平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用一、与垂直有关的问题对于非零向量a,b,有a_b=a七=0,若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a_bb=(X2,y2),=X1X2yiy^0这是体现“垂直”内涵的等式，借此可把解析几何复杂的位置关系转化为纯粹的向量运算。所以解析几何中涉及到垂直问题，利用这些向量关系式求解是非常方便的。例1.过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线11与12,且^与乂轴交于M点,12与y轴交于N点.求线段MN中点P的轨迹方程.解:设P(x,y),由中点坐标公式得M(2x,0),N(0,2y)则AM=(2x-a,-b),AN=(-a,2y-b),h_l2,AM_AN.(2x—a,—b)•(一a,2y—b)=02ax2by_a2_b2二0点评：该解法避开斜率，不再分斜率存在和不存在的两种情况进行讨论，也就不存在丢掉斜率不存在的情况，同时也简化了计算，该题实质是向量垂直的应用。例2.知点M(x,y)是圆x2y2=r2上的一点，求证：过M(x,y)点的切线方程为例3.已知直线l:xb和圆O：x2•y2=1,问是否存在实数b，使从点A(3,3)发出的光线被直线|反射后与圆O相切于点Bd4,^)?2525若存在，求出b的值；若不存在，说明理由。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：假设存在这样的b，则OB垂直于反射线所在直线AB(A为A关于I的对称点)，利用OB_AB的条件便可获证。本题解法虽多,但利用向量知识求解显得简捷明快。(存在符合条件的实数b=4)通过上面两例可以看出，解析几何中垂直问题用向量来处理比以往任何处理方法都简洁。练习：2r1•设F1,F2是双曲线三—y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，有PFj•PF2=0,4则|PF』］PF2|的值等于.(2)2y22已知双曲线x1的焦点为F1,F2,点M是双曲线上的动点，且MF1•MF?=022丁3时,则点M到x轴的距离是•(可)解.设切线|上任一点P(x,y)，则向量OM=(x,y)，MP=(x-x,y-y)，因为OM_MP=OM*MP=0yxOP(x,y)M(x°,y。)二xnx—x》+yly_yF=0n乂咲+丫穹=乂2+『2=「2=所以过圆x2y2=r2上的一点M(x,y)点的切线方程为xxyy3.设圆C:(x-1)2•y2=1,过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点P的轨迹方程.12212(XQyT(x~.4.设A(X1,yjB(X2,y2)(x-X1)(x-X2)(y-y1)(y-5.等轴双曲线的两个顶点分别为于双曲线实轴的直线与双曲线交于,求证：以线段AB为直径的圆的方程为A1、A2,垂直MN,(如图)求证：MA1丄A2N,MA2丄AN。Y与角度有关的问题f(x,y)=0，即为所求轨迹方程。(2)求夹角公式，结合(1)知f(x0,y0)=0,先求出任意两个不共线的非零向量=x1,y1、b=x2,y2，由夹角公式rabXtX2+y』2亠cos^==t一』二知cos日的正负直接由分子x/2+%y2来确定，|a||b|胡乍血科于是得到如下结论：若二为锐角：二x/2•yiy20,即a*b0若二为直角：二x1x2y1y2=0,即a・b=0—k-f若二为钝角：=x1x2-y1y2:::0,即a*b:::0因此，两个向量夹角的范围由它们的数量积的正负所确定22xy例1•已知椭圆1的焦点为F「F2，点P为其上的动点，当•F1PF2为钝角时,TOC\o"1-5"\h\z94点P的横坐标的取值范围是什么？解/戸(-..5,0),F2(..5,0),设点P(3cos二2si—戸PF?为钝角，PF1・PF2=(-5-3cosd-2sinR・(5-3cos^,-2sin"V5V5=9cos2J-54sin2J-5cos2-1：：0解得cos553J53J5■P点横坐标的取值范围是(-空，空).55点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。cost，进而求出tan，)。((1)x2■y2=3(x-0)表示以原点为圆心，•、.3为半径的右半圆(除去两端点))。(2)(n日=y0))练习：1已知直线axby0与圆O:x2•y2=1相交于A,B两点，且AB=•3,———1贝UOA・OB=)22.等轴双曲线x2-y2=1的焦点为F2,点P是双曲线上的动点，当PF1•PF2：：：0时,点P的横坐标的取值范围是.((_卫,_11U[1,』6))223•给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点，设L的斜率为1，求OA与OB夹角的大小。(二-arccos341)414.已知点F(a,0)(a0),点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，满足1)PM•PF=0,2)PN-1NM=0.(1)求点N的轨迹E的方程;(2)过点F且不与坐标轴垂直的直线2**■J[I与曲线E交于A,B两点，设K(-a,0),KA与KB的夹角为二,求证：0：：：「：：三.((1)y2二4ax;(2)只要证KA•KB0且不共线即可)方便。这里常用的公式有:2>2aa=(a)=a分析：(1)设P(x,y)，求出各有关向量的坐标，利用数量积公式，将题设条件转化为B两点间的距离公式为AB二(x^x1)2■(y^y1)2。例2.已知点M(-1,0),N(1,0),且点P使MP・MN,PM・PN,NM•NP成公差小于零的等差数列。(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0,y0)，记二为PM与PN的夹角，求tan^。三、与长度有关的问题通过向量的数量积可以计算向量的长度，这给解决线段长度问题拓宽了思路，提供了Ta,设A(X1,yj,B(X2,y2),则A例1已知定点A(-1.0)和B(1,0),P是圆(x_3)2(y一4)2=4练习:22上的一动点,求PA+PB的最大值和最小值.分析：设C是圆心，因为0是AB中点，所以有PA-PB=2P0，故可利用向量把问题转化为求向量易证|pA22=2P02，而3”P0|匕7，1已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x^^0)是抛物线y2=2px(p0)上的两个动点,0是坐标原点，向量OA,OB满足OA+OBOA-OB,设圆C的方程为x2•y2-(为•x2)x-(y1•y2)y=0.证明线段AB是圆C的直径.2.以0为原点,0F所在直线为x轴建系如图,设OF•FG=1,点F的坐标为(t,O)(t_3),点G的坐标为(m,n).所以：PA2+|PB2的最大值为100,最小值为20。⑴求m关于t的函数m=f(t)的表达式，判断f(t)的单调性并证明椭圆经过点G,求当OG|取得最小值时椭圆的方=1)例2•在AOFQ中，OF=c(cZ2),0F・FQ=1,该三角形面积3S=3c.以0为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,求:4(1)用c表示|OQ;(2)|OQ的最小值及此时点Q的坐标;⑶0Q最小时的椭圆方程.⑵设OFG的面积S311,若以O为中心,F为焦点的61x2y2((1)m二f(t)=t-在［3,上递增，⑵—t189四、与共线有关的问题两个非零向量a,b,平行二ka(k=0)。(1)O—(c；)2%一2);4(2)C=2时,OQmin.34,53廿此时%,?BABACOP=0A十(--+),川［0,邑),ABAC(A)外心(B)内心(C)重心例1.0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定过ABC的()(D)垂心AB分析：因为一|ab|AcAC分别是与ACABAC同向的单位向量，由向量加法的平行四边形分析：本题重点是对(1)的求解。建系设点Q(x1,y1)，则可用x1,y1表示OQ。如何消去X1,y1，将其转化为|OQ|=f(c)，则是解题的关键。根据面积条件易求y1；再由条件OF=c及OF・FQ=1可求得捲=g(c)，从而可消去捲，y1，得到|0Q的关于c的表达式f(c)。说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关解析几何的问题转化为向量问题。三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了。ABAC法则知是与.ABC的角平分线(射线)同向的一个向量，又知ABACABACOP-OA二AP=■()，知点|AB||ACABC的内心。P的轨迹是•ABC的角平分线，从而一定过例2.已知椭圆，直线l:—•上=1,P是|上一点，射线OP交椭圆于R,又点Q在OP上1282且满足OQ，OP=OR,当点P在I上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么?解：设Q(x,y),据已知x,y不同时为0,则0Q=(x,y),O,Q,R,P共线且向量OQ,OP,OR同向，因此可设OP=OQ,OR=.二0Q('0j0),则二"2,由P(X,■y)I,Xy=1,X-=—.TOC\o"1-5"\h\z128128k1卩22卩2222又点R(3y)在椭圆上,•诗24七22=XA=△y2x23y2_4x_6y=0二(x-1)2.(y-1)21282416在椭圆上找到x,y关系，从而使问题得到解决。练习：1.过抛物线屮二4X的焦点F作斜率为-的直线交抛物线与A,B两点，若AF=‘FB3>1),则几=.(4)2•设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，0为坐标原点，若BP二2PA,且OQ•AB=1,则点P的轨迹为:322•(—X+3v=1,XA0,VA0)2设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于AB两点，点C在抛物线的准线上，且BC//X轴，求证：直线AC经过原点Q2已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-'1于A,B两点，且2O^!(OAOB),(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线I交双曲线于C,D两点，2且CD・AB=0,那么A,B,C.D四点是否共圆？为什么？((1)y=xT,(2)A,B,C,D四点共圆，圆心为M(-3,6))显然原点在其上，应舍去,所以Q的轨迹是以(1,1)为中心，长半轴为一严，短半轴为-15且长轴与x轴平行的椭圆(去掉坐标原点).3所以Q的轨迹是以(1,1)为中心，长半轴为一乎,短半轴为于且长轴与x轴平行的椭圆(去掉坐标原点).点评：该题是1995年全国高考题，该题实质是向量共线的应用，设出Q点坐标利用共线得P和R的坐标用向量OQ,OP,OR的关系找到，，」的关系，再利用点P在直线上，点Q