。【考点】二次函数6.（2015江苏淮安10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）；销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】解：（1）设每斤的售价降低x元，每天销售量为。为了保障每天至少售出260斤，即，∴，∴每天的销售量是（）斤。（2）设张阿姨需将每斤的售价降低元，设其利润为W元，根据题意得=若，即，解得，（舍去），∴张阿姨需将每斤的售价降低1元。【考点】二次函数应用题7.（2015江苏扬州12分）科研所 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费万元与科研所到宿舍楼的距离之间的关系式为：（0≤≤9），当科研所到宿舍楼的距离为1时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为9或大于9时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设每公里修路的费用为万元，配套工程费=防辐射费+修路费（1）当科研所到宿舍楼的距离为=9时，防辐射费=万元；，（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少时，配套工程费最少？（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9，求每公里修路费用万元的最大值【答案】解：（1）当=9时，防辐射费=0万元；∴①当=1时，防辐射费=720万元；∴②联立①②解得（2）设科研所到宿舍楼的距离为时，配套工程费为，根据题意，得∴当即时配套工程费最少，为720万元。（3）∴这是关于的二次函数，当=，即时方程取最大值，m的最大值为。∴每公里修路费用万元的最大值为80.【考点】二次函数应用题；不等式；整体思维8.（2015江苏南通10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元。若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元。已知该服装成本是每件200元。设顾客一次性购买服装件时，该网店从中获利元。（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？【答案】解：（1）当时，；当时，综上，与的函数关系式为：（2）当时，；当时，，时取最大值，∵为整数，根据抛物线的对称性，时，有最大值1408.∵1408＞1000，∴顾客一次性购买22件时，该网店从中获利最多。【分析】当不能取顶点值时，越接近顶点越接近最值（包括最大值和最小值）。【考点】二次函数应用；一次函数9．（2015江苏南京10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元。（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为，∵AB过点A（0，60）和B（90，42）.∴，解得y1与x之间的函数表达式为（）（3）设与x之间的函数表达式为，∵的函数图象过点C（0，120）和D（130，42）.∴，解得与之间的函数表达式为（）设该产品产量为时，获得的利润为W，当时，，∴当时，W值最大，最大值为2250元。当时，，在该区间内，W随x的增大而减小，所以当时，W值最大，最大值为=2160.∴当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大利润为2250万元。【考点】二次函数应用；二次函数最值，二元一次方程组10．（2015江苏无锡10分）一次函数的图象如图所示，它与二次函数的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】解：（1）∵，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∵一次函数的图象与对称轴交于点C，∴C点横坐标为2，当时，，故点C（2，）；（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，），∴CD=3，设A（m，m）（m＜2），由S△ACD=3得：，解得m=0，∴A（0，0）．由A（0，0）、D（2，）得：，解得：a=，c=0．∴二次函数的关系式为；②设A（m，m）（m＜2），过点A作AE⊥CD于E，则AE=，CE=，AC=，∵CD=AC，∴CD=，由S△ACD=10得，解得：或（舍去），∴，∴A（，），CD=5，当a＞0时，则点D在点C下方，∴D（2，），由A（，）、D（2，）得：，解得∴；当a＜0时，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（，）、D（2，）得：，解得∴。【考点】二次函数；一次函数。。【点评】本题解题关键是辅助线的做法，即线段AE，这是常用的作法，一定要掌握。另外注意a的符号不同图像的开口方向也不同。11.（2015江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【答案】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为，∴，A点的坐标为（，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（，1））代入得，解得∴直线的函数关系式为∵直线与抛物线相交，∴，解得，，当时，，∴点B的坐标为（8，16）。（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，∴AG2+BG2=AB2，∵由A（，1），B（8，16）可求得AB2==325．设点C（m，0），同理可得，，①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即=，解得：m=；②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即，解得：m=32；∴点C的坐标为（，0），（0，0），（6，0），（32，0）(3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=，又∵点P与点M纵坐标相同，∴，∴，∴点P的横坐标为，∴MP=，∴MN+3PM=+=，∵2≤6≤8，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．【考点】二次函数；一次函数；二次函数最值；【点评】两点间距离公式是常用的解二次函数题目的方法，可以通过作辅助线和勾股定理的方法加以说明，但是以后小题目可以直接用。假设A（，），B点（，），则AB=12.（2015江苏宿迁8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图像经过点A，动直线与反比例函数的图像交于点M，与直线AB交于点N。求k的值；求△BMN面积的最大值；若,求t的值。【答案】解：（1）∵反比例函数经过点A，∴，解得。（2）设直线AB的解析式为，将A、B点代入得，解得∴直线AB的解析式为。∴N点坐标为（t，），又∵M点坐标为（t，），∴MN=。∴∴当时，△BMN面积的最大，最大值为。（3）过A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点M。又MA⊥AB，∴△ABQ∽△PAQ，∴，即，∴。∴P点坐标为（0，17），又A（8，1），设直线AP方程为，代入，得，解得∴直线AP方程为，∴，解得，∴【考点】二次函数；一次函数；反比例函数；二次函数最值；【点评】此题第3问有更简单的解法，不过需要用到两直线垂直时斜率互为负倒数。比如直线和两直线斜率相乘等于，即。第3问解法二：直线AB的斜率为，直线AM的斜率为=（），∵AB⊥AM，∴，解得这种方法在小题目可以用，而且很好用。13.（2015江苏宿迁10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为，点A、D、G在轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线过C、F两点，连接FD并延长交抛物线于点M。若，求m和b的值；求的值；判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由。【答案】解：（1）∵ABCD为正方形，边长为，D为AD中点，∴C点坐标为（2，1），代入得，∴；∵正方形DEFG的边长为，∴F点坐标为（，），∵F点在抛物线上，∴，即，解得或（舍去）。（2）把C（，）、F（，）代入得，消去m，得，∴，∴或（舍去）∴。（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切，理由如下：C(，)、F(，)、D(0，)把C(，)代入得，∴，由（2）得，，∴F(，)，设FM的直线方程为，把F点代入，得，解得，∴FM的解析式为。将代入入得，，解得，∴M(,)过M作轴平行线，过F作轴平行线相交于点H，取MF的中点Q，作QN⊥AB于点N，交MH于P，在等腰直角三角形MFH中，MH=FH=，∴MF=，∴，∴，以FM为直径的圆与AB所在直线相切。【考点】二次函数；一次函数；圆【点评】此题比较难。QN实际上由两部分构成，即和MH到AB的距离。初中作辅助线普遍是作平行于x轴或y轴的直线，这个必须掌握。本题字母比较多，去字母的过程具有很强的技巧性，需要对本题多加练习，琢磨去字母的技巧并加以掌握。14.（2015江苏徐州12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过点O、E、A三点。（1）∠OBA=。（2）求抛物线的函数表达式。（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形的面积记为S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】解：（1）∠OBA=90°。∵B为半圆上一点，OA为直径，∴∠OBA=90°。（2）如图，连接AC，由（1）知，OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线。∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C（6,8），∵B为△ADC边AC中点，∴B点纵坐标为，又∵,∴B点横坐标为，∴B（8,4），∴OB所在直线解析式为，又∵E点横坐标为6，∴纵坐标为，∴E（6,3）∵抛物线过O点，∴设抛物线方程为，将E、A两点代入，得，解得，∴抛物线方程为。（3）设点P（,），①当P在CD左侧时，如右图所示连接PD，则四边形被分成3个三角形，即△OPD、△PED、△DEA。∴∴②当P在CD右侧时，如右图所示连接PD，则四边形被分成3个三角形，即△ODE、△PED、△DPA。∴∴综上，当P在CD左侧时，，该二次函数对称轴是，∴在范围内，函数左右对称，每个S值对应2个值，；当P在CD右侧时，，该二次函数对称轴是，在定义域范围内，每一个S值对应两个值，此时；顶点只对应1个值，即时。∴当时，相应的点P有且只有3个。【考点】二次函数；一次函数；圆；垂直平分线；单动点。【分析】碰到中点和垂线要自然联想到垂直平分线，平时练习时要养成这种习惯；若抛物线过原点，可设其抛物线方程为；要熟练掌握利用点的坐标来求三角形面积。15.（2015江苏盐城12分）知识迁移我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到.类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）.理解应用函数的图像可以由函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为.灵活运用如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据该图像指出，当x在什么范围内变化时，≥？实际应用某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在（≥4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为.如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【答案】解：理解应用1；1；（1,1）灵活运用函数的图像如右图所示。由得，解得；由图可知，时，≥。实际应用当时，，则由，解得；即当进行第一次复习时，复习后的记忆存留量变为1.∴点（4,1）在函数的图像上，∴，解得。∴再由，解得，即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”。【考点】二次函数；反比例函数；知识点迁移；图像的平移。【点评】读题能力是本题解题的关键。16.（2015江苏宿迁8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图像经过点A，动直线与反比例函数的图像交于点M，与直线AB交于点N。求k的值；求△BMN面积的最大值；若,求t的值。【答案】解：（1）∵反比例函数经过点A，∴，解得。（2）设直线AB的解析式为，将A、B点代入得，解得∴直线AB的解析式为。∴N点坐标为（t，），又∵M点坐标为（t，），∴MN=。∴∴当时，△BMN面积的最大，最大值为。（3）过A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点M。又MA⊥AB，∴△ABQ∽△PAQ，∴，即，∴。∴P点坐标为（0，17），又A（8，1），设直线AP方程为，代入，得，解得∴直线AP方程为，∴，解得，∴【考点】二次函数；一次函数；反比例函数；二次函数最值；【点评】此题第3问有更简单的解法，不过需要用到两直线垂直时斜率互为负倒数。比如直线和两直线斜率相乘等于，即。第3问解法二：直线AB的斜率为，直线AM的斜率为=（），∵AB⊥AM，∴，解得这种方法在小题目可以用，而且很好用。17.（2015江苏泰州10分）已知二次函数的图像经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线。（1）求、的值；（2）如图，一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P的右侧，，求一次函数的表达式。【答案】解：（1）∵二次函数对称轴是经过且平行于轴的直线，∴，解得：；∵二次函数过点，∴，解得：∴，。（2）二次函数解析式为。如下图，过P作PC⊥轴于点C，过B作BD⊥轴于点D，PC∥BD，∴，∴，∵PC=1，∴，∴。∵B在二次函数上，设B点横坐标为x，∴，解得，（舍去）∴B点坐标为（2，6），将B、P点代入一次函数得，解得∴一次函数的表达式是【分析】本题作辅助线方法依然是过点作x轴垂线，利用相似三角形解题。【考点】二次函数；一次函数；相似三角形。18．（10分）（2015•镇江）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？考点：二次函数综合题．.分析：（1）利用顶点式的解析式求解即可；（2））①当k=1时，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标；②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）；③由y=﹣+t，经过（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x轴，可得E点的横坐标为﹣1，可得出AE，ME，MA的值．设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函数表达式为y=﹣2x+4．再把点D代入，即可求出k的值；④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．解答：解：（1）设y=a（x﹣1）2+2，将（0，3）代入，得a=1，∴y=（x﹣1）2+2，即y=x2﹣2x+3，∴a=1，b=﹣2，c=3；（2）①当k=1时，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x=2±，即图象与x轴的交点坐标（2+，0），（2﹣，0）；②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6），③y=﹣+t，经过（﹣1，6），得t=，∴y=﹣x+，则A（7，0），∵MN⊥x轴，∴E点的横坐标为﹣1，∴AE=8，∵ME=6，∴MA=10．如图1，设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，∵MD平分∠NMP，MN⊥x轴，∴BC=BE，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AME，∴=，则x=3．得点B（2，0），∴MD的函数表达式为y=﹣2x+4．∵y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]2+（k+1）2+2k﹣3．把D（k+1，k2+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±，由y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）有意义可得k=﹣3+，④是．当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．点评：本题主要考查了二次函数，涉及二次函数的解析式的求法，一次函数的知识及相似三角形，解题的关键是把二次函数图象与其它函数图象相结合解决问题．