理学第五节逆矩阵会计学1理学第五节逆矩阵二、逆矩阵的概念和性质例如设使得则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的一个逆矩阵，记作.对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，定义2.4.1第1页/共34页第2页/共34页注：2.可逆矩阵与它的逆矩阵是可换的同阶方阵；3.若是的逆矩阵,则也是的逆矩阵，即、互逆；4.若成立，则也成立。1.不能理解成；第3页/共34页事实上，若设和都是的逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的。5.若是可逆矩阵,则的逆矩阵唯一；6.零矩阵不可逆；单位矩阵可逆，且 第4页/共34页例1证明矩阵证明：的逆矩阵为第5页/共34页设例...
会计学1理学第五节逆矩阵二、逆矩阵的概念和性质例如设使得则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的一个逆矩阵，记作.对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，定义2.4.1第1页/共34页第2页/共34页注：2.可逆矩阵与它的逆矩阵是可换的同阶方阵；3.若是的逆矩阵,则也是的逆矩阵，即、互逆；4.若成立，则也成立。1.不能理解成；第3页/共34页事实上，若设和都是的逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的。5.若是可逆矩阵,则的逆矩阵唯一；6.零矩阵不可逆；单位矩阵可逆，且 第4页/共34页例1证明矩阵证明：的逆矩阵为第5页/共34页设例2证明解：第6页/共34页由，得例3可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证明第7页/共34页三、可逆矩阵的运算规律：1.若可逆，则也可逆，2.若、是同阶可逆阵，则也可逆，且且证明：特别有：（反序定律）第8页/共34页3.若可逆，则也可逆，4.若可逆，则也可逆，且且证明：证明：第9页/共34页5.若可逆，则证明：注：、可逆，不一定可逆。即使可逆，一般情况下，不一定成立。例或第10页/共34页定义1四、逆矩阵的存在性奇异矩阵与非奇异矩阵设是奇异矩阵是非奇异矩阵第11页/共34页定义2设为阶方阵，的行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵的伴随矩阵。记为第12页/共34页解：第13页/共34页逆矩阵的存在定理：证明若可逆，则矩阵可逆的充要条件是非奇异， 且当A可逆时， 必要性：充分性：即； 第14页/共34页第15页/共34页由逆矩阵的定义可得第16页/共34页解：第17页/共34页下证注4证：即A可逆第18页/共34页矩阵乘法的三大特征（1）无交换律：（2）无消去律：（3）不一定不一定不一定第19页/共34页例3设是非奇异矩阵，且，求证：将两端同时左乘以得证明：由于非奇异，故可逆.即从而即消去律成立第20页/共34页若可逆若可逆第21页/共34页分块矩阵的逆矩阵分块对角矩阵如果都可逆，则第22页/共34页伴随矩阵的性质=第23页/共34页第24页/共34页（反序定律）111)(---=ABAB第25页/共34页例4设A的逆矩阵为求解：第26页/共34页第27页/共34页第28页/共34页第29页/共34页第30页/共34页第31页/共34页课堂练习1.判断矩阵A是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵.第32页/共34页3.设二阶方阵求答案2.已知方阵A满足判断矩阵A,3I-A是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵.第33页/共34页
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