2019-2020年高二下学期第一次质检数学试卷（理科）含解析

PAGE/NUMPAGES2019-2020年高二下学期第一次质检数学试卷（理科）含解析　一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）1．已知复数z1=1+i，z2=2﹣i，则=　　．2．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　　．3．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）=　　．4．曲线在点（0，f（0））处的切线方程为　　．5．函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为　　．6．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=　　．7．在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为　　．8．如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是　　．9．已知，若则实数x=　　．10．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=　　．11．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为　　．12．已知f（x）=x3+x（x∈R），若任意实数x使得f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0成立，则a的取值范围是　　．13．在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的范围是　　．14．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为　　（写出所有正确的）　二、解答题（本大题共6个小题，共90分）15．m为何实数时，复数z=（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）是：（1）虚数；（2）若z＜0，求m．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．17．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）18．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且PQ=．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求B1Q与平面APQ所成角的正弦值．19．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（﹣1）k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．（1）求f（x）的极值；（2）若k=xx，关x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．（3）k=xx时，证明：对一切x＞0都有f（x）﹣x2＞2a（﹣）成立．　xx学年江苏省徐州市沛县中学高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析　一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）1．已知复数z1=1+i，z2=2﹣i，则=　1﹣3i　．【考点】复数代数形式的乘除运算．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：====1﹣3i，故答案为：1﹣3i．　2．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　3　．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵f′（x）=a（1+lnx），f′（1）=3，∴a（1+ln1）=3，解得a=3，故答案为：3．　3．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）=　4　．【考点】导数的运算．【分析】根据求导法则，先求导，再代入值计算．【解答】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx，∴f′（）=3cos+4sin=4．故答案为：4．　4．曲线在点（0，f（0））处的切线方程为　x﹣y+2=0　．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把x=0代入曲线方程求出相应的y的值确定出切点坐标，然后根据求导法则求出曲线方程的导函数，把x=0代入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．【解答】解：把x=0代入曲线方程得：f（0）=2，所以切点坐标为（0，2），求导得：f′（x）==，把x=0代入导函数得：f′（0）=1，所以切线方程的斜率k=1，则切线方程为：y﹣2=x﹣0，即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0　5．函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为　﹣7　．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2+2ax+b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=﹣3，b=3时，在x=1无极值，故a+b的值﹣7．故答案为：﹣7　6．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=　﹣2　．【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案为：﹣2．　7．在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为　（0，0，1）　．【考点】空间中的点的坐标．【分析】根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标．【解答】解：设C（0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1）故答案为：（0，0，1）．　8．如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是　①②③⑤　．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】直接由导函数的图象分析①②⑤；再由导函数的符号得到原函数的单调区间，从而判断③④的正误．【解答】解：由函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增，故①正确；函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减，故②正确；由上可知，当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值，故⑤正确；当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，4）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，2）∪（4，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增，故③正确；函数y=f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④错误；∴正确的判断是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．　9．已知，若则实数x=　4　．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解：∵，，∴=6﹣2﹣x=0，解得x=4．∴实数x的值为4．故答案为：4．　10．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=　3　．【考点】导数的运算．【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3　11．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为　（1，1，1）　．【考点】空间直角坐标系．【分析】设PD=a（a＞0），确定，的坐标，利用数量积公式，即可确定E的坐标．【解答】解：设PD=a（a＞0），则A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，a），E（1，1，），∴=（0，0，a），=（﹣1，1，），∵cos＜，＞=，∴=a•，∴a=2．∴E的坐标为（1，1，1）．故答案为：（1，1，1）　12．已知f（x）=x3+x（x∈R），若任意实数x使得f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0成立，则a的取值范围是　（﹣∞，）　．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】容易判断f（x）在R上为增函数，从而根据条件得出a﹣x＜1﹣ax2恒成立，整理成ax2﹣x+a﹣1＜0恒成立，从而得出，这样解出a的范围即可．【解答】解：f（x）在R上为增函数，且是奇函数；∴由f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0得，f（a﹣x）＜f（1﹣ax2）；∴a﹣x＜1﹣ax2对任意实数x都成立；即ax2﹣x+a﹣1＜0恒成立；∴；解得；∴a的取值范围是（﹣∞，）．故答案为：．　13．在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的范围是　（，1）　．【考点】利用导数研究函数的极值；简单线性规划．【分析】求出导函数，由当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值求出f′（0），f′（1），f′（2），判断出它们的符号，得到所求的范围即可．【解答】解：f′（x）=x2+ax+2b，由函数当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值得：f′（0）=2b＞0；f′（1）=1+a+2b＜0；f′（2）=4+2a+2b＞0；所以∈（，1）故答案为（，1）　14．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为　（2）（3）　（写出所有正确的）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．【解答】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则，，y1=1，y2=5，则，φ（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，则kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．t•φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．　二、解答题（本大题共6个小题，共90分）15．m为何实数时，复数z=（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）是：（1）虚数；（2）若z＜0，求m．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）复数z=（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，意义z为虚数，虚部m2﹣3m+2≠0，解得即可．（2）由于z＜0，可得z为实数，且，解出即可得出．【解答】解：（1）复数z=（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，∵z为虚数，则m2﹣3m+2≠0，解得m≠1且m≠2．（2）∵z＜0，∴z为实数，且，解得m=1．　16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ：x（﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．　17．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为[1，2e]，且列表如下：x（1，e）e（e，2e]f'（x）+0﹣f（x）增极大值f（e）减由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．　18．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且PQ=．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求B1Q与平面APQ所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】（1）以、、为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设CP=a（0≤a≤），利用•=0，得出关于a的方程并求解即可．（2）分别求出、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角可求cos＜，＞，即可得解．【解答】（本题满分为10分）解：（1）以、、为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设CP=a（0≤a≤），则CQ=，P（2，2﹣a，0），Q（2﹣，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），=（﹣，2，﹣2），=（2，﹣a，﹣2），∵B1Q⊥D1P，∴•=0，∴﹣﹣2a+4=0，解得a=1，…∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BC，CD中点．…（2）∵由（1）可得：=（﹣1，2，﹣2），=（0，0，﹣2）为面APQ的一个法向量，∴cos＜，＞=，∴设B1Q与平面APQ所成角为θ，则sinθ=cos＜，＞=…　19．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）①先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．②研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，转化为alnx≥m+x对所有的恒成立问题，再令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，问题又转化为m≤h（a）min最后利用研究函数h（x）的单调性即得．【解答】解：（1）①∵函数f（x）在x=1处与直线相切∴，解得②当时，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴（2）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，则alnx≥m+x，即m≤alnx﹣x对所有的都成立．令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴上单调递增∴h（a）min=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立，∵1＜x≤e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）min=﹣e2．　20．已知函数f（x）=x2﹣（﹣1）k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．（1）求f（x）的极值；（2）若k=xx，关x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．（3）k=xx时，证明：对一切x＞0都有f（x）﹣x2＞2a（﹣）成立．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过k为偶数与奇数，求解函数的极值即可．（2）k=xx，化简关于x的方程f（x）=2ax，构造函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，利用函数的零点个数，求解即可；（3）当k=xx时，问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取到，由此可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（﹣1）k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．可得f′（x）=2x﹣（﹣1）k2a•，当k为奇数时，f′（x）=2x+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．当k为偶数时，f′（x）=2x﹣==，∴f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，∴f（x）有极小值，f（x）极小值=f（）=a﹣2aln=a﹣alna，（2）∵k=xx，则f（x）=x2﹣2alnx，令g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=2x﹣﹣2a==（x2﹣ax﹣a），令g′（x）=0，∴x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x0=，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（x0，+∞）上单调递增，又g（x）=0有唯一解，∴，即，②﹣①得：2alnx0+ax0﹣a=0⇒2lnx0+x0﹣1=0⇒x0=1，∴12﹣a﹣a=0，∴a=；（3）证明：当k=xx时，问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取到，设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，∴m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．故命题成立．　xx年10月17日