垂直平分线与角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解、线段垂直平分线的性质1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点CD，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记：mADB图1、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：C到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.mADB定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.图2课堂笔记：A、关于三角形三边垂直平分线的定理ik（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：O三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.Bj图3C定理的数学表示：如图3，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.1经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm课堂笔记：针对性练习：A已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是D3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果E∠A=28度，那么∠EBC是BC例2.已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。课堂笔记：针对性练习：已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线NAOBC例3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。课堂笔记：针对性练习：1.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大2小为________________。例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，A求证：BD＝AC＋CD.证明：在BD上取一点E，使DE＝DC，连接AE，则AE＝AC，课堂笔记：图8DCB课堂练习：1.如图，=，=，则（）ACADBCBDA.垂直平分ADB.垂直平分CDCDABC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段外且=，过P作直线ABPAPB，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.MNMNABA.1个B.2个C.3个D.4个△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.课后作业：如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.ADB图7EC3已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：B角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.D定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，E若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：、角平分线性质定理的逆定理：FO图4CA角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于BC，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.D定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线PO图5CA注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.课堂笔记：6、关于三角形三条角平分线的定理：A（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.FRQ定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角IE∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：B图6PDC①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.4、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题：例1、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PFF课堂笔记：BPACE针对性练习：已知：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.DC课堂笔记：FEEBAD图10B针对性练习：ACF如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.5课堂练习：△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。ABODCECDE３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC，MAM平分∠DAB。求证：MB=MCAB课后作业：如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.如图所示，直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处6l3l1l27