庞加莱回归定理在数学上，庞加莱回归定理叙述了某个系统在充分长的时间后，将回到一个非常接近初始状态的状态。庞加莱时间就是直到回归时已过去的时间。该理论可应用于能量封闭在其中的系统。通常与遍历理论、动态系统和统计力学有关。该定理由亨利庞加莱在1890年发
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。证明的讨论定性的说，证明依靠两个前提：封闭的动态系统的相轨迹不相交。假设动态下的有限元素的相体积不变。设想在相空间中任意一点的一个任意小的邻域，沿着它的在系统动态下的路径（通常称作“相管道”）。当它运动时这个体积“扫过”相空间中的点。因为相轨迹不相交，它永远不会和已经“扫过”的区域相交。因此，可达到的总的体积总是增加的，而根据假设总体积是有限的，在有限的时间里，所有的体积都会被占尽。在那时对于相管道唯一继续下去的办法是连接到它自己的出发点，这就是
答案
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。注意在相管道内的分立轨迹不需要连接它们各自的出发点，最有可能的是它们在管道中混淆在一起。这就是为什么回归只是近似到管道的半径。为得到更高的回归精度，我们需要将初始体积减小，这意味着更长的回归时间。注意没有什么可以阻止系统在所有相空间用尽之前返回它的出发点。一个普通的例子是谐振腔。覆盖了所有可能的相体积的系统称为遍历的。回归理论和熵回归理论显得和热力学第二定律矛盾，它是说大的动态系统不可逆地向更高的熵的状态发展，所以如果从一个低熵的状态出发，系统永远不会返回到它。有许多可行的方法来解决这个矛盾。最典型的意见是对于像盒子中的理想气体那样的热力学系统，回归时间对于任何实际的目的来说都太长了以至于是无穷的（玻耳兹曼的说法）。然而这个解释并不完全令人满意，因为，事实上，没有任何系统中的特征时间尺度，回归时间与之相比可以称为非常大。没有参照的时间尺度，“非常大”的概念就没有意义了。一个可能的调和熵和回归的方法如下。庞加莱的理论依赖于相轨迹不相交的事实。但如果在系统中有环境感生噪声这个假设就被打破了。粗略地说，环境感应引入了一种时间尺度，即系统能够被视为是孤立的时间段长度。如果系统是无序的，这个孤立的时间尺度随着噪声水平的下降仅仅按指数增长。因此，庞加莱回归时间尺度就能够和孤立时间尺度（而不是和诸如人的预期寿命这样外在的时间尺度）相比较了。几乎是孤立的（孤立时间）大系统（回归时间）的界限（limit）是模糊的（ill-defined），因此孤立时间尺度增长得“非常慢”，而回归时间尺度增长得“非常快”，形象地说，我们不可能拥有大的孤立系统。就是说，“大的孤立系统”是两个理想的产物，而这取决于现实中两个理想的程度，如果系统很大，它对于证明回归理论的目的来说不可能是孤立的。理论的数学公式设(X,Σ,μ)是测度空间而f:X→X是保测变换。对于任何，那些对于所有n>0使得的E中的x有0测度。也就是说，几乎所有E的点都回到了E。实际上，在无限长的时间后几乎所有的点都会返回；即说明：这里的测度空间应理解为概率空间这一特殊形式。X为描述系统运动的相空间，也就是概率空间的基本空间；为X的所有子相空间的集合；是表示某一子相空间的概率；E为一个子相空间；x表示在某一时刻系统在E中占据的相点，x的运动可以用保测变换f来描述，fn(x)为n个时间间隔之后系统相点的位置。上面式子的意思是，对于任何E，都存在一个N，使得n>N时，在E中的任何点x，fn(x)E的概率为0；即当n足够大时，从E中的任何点出发，最终不会运动到E之外。换句话说，对于任何E，系统相点从中出发，最终都会回到E。量子力学的形式对于具有离散能量特征值的量子力学系统，类似的定理仍然成立。对于任何>0以及T0>0，存在一个大于T0的时间T，使得(T)(0)0，这里(T)指T时刻系统的态矢量。主要的证明过程如下。系统如下式按时间演化(t)cnexpiEntnn0式中En是能量特征值（我们用自然单位，所以?＝0），n是能量特征状态。时刻T和0的态矢量差的平方写为：22cn2cosEnT(T)(0)1n0因为cn2cosEnT21cnnN1nN121，则N2cn是初始态的平方形式，收敛于足够大时，cn1cosEnT可做n0nN1到任意小。因此我们可以将加和中n=N以上的部分截去。有2N(T)(0)22cosEnTcn1n0对于任意>0，存在整数kn使得EnT2kn，这意味着存在时间间隔T使得21cosEnT，在这个间隔内，从0到N项相加有2N2N2222cn1cosEnTcnn0n0N2因此cn1cosEnT可做到任意小，即n0(T)(0)这样态矢量回到了任意接近初始态的状态。22
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