命题与证明本课内容本节内容2.2——证明与定理下列命题哪些正确？哪些错误？说一说（1），（2）（3）是错的，（4）是正确的.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.结论我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题．判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角(2)内错角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b，b>c，那么a>c真命题假命题假命题假命题举例1、同旁内角互补，两直线平行.2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.假3、如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.假说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.牛刀小试像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.（1）如果a是整数，那么a是有理数；解如果a是整数，根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．结论像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.（2）如果a是有理数，那么a是整数解0.5是有理数，因此命题(2)为假．但是0.5不是整数.判断下列命题为真命题是根据什么呢？说一说是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断．（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？动脑筋结论数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中
总结
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出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.欧几里得结论小知识欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)举例：1本书中常用的基本事实：过两点有且只有一条直线.（2）两点之间，线段最短.（1）（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.举例：2.定理：同角或等角的补角相等.（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.（4）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1）补角的性质：（3）对顶角的性质：对顶角相等②垂线段最短.内错角相等，两直线平行.（5）平行线的判定定理：定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.结论例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”．平行线的性质定理Ｉ两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．动脑筋平行线的基本事实Ｉ两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．上述这两个定理是不是互逆的命题？1212结论如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.例如，平行线的基本事实Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来．两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等；答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；牛刀小试练习1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是0；答：真命题（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题2.举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数.答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截，它们的同位角不相等3.试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。小结与复习证明1.说明一个命题是真命题的方法：举反例2.说明一个命题是假命题的方法：3.基本事实、定理、互逆定理.中考试题①题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；解下列四个命题中是真命题的有（）.①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个B.3个C.2个D.1个C②题相等的角并不一定是对顶角；③题正确；④题正确.作业P59习题2.2A组3、4结束
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