2.基本不等式-‹#›-2.基本不等式-‹#›-2.基本不等式1.重要不等式定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.基本不等式(3)两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.-‹#›-2.基本不等式名师点拨1.重要不等式与基本不等式的区别2.基本不等式的常见变形-‹#›-2.基本不等式④-‹#›-2.基本不等式3.利用基本不等式求最值对两个正实数x,y.(1)如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.名师点拨利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即(1)各项或各因式为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.-‹#›-2.基本不等式做一做2 若x>0,y>0,且x+y=,则xy的最大值为( ) 答案：D-‹#›-2.基本不等式思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对于任意的实数x,y,都有x2+y2≥2xy.( )√×××√-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析运用基本不等式求最值或取值范围 a+b与ab的关系,再利用解不等式消去ab建立关于a+b的不等式进行求解.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.运用基本不等式求最值的一些技巧:含有多个变量的条件求最值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,一种方法是减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决.另一种方法是采用常值代换的方法,先对代数式变形后,再运用基本不等式进行求解.2.两个正数的和与积的转化:基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或范围.在条件等式中,如果同时含有两个变量的和与积的形式,就可以先直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,再通过解关于“和式”或“积式”的不等式进行求解.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 (1)已知0<x<2,则函数f(x)=x(2-x)的最大值等于 . (2)设x>0,y>0,且x+2y=1,则的最小值为 . -‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析运用基本不等式证明相关不等式 分析：对于(1),因为m>0,所以可把和6m分别看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式证明;对于(2),考虑到a+b+c=1,首先将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用基本不等式,然后根据不等式的性质证明.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用基本不等式证明不等式的方法与技巧1.用基本不等式证明不等式时,首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构特点和使用条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.2.对含有条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出基本不等式.若两次(或两次以上)使用基本不等式的传递性,则应保证等号成立的条件一致.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析运用基本不等式解决实际问题 【例3】已知26辆货车以相同速度v(单位:km/h)由A地驶向400km处的B地,每两辆货车的间距为dkm,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20时,d=1.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车的速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;对于(2),首先列出时间与速度的关系式,然后借助基本不等式求解.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析解：(1)由题意可设d=kv2,其中k为比例系数,k>0.因为当v=20时,d=1,所以1=k·202,(2)因为每两辆货车的间距为dkm,所以最后一辆货车与第一辆货车的间距是25dkm,所以最后一辆货车到达B地所需的时间为故26辆货车都到达B地最少需要10h,此时货车的速度为80km/h.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用基本不等式求解实际问题的盲点:(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 某公司一年购买某种货物400t,每次都购买xt,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= t. 答案：20-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析忽视基本不等式成立的条件而致错典例若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析答案：C-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析纠错心得本题错解中忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而出现错误.连续使用基本不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次或两次以上使用基本不等式.若连续使用两次或两次以上时,应保证每次等号成立的条件都相等.此外,在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的办法是变量替换或常数值“1”的替换,即首先由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将待求最值的代数式乘“1”,最后对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.-‹#›-2.基本不等式探究一探究二探究三思维辨析变式训练(2017吉林三模)已知x>0,y>0,x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值是( )令x+2y=t(t>0),则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),因此x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,故选B.答案：B-‹#›-2.基本不等式123451.下列不等式中恒成立的是( )答案：B-‹#›-2.基本不等式12345答案：C-‹#›-2.基本不等式12345答案：C3.某公司要租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运输费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么要使这两项费用之和最小,待建仓库与车站的距离为( )A.3千米B.8千米C.5千米D.6千米解析：设待建仓库与车站的距离为x千米.为5千米时,每月土地占用费和每月库存货物的运输费之和最小.-‹#›-2.基本不等式12345-‹#›-2.基本不等式
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