排列组合与二项式定理基础练习题

排列组合与二项式定理基础练习题1．的展开式中，的系数为（）A．15B．-15C．60D．-602．展开式的常数项为（）A．-160B．-5C．240D．803．二项式的展开式中，第三项的系数比第二项的二项式系数大44，则展开式的常数项为第（）项.A．3B．4C．7D．84．已知，则展开式中的系数为()A．24B．32C．44D．565．设，则的展开式中常数项是（）A．332B．-332C．320D．-3206．已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则（）A．B．C．D．7．若随机变量的分布列如下表，且，则的值为（　　）49A．B．C．D．8．若二项式的展开式中的常数项为，则=．9．设，则二项式展开式中含项的系数是______．10．若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为．11．已知的展开式的第五项是常数项，则n=________.12．已知，则展开式中，常数项为__________．13．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个（所有结果均用数值表示）14．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法（2）四名男生相邻有多少种不同的排法（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法（甲乙丙三位同学身高互不相等）（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种15．在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法（2）四名男生相邻有多少种不同的排法（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法（甲乙丙三位同学身高互不相等）16．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;17．若.求：（1）；（2）；（3）.18．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．19．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.（1）求最多取两次就结束的概率；（2）求整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）求取球次数的分布列和数学期望.参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1．C【解析】 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：依题意有，故系数为.考点：二项式．2．D【解析】【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：（x）6展开式的通项为：Tr+1x6﹣r（）r＝（﹣2）rx6﹣2r，则展开式的常数项为1×（﹣2）31×（﹣2）4，得解．【详解】由二项式展开式通项得：（x）6展开式的通项为：Tr+1x6﹣r（）r＝（﹣2）rx6﹣2r，则展开式的常数项为1×（﹣2）31×（﹣2）480，故选：D．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式及分类讨论思想，属于中档题．3．B【解析】本题考查二项式通项,二项式系数。二项式的展开式的通项为，因为第三项的系数比第二项的二项式系数大44，所以，即，解得则；令得则展开式的常数项为第4项.故选B4．A【解析】,中系数为.故选.5．B【解析】分析：根据定积分求得，利用二项展开式定理展开，即可求得常数项的值.详解：设，则多项式，，故展开式的常数项为，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的应用，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6．A【解析】【分析】由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可.【详解】展开式二项式系数和为，则：，故.则各项系数和为，据此可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查二项式系数与各项系数和的含义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C【解析】【分析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案。【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得，又由，解得，所以方差，故选C。【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的应用，其中解答中熟记分布列的性质，合理利用期望与方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。8．2【解析】【分析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a.【详解】令3﹣r＝0，∴r＝3，常数项为﹣C63a3＝﹣20a3＝﹣160，∴a3＝8，a＝2.故答案为：2.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9．【解析】因为，所以，由于通项公式，令，则，应填答案。10．【解析】试题分析：的展开式中各项的系数之和为81，的展开式的通项公式为：令，解得∴展开式中常数项为∴直线与曲线围成的封闭区域面积为：．故答案为：．考点：二项式定理，定积分11．8【解析】【分析】展开式的第五项是常数项，即的指数为0，求出n的值即可．【详解】因为(的展开式的第五项是常数项，所以所以，即．故答案为：8．【点睛】本题考查二项式定理系数的求法，注意特定项的求法考查计算能力，12．20【解析】【分析】利用二项式系数展开项为展开式中项为：得到常数项.【详解】∵a==sinx=1，展开式中，展开式中项为：常数项为6-2r=0解得r=3,代入得到常数项为20.故答案为：20.【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.13．（1）576；（2）576；（3）144【解析】【分析】（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个．（2）五位数中，偶数排在一起的有＝576个．（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．14．（1）；（2）；（3）；（4）840；（5）；（6）.【解析】【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析，再由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析，再由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①：女生甲站在右端，②：女生甲不站在右端，再由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，再由倍分法分析可得答案．（5）根据题意，分2步进行分析：①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，②，将选出的4人全排列，再由分步计数原理计算可得答案；（6）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，再由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有A44×A53＝24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有A44×A44＝24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种．（5）根据题意，分2步进行分析：①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，有C42C32种选取方法，②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有种不同的安排方法；（6）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个男生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，则有种排法．【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素这一特殊问题的处理方法．15．（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，再除以即可.详解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.16．（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【解析】【分析】（1）先从6本书中选1本，再从剩余5本书中选择2本，剩余的就是三本书。（2）由（1）可知，将分成的三份分别给与甲乙丙即可。（3）依次从6本书中选择2本，从剩余4本书中选择2本，剩余2本，即可分成每份都有2本的三份，但在分配中，每种情况都出现了次重复，所以要除以重复的遍数即可得分配方法的种类数。（4）根据（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人即可。（5）先从6本书选出4本书，剩余的2本书中选出1本，在选择过程中，后面2本选择1本时发生重复，所以要除以.（6）根据（5），将三种情况分别分配给甲乙丙三个人即可。【详解】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法剩余的就是2本书，有种分配方法所以总共有种分配方法。（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有种。（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；剩余的就是2本书，有种分配方法;所以有种分配方法。但是，该过程有重复。假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是。则所有情况为，，，，，。所以分配方式共有种（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为种（5）从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了所以总共有种（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即种。【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，特别注意计算过程中的重复，属于中档题。17．（1）27；（2）14；（3）27.【解析】【分析】（1）令可得的值；（2）令可得的值，与（1）中所得式子相减可得所求；（3）根据二项展开式的通项得到展开式中每项系数的符号，然后去掉绝对值并结合（1）中的结果求解即可．【详解】（1）令，可得，∴．①（2）令可得，∴．②由①②得，∴．（3）由题意得二项式展开式的通项为，∴每项的系数，∴．【点睛】本题考查二项式展开式的系数和问题，由于二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法，考查计算和转化能力，属于中档题．18．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【解析】试题分析：（1）本题考查互斥事件的概率，设甲第i次投中获胜的事件为Ai（i＝1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥，分别计算出的概率（可用相互独立事件同时发生的概率公式计算），然后相加即得；（2）甲的投篮次数X的取舍分别1，2，3，注意这里事件含甲第次投中和第次投不中而接着乙投中，结合（1）的过程可很快求和各事件概率，从而得分布列，并依据期望公式可计算出期望值．试题解析：（1）设甲第i次投中获胜的事件为Ai（i＝1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥．甲获胜的事件为A1＋A2＋A3．P（A1）＝；P（A2）＝；P（A3）＝（）2×（）2×＝．所以P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝．答：甲获胜的概率为．（2）X所有可能取的值为1，2，3．则P（X＝1）＝＋×＝；P（X＝2）＝＋×××＝；P（X＝3）＝（）2×（）2×1＝．即X的概率分布列为X123P所以X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝．考点：互斥事件的概率，随机变量的概率分布列和数学期望．19．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设取球次数为，分别计算和可得最多取两次就结束的概率.(2)最多取球三次，恰好取到2个白球的情况共有四种：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，分别计算它们的概率可得所求的概率.（3）设取球次数为，则，分别计算、和，从而可得的分布列，再利用公式计算其数学期望.【详解】（1）设取球次数为，则，.所以最多取两次的概率.（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为.（3）设取球次数为，则，,，则分布列为123取球次数的数学期望为.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率及其分布、数学期望的计算等，在概率计算的过程中，要注意对所讨论的对象进行合理的分类讨论，做到不重不漏.